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2015-2016学年山东省济南第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题


济南一中 2015—2016 学年度第二学期期末考试

高二数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分.考试 限定用时 120 分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸 规定的位置.

第Ⅰ卷(选择题共 80 分)
一、选择题:本大题共 20 小题,每小题 4 分,共 80 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. ?

2 4 ? i 5 5

2i ,则 z ? ( ) 2?i 2 4 2 4 ? i ? i B. C. 5 5 5 5

D. ?

2 4 ? i 5 5

2. 有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ? x ? ,如果 f ' ? x0 ? ? 0 ,那么 x ? x0 是函 数 f ? x ? 的极值点。因为函数 f ? x ? ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ' ? 0? ? 0 ,所以 x ? 0 是函数

f ? x ? ? x3 的极值点。以上推理中( )
A.小前提错误 B.大前提错误 ) C. C.推理形式错误 D.结论正确 3.下列值等于 1 的积分是( A.

?

1

0

xdx

B.

?0 ? x ? 1? dx
6 )

1

? 1dx
0

1

D.

?

1

0

1 dx 2
8 0.1 D. a ? 0.1, b ? 0.4

4. 已知随机变量 X 的概率分布列如下所示: 5 0.4 且 X 的数学期望 EX ? 6 ,则( A. a ? 0.3, b ? 0.2

X p

a

7

b
C. a ? 0.4, b ? 0.1

B. a ? 0.2, b ? 0.3

5 用反证法证明命题:“已知 a,b∈N,若 ab 可被 5 整除,则 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”时,反设正确的是( A.a,b 都不能被 5 整除 C.a,b 中有一个不能被 5 整 ) B.a,b 都能被 5 整除 D.a,b 中有一个能被 5 整除 ) ④ y ? 2x D. ① ③

6.下列四个函数,在 x ? 0 处取得极值的函数是(
① y ? x3 A. ① ② ② y ? x 2 +1 B. ② ③ ③y? x C. ③ ④

7. 分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a > b > c ,且 a + b + c = 0 ,求证 b2-ac< 3a”索的因应是 A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

8.某企业为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了 72 名员工进

行调查,所得的数据如下表所示: 积极支持改革 工作积极 工作一般 合 计 不太支持改革 合 计

28 16

8

36 36 72

20 28

44

对于人力资源部的研究项目,根据上述数据能得出的结论是 (参考公式与数据:? 2 ?

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 .当 ? 2 ? 3.841 时, 有 95% 的把握说事件 n1? n2? n?1n? 2

A 与 B 有关;当 ? 2 ? 6.635 时,有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关; 当 ? 2 ? 3.841 时认为
事件 A 与 B 无关.) A.有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关 C.有 90% 的把握说事件 A 与 B 有关 同的选法共有( A.60 种 ) B.70 种 C.75 种 D.150 种 B.有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关 D.事件 A 与 B 无关

9. 有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不

10. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2ln x ? x ? f ' ?1? , 则 曲 线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 是 ( ). A . x? y?2?0 D. x ? y ? 2 ? 0 1 1 1 11. 国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 , , .假定三人的行动相互之间没 3 4 5 有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为 ( A. 59 60
2

B . x? y?2?0

C . x? y?2? 0

). D. 1 60

B.

3 5
n

C.

1 2

1 ? ? 2 ) x ? ? 的展开式中的常数项为( ?0 3x dx ,则 ? 2x ? ? 35 35 A. ? B. C. ?70 D. 70 8 8 1 13. 已 知 函 数 f ? x ? = x 2 ? cos x , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的 导 函 数 , 则 f ? ? x ? 的 图 象 大 致 是 4
12.设 n ?




3 0

14. 定积分 ?
A. 9?

9 ? x 2 dx 的值为(
B. 3?

) C.

9 ? 4

D.

9 ? 2

15.用数学归纳法证明不等式“

1 1 1 13 ? ?? ? ? (n ? 2) ”的过程中,由 n ? k 到 n ?1 n ? 2 2n 24

n ? k ? 1 时,不等式的左边( ) 1 A.增加了一项 2(k ? 1) 1 1 B.增加了两项 ? 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 1 C.增加了两项 ,又减少了一项 ? k ?1 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 D.增加了一项 ,又减少了一项 k ?1 2(k ? 1)
16.函数 f ? x ? ? x2ex?1 , x ???2,1? 的最大值为( A. 4e?1 B.1 ) D. 3e 2 )
2 5 3

C. e 2

17. 某学校组织 5 个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的 5 个科技馆, 每个年级任选一 个科技馆参观,则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有( A. A ? A
2 5 3 4种

B. A ? 4 种
2 5 3

C. C ? A
2 5

3 4种

D. C ? 4 种
k

x 18. 已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ? x ? ? e ? 1 ? x ? 1?

?

?



? k ? 1, 2?

则 ( ,

).

A.当 k ? 1 时, f ? x ? )在 x=1 处取到极小值 值 C.当 k ? 2 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极小值 大值
5

B.当 k ? 1 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极大 D.当 k ? 2 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到极

2 3 4 5 19. 若 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,则 a0 ? a1 ? a3 ? a5 ? (



A.122
x x

B. 123

C. 243

D. 244 ) D. ( ??, 0)

20. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, 其导函数为 f '( x) , 若 f (x) ?f ( 'x ) 1? , f (0) ? 2016 , 则不等式 e f ( x) ? e ? 2015 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. (2015, ??) B. (??,0) ? (2015, ??) C. (??,0) ? (0, ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 21. 设复数 z 满足 Z ? ? 2 ? i ? ? 10 ? 5i , ( i 为虚数单位) ,则 Z 的模为__________
2 22. 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N 2, ?

?

?

, 且 P ?? ? 4? ? 0 . , 8 则

P ? 0 ? ? ? 2? ?
23. 由曲线 y ? 24.

________

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为___________
5

? 2 x ? 1?? 3 ? 2 x ?

的展开式中,含 x 次数最高的项的系数是_________(用数字作答).

25. 把正整数排列成如图甲所示三角形数阵,然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数, 得到如图乙所示三角形数阵, 设 aij 为图乙三角形数阵中第 i 行第 则实数对 ? m, n ? 为________.

j 个数, 若 amn ? 2015 ,

三、解答题:本大题共4小题, 共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 26. (本小题共 12 分)某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下 简称活动) .该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数; (Ⅱ)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.

参加人数 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

27.(本小题共 12 分)设函数 f ( x ) ?

x e2 x

, (e ? 2.71828?是自然对数的底数).

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间及最大值; (Ⅱ)设 g ( x ) ?

x ? 1 ? 1 ?? +m ,若 g ( x) 在点 ? ? , g ? ? ? ? 处的切线过点 ?1,3e? ,求 m 的值 2x e ? 2 ? 2 ??

28.(本小题共 12 分)医院到某学校检查高二学生的体质健康情况,随机抽取 12 名高二学 生进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:65 , 78 , 90 ,86 , 52 , 87 , 72 , 86 , 87 ,

98 , 88 , 86.
根据此年龄段学生体质健康标准,成绩不低于 80 的为优良. (Ⅰ)将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,在该学校全体高二学生中任选 3 人进行 体质健康测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅱ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的人数,求 ? 的分布列和 期望.

29.(本小题共 14 分)设函数 f ( x) ? x ? m( x ? 1) ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x) 的极大值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,若直线 y ? 2t 与函数 f ( x) 在 [? ,1] 上的图象有交点,求实数 t 的取值 范围; (Ⅲ)当 a ? b ? 0 时,试证明: (1 ? a)b ? (1 ? b)a .

1 2

2015-2016 学年高一下学期期末考试

高二数学理(答案)
一、.选择题

CBCAA BBACC
二、填空题 21. 5 22

BCACD CDCBD
24. ?64 25. ? 45,40 ?

. 0.3 23. 10 3

三、解答题 26.解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. ……………….…….2 分

(Ⅰ)该合唱团学生参加活动的人均次数为

1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 . 100 100
……….……6 分

………….………

2 (Ⅱ)从合唱团中任选两名学生,都参加了 1 次活动有 C10 种选法,………….……………….……7


2 都参加了 2 次活动有 C50 种选法,………….……………….……8 分

2 都参加了 3 次活动有 C40 种选法,………….……………….……9 分 2 总 C100 种选法,………….……………….……10 分

他们参加活动次数恰好相等的概率为 P 0 ?

2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 ? .…….…… …12 分 2 C100 99

27.解: (Ⅰ) f ??x? ? ?1 ? 2 x?e 由 f ??x ? ? 0 解得 x ? 当x?

?2 x

,………….……………….……2 分

1 , 2

1 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递增;………….……………….……3 分 2

当x?

1 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递减.………….……………….……4 分 2

所以,函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ? ? ?,

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间是 ? ,?? ? , 2? ?2 ?

最大值为 f ? ? ?

?1? ?2?

1 ?1 e . 2
?2 x

………….……………….……6 分

(Ⅱ) g ' ? x ? ? ?1 ? 2x ? e



所以 g ' ? ? ? ? 2e 为切线的斜率,………….……………….……8 分 又 根 据 直 线 上 两 点 坐 标 求 斜 率 得

? 1? ? 2?

? 1? g ? ? ? ? 3e ? 1 e ? m ? 3e 7e ? 2m ? 2? ….……………….……10 分 = 2 ? 1 3 3 ? ?1 ? 2 2
7e ? 2m e ,所以 m ? ….……………….……12 分 3 2 2 28.解: (Ⅰ)抽取的 12 人中成绩是优良的频率为 3
所以 2e ? 故从该学校全体高二学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为

2 ….……………….……2 分 3

设“在该校全体高二学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良””的事件为 A

1 26 ? 2? 则 P ? A? ? 1 ? C ? ? 1 ? ? ? 1 ? ….……………….……5 分 ? 27 27 ? 3?
0 3

3

(Ⅱ)由题意可知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,….……………….……6 分

P ?? =0 ? ?

1 2 3 C8 C4 C4 4 1 48 12 , ? ? P ? =1 ? ? ? ? ? 3 3 C12 220 55 C12 220 55

1 3 C82C4 C8 112 28 56 14 P ?? =2 ? ? 3 ? ? , P ?? =3? ? 3 ? ? ….……………….……8 分 C12 220 55 C12 220 55

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 55

12 55

28 55

14 55

….… …………….……10 分

E? ? 0 ?

1 12 28 14 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ….……………….……12 分 55 55 55 55

29.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? m ln( x ? 1) ? m ,定义域为 (?1, ??) ,….……………….……1 分

m ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 m ln( x ? 1) ? 1 ? m ? 0 ? x ? 1 ? e
令 f ?( x) ? 0 得? x ? 1 ? e
1? m m

1? m m

,….……………….……2 分

? f ( x) 在 (?1, e

1? m m

? 1] 上单调递增,在 [e
1? m m

1? m m

? 1, ??) 上单调递减,????4 分
????5 分

所以 f ( x ) 极大值= f (e

? 1) ? me

1? m m

?1.

(Ⅱ)当 m ? 1 时, f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) , 由题意知,直线 y ? 2t 与函数 f ( x ) 在 [ ? 方程 f ( x) ? 2t 在 [ ? 分

1 ,1] 上的图象有交点等价于 2
?????6

1 ,1] 上有实数解 . 2

1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减. 2 1 1 1 又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f (? ) ? ? ? ln 2 , 2 2 2 1 ? f (1) ? f (? ) ? 0 2
由(I)知, f ( x ) 在 [ ? ????8 分

??

1 ? 当 2t ?[1 ? ln 4,0] 时,即 t ? [ ? ln 2, 0] 时,方程 f ( x) ? 2t 有解, 2 1 即直线 y ? 2t 与函数 f ( x ) 在 [ ? ,1] 上的图象有交点.???????9 分 2
(Ⅲ)要证 ?1 ? a ? ? ?1 ? b ?
b a







bl

?

? n ?

?a
l

?1 ?

a, ?

1只b





l

?

? an ?? a

?

?1 b? b

n

???????10 分

1



g ? x? ?

ln ?1 ? x ? , ? x ? 0? x





x ? ln ?1 ? x ? x ? 1 ? x ln 1 ? x ? ? ? ? g '? x? ? 1? x 2 ? x x 2 ?1 ? x ?
由(I)知 x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 在 ? 0, ?? ? 单调递减

??????12 分

? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 0 即 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,而 a ? b ? 0

? g ? a ? ? g ?b? ,故原不等式成立??????14 分


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