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2016


3.三个正数的算术?几何平均不等式

1.探索并了解三个正数的算术?几何平均不等式的证明过程. 2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值.(重点) 3.会建立函数不等式模型,利用其解决实际生活中的最值问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 三个正数的算术?几何平均不等式 阅读教材 P8~P9 定理 3,完成下列问题. 1.如果 a,b,c∈R+,那么 a +b +c ≥3abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 2.定理 3:如果 a,b,c∈R+,那么
3 3 3

a+b+c
3

3 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

已知 a,b,c 为正数,则 + + 有( A.最小值为 3 C.最小值为 2 【解析】 3 a b c a b c + + ≥3 × × =3, b c a b c a

a b c b c a

) B.最大值为 3 D.最大值为 2

当且仅当 = = ,即 a=b=c 时,取等号. 【答案】 A 教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9~P9“例 5”以上部分,完成下列问题. 对于 n 个正数 a1, a2, ?, an, 它们的算术平均不小于它们的几何平均, 即

a b c b c a

a1+a2+?+an n

≥ a1a2?an,当且仅当 a1=a2=?=an 时,等号成立. 教材整理 3 利用基本不等式求最值 阅读教材 P9~P9“习题 1.1”以上部分,完成下列问题.

n

1

若 a,b,c 均为正数,①如果 a+b+c 是定值 S,那么 a=b=c 时,积 abc 有最大值; ②如果积 abc 是定值 P,那么当 a=b=c 时,和 a+b+c 有最小值.

4 设 x>0,则 y=x+ 2的最小值为(

x

) 【导学号:32750012】

A.2 C.3 2

B.2 2 D.3

3 x x 4 4 x x 4 【解析】 y=x+ 2= + + 2≥3· · · 2=3, x 2 2 x 2 2 x

x 4 当且仅当 = 2时取“=”号. 2 x
【答案】 D [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 证明简单的不等式

?1 1 1? 2 设 a,b,c 为正数,求证:? 2+ 2+ 2?(a+b+c) ≥27. ?a
b c?
3 【精彩点拨】 根据不等式的结构特点,运用 a+b+c≥3 abc,结合不等式的性质证 明. 【自主解答】 ∵a>0,b>0,c>0, 3 ∴a+b+c≥3 abc>0, 3 2 2 2 2 从而(a+b+c) ≥9 a b c >0.
2

3 1 1 1 又 2+ 2+ 2≥3

1

a

b

c

abc

2 2 2

>0,

?1 1 1? 2 ∴? 2+ 2+ 2?(a+b+c) ?a
b c?
3 ≥3 1 3 2 2 2 ·9 a b c =27,

a2b2c2

当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

1.(1)在应用平均不等式时,一定要注意是否满足条件,即 a>0,b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题 眼”,不妨运用平均不等式试试看. 2.连续多次运用平均不等式定理时,要特别注意前后等号成立的条件是否一致.

[再练一题]

?1 1 1? 3 1.设 a,b,c 为正数,求证:? 3+ 3+ 3?(a+b+c) ≥81. ?a
b c?
【导学号:32750013】 【证明】 因为 a,b,c 为正数, 3 1 1 1 1 1 1 3 所以有 3+ 3+ 3≥3 >0. 3· 3· 3=

a

b

c

a

b

c

abc

3 3 3 又(a+b+c) ≥(3 abc) =27abc>0,

?1 1 1? 3 ∴? 3+ 3+ 3?(a+b+c) ≥81, ?a
b c?
当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 用平均不等式求解实际问题 如图 1?1?2 所示,在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知 道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物 理学知识,桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 sin θ 成正比,而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即 E=k .这里 k 是一个和灯光强 2

r

度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

3

图 1?1?2 sin θ 【精彩点拨】 根据题设条件建立 r 与 θ 的关系式,将它代入 E=k ,得到以 θ 2

r

为自变量,E 为因变量的函数关系式,再用平均不等式求函数的最值. 2 【自主解答】 ∵r= , cos θ
2 π sin θ cos θ ? 0<θ < ? ∴E=k· . ? 2? 4 ? ?

∴E = ·sin θ ·cos θ 16 = ≤ (2sin θ )·cos θ ·cos θ 32 32?
2 2 2 k2 ?2sin θ +cos θ +cos θ ?3

2

k2

2

4

k2

2

2

2

?

3

? =108, ?

k2

当且仅当 2sin θ =cos θ 时取等号, 1 2 2 即 tan θ = ,tan θ = 时,等号成立. 2 2 ∴h=2tan θ = 2,即 h= 2时,E 最大. 因此选择灯的高度为 2米时,才能使桌子边缘处最亮.

2

2

sin θ cos θ 1.本题的关键是在获得了 E=k· 后,对 E 的函数关系式进行变形求得 E 4 的最大值. 2.解应用题时必须先读懂题意,建立适当的函数关系式,若把问题转化为求函数的最 值问题,常配凑成可以用平均不等式的形式,若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接 求解.

2

[再练一题] π 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来制作底面的金属板的价格为每平方米 30 2
4

元,用来制作侧面的金属板的价格为每平方米 20 元,要使用料成本最低,则圆柱形桶的底 面半径和高应各为多少米? 【解】 设圆柱形桶的底面半径为 r 米,高为 h 米,则底面积为 π r 平方米,侧面积 为 2π rh 平方米. 设用料成本为 y 元,则 y=30π r +40π rh. π π 1 2 ∵桶的容积为 ,∴π r h= ,∴rh= . 2 2 2r 20 3 ? 2 1 1? 2 ∴y=30π r + π =10π ?3r + + ?≥10π ×3 3,
2 2

r r

?

r r?

1 2 当且仅当 3r = 时, 3 9 9 即 r= 时等号成立,此时 h= . 3 2 3 9 9 故要使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径应为 米,高为 米. 3 2 [探究共研型] 利用平均不等式求最值 探究 1 利用不等式 3 3

a+b+c
3

3 ≥ abc求最值的条件是什么?

【提示】 “一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为正;(2)和或积为定值;(3) 各项或各因式能取到相等的值. 4 2 探究 2 如何求 y= 4+x 的最小值?

x

2 2 2 3 4 x2 x2 4 4 x x 4 x 2 【提示】 y= 4+x = 4+ + ≥3 当且仅当 4= , 即 x=± 2时, 4· · =3, x x 2 2 x 2 2 x 2

等号成立, ∴ymin=3. 其中把 x 拆成 和 两个数,这样可满足不等式成立的条件. 2 2 若这样变形:y= 4+x = 4+ + x ,虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等” x x 4 4 4 x 3 2 不能成立,因为 4= = x 时 x 无解,不能求出 y 的最小值. x 4 4 已知 x∈R+,求函数 y=x(1-x )的最大值. 【精彩点拨】 为使数的“和”为定值,可以先平方,即 y =x (1-x ) =x (1-x )(1
5
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 x2
4

2

4

x2 3

2

1 2 2 2 2 -x )=2x (1-x )(1-x )× ,求出最值后再开方. 2 【自主解答】 ∵y=x(1-x ), ∴y =x (1-x )
2 2 2 2 2

1 2 2 2 =2x (1-x )(1-x )· . 2 ∵2x +(1-x )+(1-x )=2, 1?2x +1-x +1-x ? 4 2 ∴y ≤ ? ? =27. 3 2? ? 当且仅当 2x =1-x , 即 x= 3 时等号成立. 3
2 2 2 2 2 3 2 2 2

2 3 2 3 ∴y≤ ,∴y 的最大值为 . 9 9

1.解答本题时,有的同学会做出如下拼凑: 1 1?x+2-2x+1+x? 1 y=x(1-x )=x(1-x)(1+x)= ·x(2-2x)·(1+x)≤ ? ? =2. 3 2 2? ?
2 3

虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取“=”号的条件,显然 x= 2-2x=1+x 无解,即无法取“=”号,也就是说,这种拼凑法是不正确的. 2.解决此类问题时,要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构,同时也要注意算 术?几何平均不等式的使用条件,三个缺一不可.

[再练一题] 4 3.若 2a>b>0,试求 a+ 的最小值. ?2a-b?b 【导学号:32750014】 4 2a-b+b 4 【解】 a+ = + ?2a-b?b 2 ?2a-b?b = 2a-b b 4 + + 2 2 ?2a-b?b 3 2a-b b 4 · · =3, 2 2 ?2a-b?b

≥3·

2a-b b 4 当且仅当 = = , 2 2 ?2a-b?b 即 a=b=2 时取等号.
6

所以当 a=b=2 时,

a+

4 有最小值为 3. ?2a-b?b [构建·体系]

?— 平均不等式的理解 平均不等式— — 利用平均不等式求最值 ? ?— 利用平均不等式证明

1.已知 x+2y+3z=6,则 2 +4 +8 的最小值为( 3 A.3 6 B.2 2 C.12
x y

x

y

z

)

3 D.12 5
z x
2y 3z

【解析】 ∵x+2y+3z=6,∴2 +4 +8 =2 +2 +2 3 x 3 x+2y+3z 2y 3z ≥3 2 ·2 ·2 =3 2 =12.

2 x 2y 3z 当且仅当 2 =2 =2 ,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立. 3 【答案】 C 2.若 a>b>0,则 a+ A.0 B.1 C.2 【解析】 ∵a+ 1 的最小值为( b?a-b? )

D.3

3 1 1 1 = (a- b)+ b+ ≥3 ?a-b?·b· b?a-b? b?a-b? b?a-b? 1 的最小值为 3.故选 D. b?a-b?

=3,当且仅当 a=2,b=1 时取等号,∴a+ 【答案】 D

3.函数 y=4sin x·cos x 的最大值为________,最小值为________. 【解析】 ∵y =16sin x·sin x·cos x =8(sin x·sin x·2cos x) ≤8?
2 2 2 2 2 2 2

2

?sin x+sin x+2cos x?3 ? 3 ? ?

2

2

2

8 64 =8× = , 27 27 64 2 2 2 ∴y ≤ ,当且仅当 sin x=2cos x, 27
7

即 tan x=± 2时取等号. 8 8 ∴ymax= 3,ymin=- 3. 9 9 【答案】 8 3 9 8 - 3 9

20 4.函数 f(x)=5x+ 2 (x>0)的最小值为________.

x

【导学号:32750015】 20 5 5 20 3 3 【解析】 ∵f(x)=5x+ 2 = x+ x+ 2 ≥3 5 =15. x 2 2 x 5 20 当 x= 2 ,即 x=2 时取等号. 2 x 【答案】 15 5.已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y )(1+x +y)≥9xy. 【证明】 因为 x>0,y>0,所以 1+x+y ≥ 3 2 3 2 2 3 xy >0,1+x +y≥3 x y>0, 3 2 3 2 2 2 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 xy ·3 x y=9xy.
2 2 2

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(三) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知正数 x,y,z,且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是( A.(-∞,lg 6] C.[lg 6,+∞) 3 【解析】 ∵6=x+y+z≥3 xyz,
8

)

B.(-∞,3lg 2] D.[3lg 2,+∞)

∴xyz≤8. ∴lg x+lg y+lg z =lg(xyz)≤lg 8=3lg 2. 【答案】 B 1 2. 已知 x∈R+, 有不等式: x+ ≥2 3 x x 4 1 4 x x 4 x· =2, x+ 2= + + 2≥3 · · 2=3, ?. x x 2 2 x 2 2 x )

x

启发我们可能推广结论为:x+ n≥n+1(n∈N+),则 a 的值为( A.n
n

a x

B.2

n

C.n

2

D.2

n+1

【解析】
n

a x+ n= x

+ n,要使和式的积为定

a x

值,则必须 n =a,故选 A. 【答案】 A 3.设 0<x<1,则 x(1-x) 的最大值为( 1 A. 8 3 B.1 C. 18 3 4 D. 27
2

)

【解析】 ∵0<x<1, ∴0<1-x<1, 1 2 ∴x(1-x) = ·2x·(1-x)·(1-x) 2 1?2x+?1-x?+?1-x??3 4 ≤ ? ? =27. 3 2? ? 1 当且仅当 x= 时,等号成立. 3 【答案】 D 4.已知 a,b,c∈R+,x=

a+b+c
3

,y= abc,z=

3

a2+b2+c2
3

,则(

)

【导学号:32750016】 A.x≤y≤z C.y≤z≤x B.y≤x≤z D.z≤y≤x

9

【解析】 由 a,b,c 大于 0,易知 ?a+b+c? , 9 且x=
2 2 2

a+b+c
3

a + b +c 3 2 2 ≥ abc,即 x≥y.又 z = ,x = 3

2

2

2

a2+b2+c2+2?ab+bc+ca? 3?a2+b2+c2? a2+b2+c2
9
2



9



3



∴x ≤z ,则 x≤z, 因此 z≥x≥y. 【答案】 B 5.设 x,y,z>0,且 x+3y+4z=6,则 x y z 的最大值为( A.2 C.8 B.7 D.1
2 3

)

x x 6 2 3 【解析】 ∵6=x+3y+4z= + +y+y+y+4z≥6 x y z, 2 2
∴x y z≤1,当 =y=4z 时,取“=”, 2 1 2 3 即 x=2,y=1,z= 时,x y z 取得最大值 1. 4 【答案】 D 二、填空题 6.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a*b=
2 3

x

a+b
2

,则两边均含

有运算“*”和“+”,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以是________. 【解析】 由题意知 a+(b*c)=a+

b+c 2a+b+c
2 = 2



?a+b?+?a+c? 2a+b+c (a+b)*(a+c)= = , 2 2 所以 a+(b*c)=(a+b)*(a+c). 【答案】 a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 1 7.若 a>2,b>3,则 a+b+ 的最小值为________. ?a-2??b-3? 【解析】 ∵a>2,b>3,∴a-2>0,b-3>0, 1 1 则 a+b+ =(a-2)+(b-3)+ +5 ?a-2??b-3? ?a-2??b-3? 3 ≥3 1 ?a-2?×?b-3?× +5=8. ?a-2??b-3?

10

1 当且仅当 a-2=b-3= ,即 a=3,b=4 时等号成立. ?a-2??b-3? 【答案】 8 1 1 8.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤ ;② ≥27; 27 abc 1 2 2 2 ③a +b +c ≥ . 3 其中正确的不等式序号是________. 【解析】 ∵a,b,c∈(0,+∞), 3 ∴1=a+b+c≥3 abc, 1 ?1? 1 0<abc≤? ? = , ≥27, ?3? 27 abc 从而①正确,②也正确.又 a+b+c=1, ∴a +b +c +2(ab+bc+ca)=1, 1 2 2 2 2 2 2 因此 1≤3(a +b +c ),即 a +b +c ≥ ,③正确. 3 【答案】 ①②③ 三、解答题 1 1 1 2 2 2 2 9.已知 a,b,c 均为正数,证明:a +b +c +( + + ) ≥6 3,并确定 a,b,c 为
2 2 2 3

a b c

何值时,等号成立. 2 【证明】 因为 a,b,c 均为正数,由算术?几何平均不等式,得 a +b +c ≥3(abc)3,
2 2 2

① 1 1 1 1 3 + + ≥3(abc) . 2

a b c

?1 1 1?2 所以? + + ? ≥9(abc) 3. ?a b c?



?1 1 1?2 2 2 2 故 a +b +c +? + + ? ?a b c?
2 2 ≥3(abc)3+9(abc) 3. 2 2 3 3 又 3(abc) +9(abc) ≥2 27=6 3, ③ 所以原不等式成立.

11

当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 2 2 当且仅当 3(abc)3=9(abc) 3时,③式等号成立. 4 即当且仅当 a=b=c= 3时,原式等号成立. 10.已知 x,y,z∈R+,x+y+z=3. 1 1 1 (1)求 + + 的最小值;

x y z

(2)证明:3≤x +y +z <9. 1 1 1 3 3 【解】 (1)因为 x+y+z≥3 xyz>0, + + ≥ >0, x y z 3

2

2

2

xyz

1 1 1 ?1 1 1? 所以(x+y+z)? + + ?≥9,即 + + ≥3,

?x y z?

x y z

1 1 1 当且仅当 x=y=z=1 时, = = 取最小值 3.

x y z

(2)证明:x +y +z =

2

2

2

x2+y2+z2+?x2+y2?+?y2+z2?+?z2+x2?
3 ≥ =

x2+y2+z2+2?xy+yz+zx?
3 ?x+y+z? =3. 3
2 2 2 2 2 2 2 2

又 x +y +z -9=x +y +z -(x+y+z) =-2(xy+yz+zx)<0, 所以 3≤x +y +z <9. [能力提升] 1.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列总成立的是( A.V≥π B.V≤π 1 C.V≥ π 8 1 D.V≤ π 8 )
2 2 2

6-4r 2 【解析】 设圆柱半径为 r,则圆柱的高 h= ,所以圆柱的体积为 V=π r ·h= 2 6-4r ?r+r+3-2r? =π . 2 πr· =π r (3-2r)≤π ? ? 3 2 ? ?
2 3

当且仅当 r=3-2r,即 r=1 时取等号. 【答案】 B 2.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x y=2,则 xy+x 的最小值是(
2 2

) 【导学号:32750017】

12

A.1

B.2

C.3

D.4

1 1 2 2 【解析】 xy+x = xy+ xy+x ≥ 2 2 3 1 3 1 3 4 1 2 2 xy· xy·x2=3 ?x y? =3 =3. 2 2 4 4

3

【答案】 C 3.已知关于 x 的不等式 2x+ 值为________. 1 1 【解析】 ∵2x+ 2=(x-a)+(x-a)+ 2+2a.又∵x-a>0, ?x-a? ?x-a? ∴2x+ 3 1 1 ?x-a??x-a? 2≥3 2+2a ?x-a? ?x-a? 1 2≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小 ?x-a?

=3+2a, 1 当且仅当 x-a= 2,即 x=a+1 时,取等号. ?x-a? ∴2x+ 1 2的最小值为 3+2a. ?x-a?

由题意可得 3+2a≥7,得 a≥2. 【答案】 2 4. 如图 1?1?3(1)所示, 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形, 再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图 1?1?3(2)所示,求这个正六棱柱容器 容积的最大值.

图 1?1?3 【解】 设正六棱柱容器底面边长为 x(0<x<1),高为 h,

由图可有 2h+ 3x= 3, ∴h= 3 (1-x), 2

13

V=S 底·h=6× x x

3 2 3 3 2 3 x ·h= x · ·(1-x) 4 2 2

?x+x+1-x? 1 ? 3= . =9× × ×(1-x)≤9×?2 2 ? ? 3 2 2 3 ? ?
x 2 当且仅当 =1-x,即 x= 时,等号成立. 2 3
2 1 所以当底面边长为 时,正六棱柱容器容积最大值为 . 3 3

14


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