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2016届云南师范大学附属中学高考适应性月考(五)数学理试卷 word版


云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(五) 理科数学试卷
本试卷分第 1 卷(选择题)和第 2 卷(非选择题)两部分,第 1 卷第 1 页至第 2 页,第 2 卷第 3 页至第 4 页。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 1 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M 满足 M ? ?0,1,2,3?, 则符合题意的集合 M 的子集最多有 A. 16 个 B. 15 个 C. 8 个 D.4 个

2.已知复数 z (1 ? i ) ? 2i (i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部是 A. 3. 已 知 函 数 B. ? i C. 为 偶 函 数 , 当 D. ? 1

f ( x)

x?0 时 ,

f ( x) ? ln x,



M ? f (?? ), N ? f (e), K ? f ( 5 ), 则 M,N,K 的大小关系为
A. N>M>K B. K>M>N C. M>K>N D.M>N>K

4.已知 A 为 ?ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ? A. 锐角三角形 B.钝角三角形

2 , 则 ?ABC 的形状是 3
D.不确定

C.直角三角形

5.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (4,1) ,若 P (3 ? ? ? 5) ? 0.6826, 则 P (? ? 5) ? A. 0.9544 6.下列命题: B. 0.8413 C. 0.3174 D. 0.1587

①已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不同的直线 a, b ,若 a ? ? , b ? ? , 且 a // b, 则 ? // ? ; ②已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不同的直线 a, b ,若 a ? ? , b ? ? , 且 a ? b, 则 ? ? ? ; ③若一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面平行, 则这两个二面角的平 面角相等或互补; ④若一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直, 则这两个二面角的平 面角相等或互补; 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.如图 1 所示的茎叶图为高三某班 60 名学生某次数学模拟考试的成绩,算法框图图乙中输 入的 ai 为茎叶图的学生成绩,则输出的 m, n, k 分别是 A. m=18 ,n=31,k=11 B. m=18 ,n=33,k=9 C. m=20 ,n=30,k=9 D. m=20,n=29,k=11

甲 图1



图2 8.某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积是 A.

27 2

B. 15

C.

21 2

D. 18

9.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S 2 n ? A. ?

1 (a2 ? a4 ? ... ? a2 n ), a1a3 a5 ? 8, 则 a8 ? 2
C.

1 16

B.

?

1 32

? 64

D. ? 128

10.已知函数 f ( x) ? 则

b ?1 的取值范围是 2a ? 1 1 A. (??,?1) ? ( ,??) 3
2 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c 的两个极值点分别位于区间(-1,0)与(0,1)内, 3 2

B. ( ??,?2) ? ( ,??)

2 3

C. (?2, )

2 3

D. ( ?1, )

1 3

11.已知圆 O: x ? y ? 1, 点 P ( x0 , y0 ) 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上.若在圆 O 上存在点 Q,使

?OPQ ? 300 ,则 x0 的取值范围是
A. ?? 2,0? B. ?? 1,2? C.

?0, 2 ?

D. ? 1, 3

?

?

12.函数 f ( x) 的定义域为 D,若满足: ① f ( x) 在 D 内是单调函数; ②存在 ?m, n? ? D ,使 f ( x)

在 ?m, n ? 的值域为 ?2m,2n? , 那么就称函数 f ( x) 为 “倍域函数” .若 f ( x) ? ln(e ? 6 x ? t ) 是
x

“倍域函数” ,则实数 t 的取值范围是

3 3 ? 6 ln ,2 ? 6 ln 2) 4 2 3 3 C. (? ? 6 ln ,6 ln 2 ? 2) 4 2
A. (?

B. D.

(2 ? 6 ln 2,??) (??,6 ln 2 ? 2)

第 2 卷(非选择题,共 90 分)
二、提空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ( x 2 ? ) 6 的展开式中常数项为 14.已知 a ? 2, b ? 3, a ? 2b ? 2 10 , 则 a, b 的夹角为 15.函数 f ( x) ? sin 2 x 在 ?? ? , ? ? 内满足

1 x

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 的 n 的最大值是 ? ? ... x1 x2 xn
an ?1 ? an ? 1 , an 是奇数 ? ?? 2 ?3an ? 1, an 是偶数 ?

16.已知数列 ?an ?的各项均为正整数,其前 n 项的和为 S n ,若 且 S 3 ? 10, 则 S 2016 ?

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos 4 x ? 2 sin 2 x. cos 2 x ? 2 3 sin x. cos x ? 1, x ? R (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f (? ? 大值。

A ) ? ?1.a ? 2 ,求 BC 边上的高的最 2

18.(本小题满分 12 分) 某同学在研究性学习中,收集到某工厂今年前 5 个月某种产品的产量(单位:万件)的数据 如下表: 1 2 3 4 5 X(月份) 4 4 5 6 6 Y(产量) (1)若从这 5 组数据中随机抽出 2 组, 求抽出的 2 组数据恰好是相邻两个月的数据的概率;

?x ? a ? ?b ? ,并估计今年 6 月份该种产品的产量。 (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y

19.(本小题满分 12 分) 如 图 3 甲 , 在 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ABC 中 , 点 E,F 分 别 为 AB,AC 上 一 点 , 且 使得平面 AEF ? 平面 EFCB,形成一个如图乙 EF // BC , EF ? 2a, 沿 EF 将三角形 AEF 折起, 所示的四棱锥,设 0 为 EF 的中点。 (1)求证: AO ? BE ; (2)求二面角 F-AE-B 的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: x ? 2 py ( p ? 0), 倾斜角为
2

?
4

且过点 M(0,1)的直线与 C 相交于 A,B,两点,

且 AM ? 2 MB (1)求抛物线 C 的方程; (2)抛物线 C 与直线 l ' 相切,求点 M 到直线 l ' 的距离的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 a x ? ,a?R 2 x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ?

1 ln( x ? 1) 设 g ( x) ? , 对于任意的 x1 , x2 ? ?1,2? ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立, x 2,

求 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 两题中任选一题作答,若果多做,则按所做第一题计分,作答时请 写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】

23.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐 标系 取相同的 单位长度 . 已知 曲 线 C: ? ? 2 cos ? , 过 点 P(-1 , 0) 的直 线的参数方 程为
? 2 2 x ? ?1 ? t ? ,且直线与曲线 C 分别交于点 A,B ? 3 (t 为参数) ? 1 ?y ? t ? 3 ?

(1)求 AB ; (2)若点 Q 是曲线 C 上任意一点,R 是线段 PQ 的中点,过点 R 作 x 轴的垂线段 RH,H 为垂 足,点 G 在射线 HR 上,且满足 HG ? 3 HR , 求点 G 的轨迹 C ' 的参数方程并说明它表示 什么曲线.

24.(本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? x ? 2a ? x ? 5 , 且对于任意 x ? R 都有 f ( x) ? 1 恒成立. (1)求 a 的取值范围; (2)若 0 ? b ? 1, 求证: log a
(1?b )

? log a

(1? b )

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(五) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.当 M ? {0,, 1 2,3} 时,M 的子集最多有 24 ? 16 个,故选 A. 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B

∵z (1 ? i) ? 2i, ∴z (1 ? i)(1 ? i) ? 2i(1 ? i),z (1 ? i 2 ) ? 2(i ? i 2 ),2 z ? 2(1 ? i), ∴z ? 1 ? i , 2. 故选 C.
3 . 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ln x 在 (0,? ?) 上 单 调 递 增 , 又 函 数 f ( x) 为 偶 函 数 , 所 以
M ? f (? π) ? f ( π) ,而 π ? e ? 5 ,所以 M ? N ? K ,故选 D.

4.∵sin A ? cos A ?

2 2 7 ,∴(sin A ? cos A) 2 ? ,2sin A cos A ? ? ? 0 ,则 A 为钝角,故选 B. 3 9 9

5.由 ? 服从正态分布 N (4, 1) ,得 ? ? 4 ,? ? 1 .∵P(3 ? ? ≤5) ? P(4 ? 1 ? ? ≤4 ? 1) ? 0.6826 ,
∴P(? ? 5) ? 1 ? [1 ? P(3 ? ? ≤5)] ? 0.1587 ,故选 D. 2

6.由线面关系易知,①②③均正确,在④中如图 1 所示,平面 ? ,

? , ? 两两垂直, ? ? ? ? m ,且 n ? ? , n ? ? ,过直线 n 作
平面 ? ,此时 ? ? ? , ? ? ? ,二面角 ? ? m ? ? 为 90? ,而满 足条件的平面 ? 有无穷多个,所以其二面角 ? ? n ? ? 无法确定, 故④错,故选 C. 7.依据程序框图,可知,m 表示数学成绩 ai ? 90 的学生人数,则 m ? 18 ;n 表示数学成绩
90≤ai ≤120 的学生人数,则 n ? 33 ;k 表示数学成绩 ai ? 120 的学
图1

生人数,则 k ? 9 ,故选 B. 8.如图 2,几何体的直观图为三棱柱和三棱锥的组合体,其体积为

图2

V?

1 1 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 1 ? 3 ? 15 ,故选 B. 2 3 2

1 3 9. 由等比数列 {an } 的性质, 得 a1a3 a5 ? a3 又∵当 n ? 1 时,S2 ? a1 ? a2 ? a2 , ?8, ∴a3 ? 2 , 2 1 1 ∴a1 ? ,q ? ?2 ,∴a8 ? ? (?2)7 ? ?64 ,故选 C. 2 2 1 1 10.∵函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 2bx ? c 的两个极值点分别位于区间 (?1,0) 与 (0, 1) 内, 3 2

? f ?(?1) ? 0, ? ∴f ?( x) ? x ? ax ? 2b 的两个零点分别位于区间 (?1,0) 与 (0, 1) 内,∴? f ?(0) ? 0, ? ? f ?(1) ? 0 ?
2

??a ? 2b ? 1 ? 0, ? ?1 ? 设点 P(a,b) , A ? , 1? , ?b ? 0, ?2 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0, ?



b ?1 1 b ?1 1 ? ? ? k PA ( k PA 为直线 PA 的斜率), 2a ? 1 2 a ? 1 2 2
图3

?2 ? 如图 3 所示,由线性规划知, k PA ? (??,? 2) ? ? ,? ? ? , ?3 ? 1 ?1 ? ∴ k PA ? (??, ? 1) ? ? , ? ? ? ,故选 A. 2 ?3 ?

11.对于圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外的点 P 和圆上点 Q,当 ?OQP ? 90? 时, ?OPQ 最大,此时,由
2 2 ? y0 ≤2 ,即 ?OPQ ? 30? ,得 | OP |? 2 ,当 | OP |? 2 时, ?OPQ ? 30? , ∴| OP |? x0

2 2 2 2 2 x0 ? y0 ≤4 , 又 x0 ? y0 ? 2 ? 0 , 即 y0 ? x0 ? 2 , ∴x0 ? y0 ? x0 ? ( x0 ? 2)2 ≤4 , 解 得

?2≤x0 ≤0 ,故选 A.

? f (m) ? 2m, 12 .由“域倍函数”定义知 ? ? f (n) ? 2n,

即方程 f ( x) ? 2 x 有两个不同实根,即方程

e x ? 6 x ? t ? e 2 x 有两个不同实根.设函数 g ( x) ? e 2 x ? e x ? 6 x ? t ( x ? R ) ,

∴g ?( x) ? 2e2 x ? e x ? 6 ? (2e x ? 3)(e x ? 2) . 令 g ?( x) ? 0 , 解 得 x ? ln 2 . 当 x ? ln 2 时 ,
g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (??, ln 2) 上是减函数;当 x ? ln 2 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (ln 2, ? ?) 上 是 增 函 数 . ∴ 当 x ? ln 2 时 , g ( x)min ? 4 ? 2 ? 6 ln 2 ? t , ∴x ? R , g ( x) ? [2 ? 6ln 2 ? t , ? ?) , ∴ 方 程 g ( x) ? 0 有 两 个 不 同 实 根 的 充 要 条 件 为
2 ? 6 ln 2 ? t ? 0 ,所以 t ? 2 ? 6 ln 2 ,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
1? ? ? 1? r r 13.∵? x 2 ? ? 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 (?1)r x12 ?3r (r ? 0, 1, 2, …, 6) , ( x 2 ) 6 ? r ? ? ? ? C6 x? ? ? x? 1? ? ∴当 r ? 4 时, T5 ? C (?1) ? 15 ,故 ? x 2 ? ? 的展开式中常数项为 15. x? ?
4 6 4
6 6 r

13 15

14
? 2

15 4

16
6720

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? 14.由 题 意 , 得 | a ? 2b |2 ? (a ? 2b) 2 ? a ? 4a ?b ? 4b ? 4 ? 4a ?b ? 4 ? 9 ? 40 , ∴a ?b ? 0 ,
? ? ? ? ? ∴a⊥b ,设 a 与 b 的夹角为 ? , ? ? [0, ?] ,∴? ? . 2 f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 15.满足 的 x 的个数 n 即为 ? ?…? x1 x2 xn

函数 f ( x) ? sin 2 x 与 y ? kx 的图象的交点个数,但 不含原点,如图 4 所示,存在 k ? (??, 0) ,使得 n 取到最大值 4.
a ?1 a ?1 16. (ⅰ)当 a1 为奇数时, a2 ? 1 ,此时若 a2 为奇数,则 a3 ? 2 ? 2 2
∴S3 ? a1 ?
图4

a1 ? 1 ?1 a ?3 2 , ? 1 2 4

a1 ? 1 a1 ? 3 7a1 ? 5 ? ? ? 10 , 解 得 a1 ? 5 , 此 时 的 数 列 {an } 为 5, 3, 2 , 2 4 4 a1 ? 1 , 此 时 若 a2 为 偶 数 , 则 2

5, 3, 2, … ;( ⅱ ) 当 a1 为 奇 数 时 , a2 ?
a3 ? 3a2 ? 1 ?

3(a1 ? 1) 3a ? 1 a ? 1 3a1 ? 1 ,∴S3 ? a1 ? 1 ?1 ? 1 ? ? 3a1 ? 1 ? 10 ,解得 a1 ? 3 , 2 2 2 2

此时的数列 {an } 为 3, 2, 5, 3, 2, 5, … ; (ⅲ)当 a1 为偶数时, a2 ? 3a1 ? 1 ,此时 a2 为奇 数, 则 a3 ?
a2 ? 1 (3a1 ? 1) ? 1 3a1 3a 11 , 解得 a1 ? 2 , ? ? ∴S3 ? a1 ? 3a1 ? 1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 10 , 2 2 2 2 2

此时的数列 {an } 为 2, 5, 3, 2, 5, 3, … .上述三种情况数列 {an } 均为周期数列,又
672 ? 3 ? 2016 ,所以 S2016 ? 6720 .

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos 4 x ? 2sin 2 x ?cos 2 x ? 2 3 sin x ?cos x ? 1
? 2cos 2 x(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 3 sin x ?cos x ? 1 ? 2cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin x ?cos x
? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? , x ? R , 6? ?

??????????????????????(4 分)
2π ?π. 2

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
A? ? (Ⅱ)∵f ? π ? ? ? ?1, 2? ?

???????????????(6 分)

? ? A? π? π? ? ∴2sin ? 2 ? π ? ? ? ? ? 2sin ? 2 π ? A ? ? ? ?1 , 2 ? 6? 6? ? ? ?
π? 1 ? ∴sin ? A ? ? ? , 6? 2 ? π ? π 5π ? ∵A ? (0,π),A ? ? ? ? , ? , 6 ? 6 6 ?

∴A ?

π π π ? ,即 A ? . 6 6 3

设 △ABC 的边 BC 上的高为 h,又 a ? 2 ,
1 1 1 3 | BC | h ? ah ? h ? bc sin A ? bc . 2 2 2 4 π 由 余 弦 定 理 知 , a 2 ? 4 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? b 2 ? c 2 ? bc≥2bc ? bc ? bc ( 当 且 仅 当 3

则 S△ABC ?

b ? c ? 2 时取“=”),

∴h ?

3 3 bc≤ ? 4 ? 3 (当且仅当 b ? c ? 2 时取“=”), 4 4

即 BC 边上的高的最大值为 3 . 18. (本小题满分 12 分)

??????????????????(12 分)

解: (Ⅰ)设事件 A=“抽出的 2 组数据恰好是相邻两个月的数据” , 所有的基本事件 (m, n) (其中 m,n 为月份)有: (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (2, 3) ,
2 ? 10 种, (2, 4) , (2, 5) , (3, 4) , (3, 5) , (4, 5) ,共 C5

其中事件 A 包含的基本事件有: (1, 2) , (2, 3) , (3, 4) , (4, 5) ,共 4 种,
∴P( A) ? 4 2 ? . 10 5

?????????????????????????(6 分)

1 1 (Ⅱ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3,y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 , 5 5

?x y
i ?1 i

5

i

? 1 ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 5 ? 6 ? 81 , ? xi2 ? 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 55 ,
i ?1

5

?? ∴b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? ? 5x 2

?x
i ?1

2 i

81 ? 5 ? 3 ? 5 ? 0.6 , 55 ? 5 ? 9

? ? 5 ? 0.6 ? 3 ? 3.2 ,∴y ? ? 0.6 x ? 3.2 , ? ? y ? bx a

当 x ? 6 时, y ? 6.8 . 故今年 6 月份该种产品的产量大约为 6.8 万件. 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵△AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点,∴AO ? EF . ???????????(12 分)

∵平面AEF ? 平面EFCB , 平面AEF ? 平面EFCB ? EF , AO ? 平面AEF , ∴AO ? 平面EFCB , 又 BE ? 平面EFCB ,
∴AO ? BE .

??????????????????????????(4 分)

(Ⅱ)解:如图 5,取 CB 的中点 D,连接 OD, 以 O 为原点,分别以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0, 0,
3a), E (a, 0, 0), B(2, 2 3 ? 3a, 0) ,

??? ? ??? ? ∴AE ? (a, 0, ? 3a), EB ? (2 ? a, 2 3 ? 3a, 0) . ?? ? 设平面 AEB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则
? ??? ? ? ?n1 ?AE ? ax ? 3az ? 0, ? ? ? ??? ? ?n1 ?EB ? (2 ? a) x ? (2 3 ? 3a) y ? 0,

图5

?? ? 令 z ? 3 ,则 x ? 3, y ? ? 3 , n1 ? (3, ? 3, ?? ? 易知平面 AEF 的法向量为 n2 ? (0, 1, 0) ,

3) ,

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ?n2 ? 3 5 ? ?? ? ? , ∴cos? n1 , n2 ? ? ?? ?? 5 | n1 || n2 | 15

∴二面角 F ? AE ? B 的正弦值为 20. (本小题满分 12 分)

2 5 . 5

???????????????(12 分)

2 ? ? x ? 2 py1 , 解: (Ⅰ)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 ? 1 2 ? ? x2 ? 2 py2 ,

? ???? ???? ? ???? ???? ∵AM ? 2MB , AM ? (? x1 , 1 ? y1 ) , MB ? ( x2 , y2 ? 1) ,
?? x1 ? 2 x2 , ?? x ? 2 x2 , 即? 1 ∴? ?1 ? y1 ? 2( y2 ? 1), ? y1 ? 3 ? 2 y2 ,
2 ?4 x2 ? 2 p(3 ? 2 y2 ), ? 代入抛物线方程得 ? 2 ? ? x2 ? 2 py2 ,

? x2 ? p , ? x2 ? ? p , ? ? 或 ∴? ? 1 1 ? y2 ? ? y2 ? , ? 2 ? 2

∵直线 l 的倾斜角为

y ? y1 3 y2 ? 3 y2 ? 1 ? ? ? ?1, ,即 k AB ? 2 x2 ? x1 3x2 x2 4

1 1 ?1 ?1 ∴2 ? 1 (舍去)或 2 ? 1, p ? p
∴p ? 1 1 ,∴抛物线 C: x 2 ? y . 4 2

??????????????????(6 分)

另解:由题意,得直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
? x 2 ? 2 py, ∵? ? y ? x ? 1,

? x ? x ? 2 p, ∴x 2 ? 2 px ? 2 p ? 0 , ∴? 1 2 ? x1 ?x2 ? ?2 p,

? ???? ???? ? ???? ???? 又∵AM ? 2MB , AM ? (? x1 , 1 ? y1 ) , MB ? ( x2 , y2 ? 1) ,
? x1 ? x2 ? 2 p, ? ∴ ? x1 ? 2 x2 ,即 ? x1 ?x2 ? ?2 p, ?? x ? 2 x , 2 ? 1

? ? x1 ? 1, ? 1 ? 解方程得 ? x2 ? ? , 2 ? 1 ? p? , ? ? 4

∴抛物线 C: x 2 ? (Ⅱ)∵x 2 ?

1 y. 2

??????????????????????(6 分)

1 y ,即 y ? 2 x 2 , ∴y ? ? 4 x . 2
x ? x0

2 设抛物线 C 上任意一点 N ( x0 , 2 x0 ) , y?

? 4 x0 ,

2 2 ) 处的切线 l ? 的方程为 y ? 2 x0 ? 4 x0 ( x ? x0 ) , 则在点 N ( x0 , 2 x0

2 ?0, 即 l ? : 4 x0 x ? y ? 2 x0
2 | ?1 ? 2 x0 | 2 1 ? 16 x0 2 1 ? 2 x0 2 1 ? 16 x0

∴点 M (0, 1) 到直线 l ? 的距离为 d ?

?

( x0 ? R ) .

2 2 ≥1 ,则 x0 ? 令 t ? 1 ? 16 x0

t2 ?1 , 16

∴d ?

t2 ? 7 1 ? 7 ? 7 ? ? t ? ?≥ (当且仅当 t ? 7 时取等号) , 8t 8? t? 4
6 7 时, d min ? . 4 4 7 . 4

∴当 x0 ? ?

∴点 M 到直线 l ? 的距离的最小值为 21. (本小题满分 12 分)

??????????????(12 分)

解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) ,

f ?( x) ?

1 1 a ? x 2 ? 2 x ? 2a ? ? ? . x 2 x2 2 x2

令 f ?( x) ? 0 ,则 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 0,? ? 4 ? 8a ,
1 ①当 a≥ 时, ?≤0 , f ?( x)≤0 , 2

∴f ( x) 在 (0, ? ?) 上为减函数;

②当 a ?

1 时, ? ? 0 , ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 0 有两不等根, 2

x1 ? 1 ? 1 ? 2a , x2 ? 1 ? 1 ? 2a .

i)当 0 ? a ?

1 时, 0 ? x1 ? x2 , 2

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? x ? x2 ,则 f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? x1或x ? x2 ,则 f ( x) 在 (0, x1 ) , ( x2 , ? ?) 上单调递减. ii)当 a≤0 时, x1≤0 ? x2 , 令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? x2 ,则 f ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递增; 令 f ?( x) ? 0 得 x ? x2 ,则 f ( x) 在 ( x2 , ? ?) 上单调递减.
1 综合①、②得,当 a≥ 时, f ( x) 在 (0, ? ?) 上是减函数; 2

当0? a ?

1 时, f ( x) 在 (0, 1 ? 1 ? 2a ) , (1 ? 1 ? 2a , ? ?) 上是减函数, 2

在 (1 ? 1 ? 2a , 1 ? 1 ? 2a ) 上是增函数; 当 a≤0 时, f ( x) 在 (0, 1 ? 1 ? 2a ) 上是增函数,在 (1 ? 1 ? 2a , ? ?) 上是减函数. ??????????????????????????????(6 分) (Ⅱ)对于任意的 x1 , x2 ? [1, 2] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 )≤1 恒成立, 等价于 ?x ? [1, 2] , f ( x)max ≤1 ? g ( x) min , 由(Ⅰ)知,当 a ?
1 时, f ( x) 在 [1, 2] 上为减函数, 2

1 ∴f ( x) max ? f (1) ? ? ? a . 2

下面求当 x ? [1, 2] 时 g ( x) 的最小值,
x ? ln( x ? 1) x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) g ?( x) ? x ? 1 2 ? , x ? [1, 2] , x ( x ? 1) x 2

令 h( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? [ln( x ? 1) ? 1] ? ? ln( x ? 1) ,
∵x ? [1, 2] ,∴h?( x) ? 0 ,∴h( x) 在 [1, 2] 上为减函数,

∴当 x ? [1, 2] 时, h( x)≤h(1) ? 1 ? 2ln 2 ? 1 ? ln 4 ? 0 , ∴当 x ? [1, 2] 时, g ?( x) ? 0 ,∴g ( x) 在 [1, 2] 上为减函数, ∴当 x ? [1, 2] 时, g ( x) min ? g (2) ?
ln 3 , 2

∴?

1 ln 3 ln 3 ? 3 1 ,又 a ? , ? a≤ ? 1 ,∴a≤ 2 2 2 2



1 ln 3 ? 3 时,对于任意的 x1 , x2 ? [1, 2] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 )≤1 恒成立. ? a≤ 2 2

????????????????????????????(12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 6,连接 MN,BN, ∵NA 为⊙O2 的直径,
∴?AMN ? 90? ,∴?BMN ? 90? ,

∴BN 为⊙O1 的直径,
∴?BEN ? 90? ,∴?BEC ? 90? ,
图6

又∵NA 为⊙O2 的直径, ?ACN ? 90? ,
∴?BEC ? ?ACN , ∴AC∥BE .

??????????????????????????(5 分)

(Ⅱ)∵AC∥BE ,
∴△ACD∽△BED ,∴

AC CD ; ? BE DE

∵点 C 为 ? AM 的中点,∴?ANC ? ?CAM , 又∵?ACN ? ?DCA ,∴△ACN ∽△DCA ,
∴ AC CN , ? CD AC

∴AC 2 ? CD ?CN .
又∵

AC 2 CD 2 CD ?CN CD 2 ? ? ,∴ , 2 2 BE DE BE 2 DE 2

∴CD ? BE 2 ? CN ? DE 2 . ??????????????????????(10 分)
23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? x ? ? cos ? , 解: (Ⅰ)∵? 且曲线 C : ? ? 2cos ? , ? y ? ? sin ? ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,

曲线 C 是圆心为 (1, 0) ,半径为 r ? 1 的圆.
? 2 2 x ? ?1 ? t, ? ? 3 ∵直线的参数方程为 ? (t 为参数) , ? y ? 1 t, ? 3 ?

∴直线的普通方程为 x ? 2 2 y ? 1 ? 0 , ∴圆心 C 到直线的距离为 d ?
|1 ? 1| 1? 8
2

?

2 , 3

2 5 ?2? . ∴| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ? 1 ? ? ? ? 3 3 ? ?

???????????????(5 分)

? x ? 1 ? cos ? , (Ⅱ)由题,可得圆 C 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数, ? ? [0, 2?) ) , ? y ? sin ? ,
1 ?1 ? 设圆 C 上的任意一点 Q(1 ? cos ? , sin ? ) ,则线段 PQ 的中点 R ? cos ? , sin ? ? , 2 2 ? ?
∵RH ? x 轴,

?1 ? ∴H ? cos ? , 0 ? , ?2 ?

∵点 G 在射线 HR 上,且满足 | HG |? 3 | HR | ,
1 ? x ? xR ? cos ? , ? ? G 2 ∴? ? y ? 3 y ? 3 sin ? , G R ? ? 2

1 ? x ? cos ? , ? ? 2 ∴点 G 的轨迹 C ? 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数, ? ? [0, 2?) ) , ? y ? 3 sin ? , ? ? 2

轨迹 C ? 是焦点在 y 轴,长轴长为 3,短轴长为 1 的椭圆. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解:由绝对值三角不等式, 得 f ( x) ?| x ? 2a | ? | x ? 5 | ≤ | ( x ? 2a) ? ( x ? 5) |?| 5 ? 2a | , ∵对于任意 x ? R 都有 f ( x)≤1 恒成立,
∴| 5 ? 2a | ≤1 ,∴ ? 1≤5 ? 2a≤1 ,

????????(10 分)

即 4≤2a≤6 ,

∴2≤a≤3 .

???????????????????????????(5 分)

(Ⅱ)证明:∵ 0 ? b ? 1 ,
∴0 ? 1 ? b ? 1 , 1 ? 1 ? b ? 2 . ∵2≤a≤3 ,

∴由对数函数的性质,可得 log a (1 ? b) ? 0 , log a (1 ? b) ? 0 ,
∴| log a (1 ? b) | ? | log a (1 ? b) |? ? log a (1 ? b) ? log a (1 ? b) ? ? log a [(1 ? b) ?(1 ? b)]

? ? log a (1 ? b 2 ) .
∵ 0 ? b ? 1 ,∴0 ? 1 ? b 2 ? 1 ,∴log a (1 ? b 2 ) ? 0 ,

∴| log a (1 ? b) | ? | log a (1 ? b) |? ? log a (1 ? b 2 ) ? 0 ,
即 | log a (1 ? b) |?| log a (1 ? b) | . ????????????????????(10 分)


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