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线面面面垂直性质


直线和平面垂直的性质 平面和平面垂直的性质

安阳市二中 杨方丽

一、知识回顾 如果一条直线和一个平面相交,并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点 叫做垂足. l

1. 直线和平面垂直的定义如何?

注 :若 l ? ? , b ? ? 则l ?b.

α

b

A

2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ?a ?? ? m ? a ? m , a ? n ? ? O n

线线垂直

?

线面垂直

关键:线不在多,相交则行

唯一性(一)
过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.
m A

?

唯一性(二)
过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.
m

?

A

B

二、新知探究
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何?它们彼此之间具有什么 位置关系? C1
D1
B1 C B

A1
D

A

线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论

线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, a ? ? , a ? AB, 求证:a // l .
β B α l A a

C

回顾
1.面面垂直的定义:
两个平面相交,
如果它们所成的二面

角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直。

回顾
2.面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平
面的垂线,则这两个平面 垂直。
?

a

?

a ??? ? ?? ? ? a ? ??

探究
A1 A

面面垂直的性质
D1

α

F
B1

D

C1

D

E
B

C

β

如果α⊥β

(1) α里的直线都和β垂直吗?
(2)什么情况下α里的直线和β垂直?

已知: ? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD于B. ? AB ? ? . 求证: 证明:在平面 ? 内作BE⊥CD, 垂足为B. ∵? 则∠ABE就是二面角? -CD- ? 的平面角
A D

?

B
C

E

??

, ∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)

又由题意知AB⊥CD,且BE ? CD=B ∴AB⊥ ? (直线与平面垂直的判定定理)

平面和平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直. ? A 图形表示:
C

?

B

D

? ?? ? ? ? ? CD 符号表示: AB ? ?

? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB ? CD ? AB ? CD ? B ? ?

说明: 1) 面面垂直?线面垂直;
(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)

2)可作为线面垂直的判定定理。 3)为作面的垂线提供依据 和方法。
B

α
C

β
D

A

巩固深化、发展思维 点P在平面?内, 思考:平面?⊥平面β , 过点P作平面β 的垂线PC, 直线PC与平面?具有什么位置关系?
α
P B D A C

猜想:直线PC在平面?内
β

?⊥β,?∩β=AB,P∈?, PC ? ? PC ⊥ β,

巩固深化、发展思维 点P在平面?内, 思考:平面?⊥平面β , 过点P作平面β 的垂线PC, 直线PC与平面?具有什么位置关系?
α
P B D C A

猜想:直线PC在平面?内
β

?⊥β,?∩β=AB,P∈?, PC ? ? PC ⊥ β,

说明: 这个结论是面面垂直的另一个性质, 文字语言: 如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一 点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内。 它的作用是判定直线在平面内。

定理应用

如图:已知平面? , ? ,

a ? ? , 试判断直线 a与平面 ? 的位置关系. ? 解:在?内作垂直于 ? 与? 交线的直线 b
∵? ? ? ∴b ? ? ∵a ? ? ∴ a // b

? ??

,直线

a 满足 a ? ? ,
b

a

(平面与平面垂直的性质定理)

?
(直线与平面垂直的性质定理)

又∵ a ? ?

∴ a // ?

(直线与平面平行的判定定理)

即直线 a 与平面

? 平行.

面面垂直性质 P73 A组第5题 ? ?? ? m, 证法1:设 ? ? ? ? n , 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l b ? ?? ? α ? a ? ? ? ? n? β ? ?a ?? ? a ?? ? ?
a?n ? ? 同理b ? ?

?

n

? b // a a ?? b ??

? ? ? ? b // ? ? b?? ?

γ

m

? ? ? ?b // l ? ?? ? ? ?lb? ? ?? ?l ? ? b???

线面平行判定

线面平行性质

思考:还可以怎样作辅助线?
? ?? ? m, 证法2:设 ? ? ? ? n , 在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过A点作直线 a ⊥n, 在γ内过A点作直线 b⊥m,
l β α

a γ
m b A

n

? ?? ? ? ? ? ? ? n?
a?n ? ?

a ?? l ??

a?l 同理 b ? l a ?b ? A

l ??

练习:
1、下列命题中错误的是( B ) A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β

α 内一定存在 α 内所有直 α 内一

C如果平面 α 不垂直于平面 β ,则平面 定不存在直线垂直于平面 β

D如果平面 α 、β 都垂直于平面M,且 α 与 β 交于直线 a,则 a ⊥平面M

2、已知两个平面垂直,下列命题中正确的有(B )个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线;

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线;
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。

A 3

B

2

C 1

D

0





1、这节课我们学习了哪些内容,我们是如何得到这些 结论的?

2、空间垂直关系有哪些?如何实现垂直关系的相互转 化?指出下图中空间垂直关系转化的依据.
面面垂直 线面垂直

线线垂直

3、平面? ⊥平面β ,要过平面? 内一点引平面β 只需过这一点在平面? 内作交线的垂线。 的垂线,

? 作业: (1)求证:两条异面直线不能同时和一个平 面垂直 (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两 垂直


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