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内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试 数学(理)(2012包头三模)

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内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑。

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

1.

若复数 a+3i 1+2i

(a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为

A.-2

B. 4

C. -6

D. 6

2.某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分的

茎叶图如右图所示,则中位数与众数分别为

A.23,21

B.23,23

C.23,25

D.25,25

3.已知 m, n 为直线,? , ? 为平面,给出下列命题:



?m ?? m

? ?

? n

?

n

/

/?



?m ? ? ??n ? ?

?

m

/

/n

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?m ?? m

? ?

? ?

?

?

/

/?

?m ? ? ④ ??n ? ? ? m / /n
??? / /?

其中的正确命题序号是

A.③④

B.②③

C.①②

D.①②③④

3

? 4. 等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 ?

4xdx ,则公比 q 的值为
0

A.1

B. ? 1

2

C.1 或 ? 1 2

D. ?1 或 ? 1 2

5. 右面的程序框图输出的结果为

A.62 B. 126 C. 254 D. 510

6.已知双曲线 x2 ? y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左, a2 b2
右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, F1F2在F1P 上的投影的大小恰好为| F1P | 且 它们的夹角为 ? ,则双曲线的离心率 e 为
6

A. 2 ? 1 2

B. 3 ? 1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

7.若函数 y ? f ( x)的图象和y ? sin(x ? ? )的图象关于点P(? ,0)对称,则f ( x) 的表达式是

4

4

A. cos(x ? ? ) B. ? cos(x ? ? )

4

4

C. ? cos(x ? ? ) 4

D. cos(x ? ? ) 4

8. 以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是

A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2

B. y ? 3x 2

C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

9 . 已 知 函 数 f (x) ? sin ?x ? cos?x , 如 果 存 在 实 数 x1 , 使 得 对 任 意 的 实 数 x , 都 有

f (x1) ? f (x) ? f (x1 ? 2011) 成立,则? 的最小值为

A. 1 2011

B. ? 2011

C. 1 4022

D. ? 4022

10. ?ABC 中, ?A ? 60?, ?A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,已知 AB=3,且

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AD ? 1 AC ? ? AB(? ? R) ,则 AD 的长为 3

A.1

B. 3

C. 2 3

D.3

11.设函数

f1 ( x)

?

log4

x

?

(1)x 4



f2 ( x)

?

log 1
4

x

? (1)x 4

的零点分别为

x1、x2

,则

A. 0 ? x1x2 ? 1

B. 1 ? x1x2 ? 2

C. x1x2 ? 1

D. x1x2 ? 2

12. 已知有穷数列 A: a1, a2 ,? ? ?, an ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两项

ai

,

a

j

,将

ai 1?

? aj ai a j

的值添在

A 的最后,然后删除 ai , a j ,这样得到一系列 n ?1项的新数列

A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 n ? 2 项

的新数列 A2,如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A: ? 5 , 3 , 1 , 1 ,则 A3 的可 7423
能结果是

A. 3

B. 1

C. 1

D. 0

4

2

3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做

答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51 ,则 n ? d 的最小值等





14. 一盒中装有分别标记着 1,2,3,4 的 4 个小球,

每次从袋中取出一只球,设每只小球被取出的可能

性相同.若每次取出的球不.放.回.盒中,现连续取三 次球,求恰好第三次取出的球的标号为最大数字的

球的概率是



15.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表

面积为



16. 若 (2x ? 3)5 ? a0 ? a1x ? a2x2 ? a3x3 ? a4x4 ? a5x5 , 则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? 5a5 等 于
_________.

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三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
已知:函数 f (x) ? p sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ( p ? 0,? ? 0) 的最大值为 1 ,最小正周期 2
为? . 2 (Ⅰ)求: p , ? 的值, f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 ?ABC的三条边为 a , b , c ,满足 a2 ? bc , a 边所对的角为 A .求:角 A 的
取值范围及函数 f ( A) 的值域.
18. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / /CD ,
AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60 ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; ( Ⅱ ) 点 M 在 线 段 EF 上 运 动 , 设 平 面 MAB 与 平 面 FCB 所 成 二 面 角 的 平 面 角 为
? (? ? 90 ) ,试求 cos? 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为1, 2,…,8 ,其中 ξ ? 5 为标准 A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生产该产 品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级
系数组成一个样本,数据如下: 3533855634 6347534853 8343447567
该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5的为三等品.
(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.
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20.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? ax2 ? 2x ? ln x .

(Ⅰ)若 f (x) 无极值点,但其导函数 f ?(x) 有零点,求 a 的值;

(Ⅱ)若 f (x) 有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f (x) 的极小值小于 ? 3 . 2
21.(本小题满分 12 分)
已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F(?1,0) 的

距离为 d2 ,且 d2 ? 2 . d1 2
(Ⅰ)求动点 P 所在曲线 C 的方程;

(Ⅱ)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点

作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆的
位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况);

(Ⅲ)记 S1 ? S?FAM , S2 ? S?FMN , S3 ? S?FBN (A、B、 M、N 是(2)中的点),问是否存在

实数 ?

,使

S

2 2

?

?S1S3 成立.若存在,求出 ?

的值;若不存在,请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时

用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

E 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲

如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB,

O

⊙O 交直线 OB 于 E、D.

(Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;

(Ⅱ)若

tan

?CED

?

1

,

⊙O

的半径为

3,求

OA

A 的长.

2

D

C

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为

?

?

?

4

cos?

,直线

l

的方程为

??x ?

?

?2

?

3t 2 (t 为参数),直线 l 与曲线 C 的公共点为 T.

? ??

y

?

1 2

t

(Ⅰ)求点 T 的极坐标;

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(Ⅱ)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设 f (x) =|x|+2|x-a|(a>0). (I)当 a=l 时,解不等式 f (x) ≤4; (II)若 f (x) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试

数学(理科)答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 C

B

B

C

D

C

B

D

B

C

A

A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 16

14. 1 15. 19 ? 16. 10

3

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分

17、(12 分)(1) f ( x) ? p sin2?x ? 1 cos 2?x ? 1 ?

2

2

2

由 2? ? ? ,得? ? 2 ………………2 分 2? 2

p 2 ? 1 sin(2?x ? ? ) ? 1 ,

2

2

由 p2 ?1 ? 1 ? 1 及 p ? 0 ,得 p ? 3 ………………4 分 2 22

? f (x) ? sin(4x ? ? ) ? 1 …………6 分 62

(2) cos A ? b2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? 1 .………………8 分

2bc

2bc

2bc 2

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A 为三角形内角,所以 0 ? A ? ? ………………10 分 3

? ? ? ? 4A ? ? ? 7? , ? 1 ? sin(4A ? ? ) ? 1,? ?1 ? f ( A) ? 1 …………12 分

6

66 2

6

2

18.(I)证明:在梯形 ABCD中,

∵ AB // CD , AD ? DC ? CB ? 1,

∠ ABC = 60 ,∴ AB ? 2

…………………2 分

∴ AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2AB ? BC ? cos60o ? 3

∴ AB2 ? AC2 ? BC2

∴ BC ⊥ AC

………………… 4 分

∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面

ABCD ? AC , BC ? 平面 ABCD

∴ BC ⊥平面 ACFE

………6 分

(II)解法一:由(I)可建立分别以直线 CA,CB,CF 为

x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标系,令

FM ? ?(0 ? ? ? 3) ,则 C(0,0,0), A( 3,0,0) ,
B?0,1,0?, M ??,0,1?
? ? ∴ AB ? ? 3,1,0 , BM ? ??,?1,1? …………8 分

设 n1 ? ?x, y, z?为平面 MAB 的一个法向量,



? ?

n1

?

AB

?

0



?? ?

3x ? y ? 0

?n1 ? BM ? 0 ??x ? y ? z ? 0

? ? 取 x ? 1,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,…………10 分

∵ n2 ? ?1,0,0?是平面 FCB 的一个法向量


cos? ? | n1 ? n2 | ?

1

?

1

………11 分

? ? ? ? | n1 |? | n2 |

2
1? 3? 3 ? ? ?1

2
?? 3 ?4

∵ 0??? 3

∴ 当 ? ? 0 时, c o ?s 有最小值 7 ,
7

当 ? ? 3 时, cos? 有最大值 1 。
2



? cos? ? ?
?

7 7

,

1 2

? ? ?

…………………12



解法二:①当 M 与 F 重合时,取 FB 中点为G ,连结 AG、CG

∵ AF ? AC2 ? CF 2 ? 2 , ∴ AB ? AF ∴ AG ⊥ FB ∵ CF ? CB ? 1 ∴ CG ⊥ FB ∴ ∠ AGC =?
∵ BC ⊥ CF ∴ FB ? 2

∴ CG ? 2 , AG ? 14

2

2

∴ cos? ? CG2 ? AG2 ? AC2 ? 7 …………………8 分…

2CG ? AG

7

②当 M 与 E 重合时,过 B作BN // CF,且使BN ? CF ,

连结 EN、FN ,则平面 MAB ∩平面 FCB = BN ,

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∵ BC ⊥ CF ,又∵ AC ⊥ CF

∴ CF ⊥平面 ABC

∴ BN ⊥平面 ABC ∴ ∠ ABC =?

∴ ? = 60 ,

∴ cos? = 1
2

…………………10

分 [

③当 M 与 E、F 都不重合时,令 FM ? ?(0 ? ? ? 3)

延长 AM 交 CF 的延长线于 N ,连结 BN

∴ N 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上 ∵ B 在平面 MAB 与平面 FCB 的交线上

∴ 平面 MAB ∩平面 FCB = BN 过 C 作 CG⊥NB 交 NB 于 G ,连结 AG,

由(I)知, AC ⊥ BC , 又∵AC⊥CN,

∴ AC⊥平面 NCB

∴ AC⊥NB, 又∵ CG⊥NB,AC∩CG=C,

∴ NB⊥平面 ACG ∴AG⊥NB

∴ ∠AGC=?

在 ?NAC 中,可求得 NC= 3 , 3??

从而,在 ?NCB 中,可求得 CG=

3

? ?2
?? 3 ?3

∵ ∠ACG= 90o

? ?2
3 ?? 3 ?4 ∴ AG= AC2 ? CG2 ?
? ?2
?? 3 ?3

∴ c os? ? CG ?

1

? ? AG

2
?? 3 ?4

∵ 0??? 3

∴ 7 ? cos? ? 1 …………………11 分

7

2

综合①②③得,

cos?

?

? ?

?

7 7

,

1 2

? ? ?

…………………12



19.【解析】(1)由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15

件.

…………3 分

∴样本中一等品的频率为 6 ? 0.2 , 30

故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 ,

………4 分

二等品的频率为 9 ? 0.3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0.3 , …5 分 30

三等品的频率为 15 ? 0.5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0.5 .…6 分 30
(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3

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件,

……………………7 分

记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、 C2 、 C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、

P2 、P3 ,则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为: (C1, C2),(C1, C3),(C1, P1),

(C1, P2),(C1, P3),(C2 , C3),(C2 , P1), (C2 , P2),(C2 , P3),(C3, P1),

(C3, P2),(C3, P3), (P1, P2 ),(P1, P3)(P2 , P3), 共 15

种,

…………10 分

20.解 (Ⅰ)首先, x ? 0

f /(x) ? 2ax ? 2 ? 1 ? 2ax2 ? 2x ?1

x

x

---------------2 分

f /(x) 有零点而 f (x) 无极值点,表明该零点左右 f /(x) 同号,故 a ? 0 ,且

2ax2 ? 2x ?1 ? 0 的 ? ? 0.由此可得 a ? 1 . 2
(Ⅱ)由题意, 2ax2 ? 2x ?1 ? 0 有两不同的正根,故 ? ? 0, a ? 0 .

-----------4 分

解得: 0 ? a ? 1 2

-------------5-分

设 2ax2 ? 2x ?1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,因为在区间 (0, x1 ), (x2 ,??) 上,

f /(x) ? 0 ,而在区间 (x1 , x2 ) 上, f /(x) ? 0 ,故 x2 是 f (x) 的极小值点.------8 分



f

(x)

在区间 (x1 ,

x2 ) 上

f

(x)

是减函数,如能证明

f

( x1

? 2

x2 )

?

?3, 2

则更有

f

(x2 )

?

?

3. 2

--------------10 分

由韦达定理, x1 ? x2 ? 1 , f ( 1 ) ? a( 1 )2 ? 2( 1 ) ? ln 1 ? ln 1 ? 3 ? 1

2 2a 2a 2a

2a 2a 2a 2 2a

令 1 ? t, 其中 t ? 1. 设 g(t) ? ln t ? 3 t ? 3 ,利用导数容易证明 g(t) 当 t ? 1时单调递减,

2a

22

而 g(1) ? 0 ,因此 g(t) ? 0 ,即 f (x) 的极小值 f (x2 ) ? 0.

21. (1) 设动点为 P(x,y) ,

1分

-------12 分

依据题意,有

(x ?1)2 ? y2 ?

2 ,化简得 x2 ? y2 ? 1.

| x?2|

2

2

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是: x2 ? y2 ? 1. 2
(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.
理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不 合题意,故可设直线 l : x ? my ?1,如图所

示.

5分

3分 ……4 分

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联立方程组

? ? ?

x2 2

?

y2

? 1 ,可化为

(2

?

m2 )

y2

?

2my

?1

?

0



??x ? my ?1

则点

A(

x1,y1

)、B(

x2,y2

)

的坐标满足

?
?? ?
? ??

y1 y1

? y2

y2 ?

? ?

2m 2 ? m2
1 2 ? m2



7分

又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1) 、 N (?2,y2 ) .

点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直

径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.

因 FM ? (?1,y1) , FN ? (?1,y2) ,则

FM ? FN

?

(?1,y1)

?

(?1,y2

)

?

1

?

y1

y2

=

1 2

? ?

m2 m2

? 0 .9 分

于是,?M F N为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部.

10



(3)依据(2)可算出

x1

?

x2

?

m( y1

?

y2 ) ? 2

?

?

4 2 ? m2



x1x2

?

(my1

?1)(my2

?1)

?

2 ? 2m2 2 ? m2





1

1

S1S 3? 2 (x 1? 2) | y |1? 2 (x ?22) | y | 2

?

1? 4

1 2 ? m2

[ x1 x

2? 2(x

1?

x

)2? 4]

? 1 1? m2 , 2 (2 ? m2)2

S22

?

(1 2

|

y1

?

y2

| ?1)2

?

1 4

[(

y1

?

y2

)2

?

4

y1

y2

]

?

2

1? m2 (2 ? m2)2



11 分

所以, S22 ? 4S1S3 ,即存在实数 ? ? 4使得结论成立.

12 分

22.(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线

(Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中,

∵ tan∠CED= 1 , ∴ CD = 1 , ∵ AB 是⊙O 的切线,

2

EC 2

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC,

∴ BD = CD = 1 , 设 BD=x,则 BC=2x, BC EC 2
又 BC2=BD·BE, ∴ (2x)2 =x·( x+6),

解得:x1=0,x2=2, ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5

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23.

24.(Ⅰ) f (x) =|x|+2|x-1|=???22--3xx,,0x≤<x0≤,1, ??3x-2,x>1.

当 x<0 时,由 2-3x≤4,得-

2 3

≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2;

当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2.综上,不等式

f (x) ≤4 的解集为[-

2 3

,2].

(Ⅱ) f (x) =|x|+2|x-a|=???22aa--3xx,,0x≤<x0≤,a,可见, f (x) 在(-∞,a]单调递减,在(a, ??3x-2a,x>a.

+∞)单调递增.当 x=a 时, f (x) 取最小值 a.所以,a 取值范围为[4,+∞).

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