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2018-2019年人教A版高中数学选修2-1练习:第二章 2.4 2.4.2 抛物线的简单几何性质 Word版含解析

初中、高中、教案、习题、试卷 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.已知抛物线的对称轴为 x 轴,顶点在原点,焦点在直线 2x-4y+11=0 上, 则此抛物线的方程是( A.y2=-11x C.y2=-22x 解析:在方程 2x-4y+11=0 中, 11 令 y=0 得 x=- 2 , ? 11 ? ∴抛物线的焦点为 F?- 2 ,0?, ? ? p 11 即2= 2 ,∴p=11, ∴抛物线的方程是 y2=-22x,故选 C. 答案:C 2.已知直线 y=kx-k 及抛物线 y2=2px(p>0),则( A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:∵直线 y=kx-k=k(x-1), ∴直线过点(1,0). 又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部. ∴当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点; 当 k≠0 时,直线与抛物线有两个公共点. 答案:C 3.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 kOA· kOB 的值为( A.4 B.-4 1 2 1 2 ) B.y2=11x D.y2=22x ) ) C.p2 D.-p2 y1 y2 y1y2 p2 2 解析:kOA· kOB=x · = ,根据焦点弦的性质 x x = 1 2 x xx 4 ,y1y2=-p , 初中、高中、教案、习题、试卷 -p2 故 kOA· kOB= p2 =-4. 4 答案:B 4.已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 交于 A,B 两点,F 为抛物 线 C 的焦点,若|AF|=2|BF|,则 k 的值是( 1 A.3 2 2 B. 3 C.2 2 ) 2 D. 4 解析:根据题意画图,如图所示,直线 m 为抛物线的准线, 过点 A 作 AA1⊥m,过点 B 作 BB1⊥m,垂足分别为 A1,B1, 过点 B 作 BD⊥AA1 于点 D,设|AF|=2|BF|=2r,则|AA1|= 2|BB1|=2|A1D|=2r, 所以|AB|=3r,|AD|=r,则|BD|=2 2r. |BD| 所以 k=tan ∠BAD=|AD|=2 2.选 C. 答案:C →· → 5. 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点, 点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA OB =2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 17 2 C. 8 B.3 D. 10 ) 解析:设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图), →· → =2, A(x1,y1),B(x2,y2),∵OA OB ∴x1x2+y1y2=2. 2 又 y1 =x1,y2 2=x2,∴y1y2=-2. 2 ?y =x, 联立? 得 y2-ny-m=0, ?x=ny+m, ∴y1y2=-m=-2, ∴m=2,即点 M(2,0). 1 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO=2|OM||y1|+ 初中、高中、教案、习题、试卷 1 2|OM||y2|=y1-y2, 1 1 S△AFO=2|OF|· |y1|=8y1, 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+8y1 9 2 =8y1+y ≥2 1 9 2 8y1· y1=3, 4 当且仅当 y1=3时,等号成立. 答案:B 6.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得的线段的中点坐标是________. 解析:将 y=x-1 代入 y2=4x,整理,得 x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得 x1+x2 x1+x2=6, 2 =3, y1+y2 x1+x2-2 6-2 ∴ 2 = = 2 =2. 2 ∴所求点的坐标为(3,2). 答案:(3,2) 7.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7, 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为________. 解析:抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1.由抛物线的定义知|AB|=|AF| p p +|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p,即 x1+x2+2=7,得 x1+x2=5,于是弦 AB 5 5 7 的中点 M 的横坐标为2.因此,点 M 到抛物线准线的距离为2+1=2. 7 答案:2 8.已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为________. p 解析:抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=-2,而点 A(-2,3)在准线上,所以 p -2=-2,即 p=4,从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程 初中、高中、教案、习题、试卷 k 为 y-3=k(x+2),代入 y2=8x 得8y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于 k 1 Δ=1-4×8(2k+3)=0,所以 k=-2 或 k=2. 1 因为切点在第一象限,所以 k=2. 1 将 k=2代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8, 8 4 所以点 B 的坐标为(8,8),所以直线 BF 的斜率为6=3. 4 答案:3 9.已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一弦,使它恰在点 P 被平分,求这条弦所 在的直线方程. 解析:设弦的两个端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2). ∵P1,P2 在抛物线上, 2 ∴y1 =6x1,y2 2=6x2.两式相减得 (y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,代入①得 k= y2-y1 =3. x2-x1 ① ∴直线的方程为 y-1=3(x-4), 即 3x-y-11=0. 10.已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长 AB=3 5, (

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