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高考数学第二轮复习教案(5):向量与三角函数创新题型的解题技巧

第五讲
【命题趋向】

向量与三角函数创新题型的解题技巧

综观 2007 年全国各套高考数学试题,我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型 与特点: 1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、图像及变换.考查三角 函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题 或解答题形式出现,属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及 的三角函数性质在两个或两个以上,考查的知识点来源于教材. 2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式, 尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现,属 中档题. 3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒 等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知 识点的应用,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题 时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现,属中档题. 4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有 1 个选择题、1 个填空题和 1 个解答题,或选择 题与填空题 1 个,解答题 1 个,分值在 17 分—22 分之间. 5.在高考试题中, 三角题多以低档或中档题目为主, 一般不会出现较难题, 更不会出现难题, 因而三角题是高考中的得分点. 【考点透视】 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义,掌握同解三角 函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义. 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函 数和函数 y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解 A、ω、ψ 的物理意义. 6.会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsin x, arcos x,arctan x 表示.

7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决解三角形 的计算问题. 8.掌握向量与三角函数综合题的解法. 常用解题思想方法 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x; 配凑角:α =(α +β )-β ,β = ? ? ? - ? ? ? 等。 2 2 (3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5) 引入辅助角。 asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ), 这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2 2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 2.证明三角等式的思路和方法。

? 的有理式。 2

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用 正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 【例题解析】 考点 1.三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型: ⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、 余弦公式化简三角函数式能力, 以及求三角函数 的值的基本方法. ⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值

的问题. ⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法, 考查三角恒等变形及求角的 基本知识.

例 1. (2007 年重庆卷文)已知函数 f(x)=

?? ? 2 cos? 2 x ? ? 4? ?
sin(x ?

?

.

2

)

(Ⅰ)求 f(x)的定义域; (Ⅱ)若角 a 在第一象限且 cos a ?

3 , 求(a). f 5

命题目的: 本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式, 同角三角函数的关系等基本 知识,考查运算和推理能力,以及求角的基本知识..

?? ? ? ? 解: (Ⅰ)由 sin? x ? ? ? 0得x ? ? k? , 即x ? k? ? (k ? Z), 2? 2 2 ? ? ? ? 故 f(x)的定义域为 ? x ? R | x ? k? ? , k ? Z?. 2 ? ?
4 ? 3? (Ⅱ)由已知条件得 sin a ? 1 ? cos 2 a ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

从而 f (a) ?

1 ? 2 cos(2a ? sin(a ?

?
4

)

?
2

)

? ?? ? 1 ? 2 ? cos a cos ? sin 2a sin ? 4 4? ? = cos a
= 2(cos a ? sin a) ?
14 . 5



1 ? cos 2a ? sin a 2 cos 2 a ? 2 sin a cos a ? cos a cos a
4

例 2.(2006 年安徽卷)已知 3? ? a ? ?,tan?a+cosa ? ? 10 .
3

(Ⅰ)求 tan a 的值; (Ⅱ)求
5sin 2 a a a a ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 2 2 2 2 的值 . ? 2 sin(a- ) 4

命题目的:本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等基本知识, 考查运算和推理能力. 解答过程: (Ⅰ)? tan a ? cos a ? ?

10 , 3

?3tan 2 a ? 10 tan a ? 3 ? 0 ,解得 tan a ? ? 或 tan a ? ?3 .
?

1 3

1 3? ? a ? ? ,??1 ? tan a ? 0 .? tan a ? ? . 3 4

(II)? tan a ? ? ,
5sin 2 a a a a ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 2 2 2 2 2 sin a(a ? ) 4

1 3

?

?

= =

5(sin 2

a a 1 ? cos a ? cos2 ) ? 4sin a ? 6 ? ?8 2 2 2 sin a ? cos a

4 tan a ? 3 5 ?? . tan a ? 1 4

例 3(2007 年四川卷理) 已知 cos ? ?

1 13 ? , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 7 14 2

(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 命题目的: 本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技 能. 解: (Ⅰ)由 cos ? ?
2 1 ? , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ?
所以 ? ?

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? 7 14 7 14 2

?
3
sin( ? 2? ) 2 3 sin? ? ? cos? ? 1, ? ? (0, ? ), 求 cos(? ? ? )

?

例 4.(2006 年湖南卷)已知

θ 的值.

命题目的:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式等 基本知识,考查运算和推理能力,以及求角的基本知识..

解:由已知条件得 3 sin? ?

cos 2? ? cos? ? 1 . ? cos?

2 即 3 sin? ? 2 sin ? ? 0 .解得 sin? ?

3 或 sin? ? 0 . 2

? 2? 由 0<θ<π 知 sin? ? 3 ,从而 ? ? 或? ? .
2

3

3

考点 2.解三角形 此类题目以考查正弦定理,余弦定理,两角差的正弦公式,同角三角函数间的关系式和 诱导公式等基本知识,以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知 识. 典型例题 例 5. (2007 年浙江卷理)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

命题目的:本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识,考查基本运算能力及分 析解决问题的能力. 解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 .
(II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? , sin 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理,得 cos C ? 2 AC ?BC ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? ,所以 C ? 60? . 2 AC ?BC 2

例 6.(2006 年天津卷) ) 如图,在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? 3 .
4

(1)求 AB 的值; (2)求 sin ?2 A ? C ? 的值. 命题目的:本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等 基础知识,考查基本运算能力及分析解决问题的能力.

解答过程: (Ⅰ) 由余弦定理,得

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC.BC.cos C ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1?
那么, AB ? 2.

3 ? 2. 4

(Ⅱ)由 cos C ? 3 ,且 0 ? C ? ? , 得 sin C ? 1 ? cos2 C ? 7 . 由正弦定理,得
4

4

AB BC ? , sin C sin A

解得 sin A ? BC sin C ? 14 .所以, cos A ? 5 2 .由倍角公式
AB 8 8 sin 2 A ? sin 2 A ? cos A ? 5 7, 16
16

且 cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? 9 ,故
sin ? 2 A ? C ? ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ? 3 7. 8

例 7. (2007 年福建卷文 17) .在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 边的长. 命题目的:本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识,考查运 算能力.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4
sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? (Ⅱ)由 ? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .? ,? BC ? AB? sin C sin A sin C 17

考点 3.求三角函数的定义域、值域或最值 此类题目主要有以下几种题型: ⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式,以及利用三角函数的有界性来求值域的能 力.

⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式,倍角公式 等基本知识,考查运算和推理能力. ⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力. 典型例题 例 8.(2006 年辽宁卷)已知函数 f ( x) ? 1 (sin x ? cos x) ? 1 sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是(
2 2



A. ??1,1? B.

? 2 ? ,1? ?? ? 2 ?

C.

? 2? ? ?1, ? 2 ? ?

D.

? 2? ? ?1, ? ? 2 ? ?

命题目的: 本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式, 以及利用三角函数的有界性 来求值域的能力.
解法1:f (x)= 解法2:当x ? 2 ? 2 ? ? 2 sin( x ? ) ? sin( x ? ) ,?当x ? 时, f (x)= .故选C. 2 4 2 4 4 2

?

1 1 ? 2 时, f (x)= ? ? ? ?1.知A, C , D不可能.又由x ? 时, f (x)= .知选C. 2 2 2 4 2

例 9. (2007 年陕西卷文 17) 设函数 f ( x) ? a、b .其中向量 a ? (m, cos x), b ? (1 ? sin x,1), x ? R, 且f ( ) ? 2 . (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的最小值.

π 2

命题目的: 本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式, 以及利用三角函数的有界性 来求最值的能力. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a? ? m(1 ? sin x) ? cos x , f ? b

π? π ?π? ? 得 ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 , m ? 1 . 2? 2 ?2? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ?

π? π? ? ? 2 sin ? x ? ? ? 1 ,? 当 sin ? x ? ? ? ?1时, 4? 4? ? ?

f ( x) 的最小值为 1 ? 2 .
例 10.(2006 年北京卷)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 4 ,求 f (? ) 的值.
3
1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , cos x

?

命题目的:本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公 式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力.

解答过程: (Ⅰ) 由 cos x

? 0 得 x ? k? ? ? ( k ? Z ) .
2

故 f ? x ? 的定义域为 ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z?, 2 ?

4 3 , cos ? ? , 且第四象限的角, 5 5 4 3 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5 ? 1 ? 2 sin(2? ? ) 4 f ?? ? ? cos ?
(Ⅱ) 因为 tan ? ? ?
2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 ? cos ? 故 1 ? sin 2? ? cos 2? ? cos ? 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2( ? 14 . 5
12

例 11 设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( ? ) ? 4 , (1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan( ? ? )的值 . ? 命题目的: 方程组的思想是解题时常用的基本思想方法; 在解题时不要忘记三角函数的周期 性. 解答过程:(1) 大值
?f ( ? ) ? 4, 12

f (x) ? a 2 ? b 2 sin(?x ? ?) , ?T ? ? , ? ? ? 2 , 又 ? f ( x ) 的最
① , 且 4 ? a sin 2? ? b cos 2?
12 12

?4 ? a 2 ? b2
b=3.

②,

由 ①、②解出 a=2 ,

(2) f ( x ) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2x ? 4 sin( 2 x ?
? ? ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) , 3 3
? 2? ? ? ? ? 2k? ? 2? ? , 3 3

? ), 3

? f (?) ? f (?) ? 0 ,



2? ?

? ? ? 2k? ? ? ? (2? ? ) , 3 3



? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,



? ? ? ? k? ?

?, 6

? 3 ? tan(? ? ?) ? tan(k? ? ) ? 6 3

(k ? Z) .

例 12. 2006 年重庆卷) ( 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ? x ? sin ? x cos ? x ? a(其中 ? ? 0, a ? R ) , 且 f ( x) 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 ? .
6

(I)求 ? 的值; (II)如果 f ( x) 在区间 ? ? ? , 5? ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值.
? 3 ? 6 ? ?

命题目的: 本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识, 考查运算和推 理能力. 解答过程: (Ⅰ) f ( x) ? 依题意得
2? ?

? 3 3 1 3 ?a, cos 2? x ? sin 2? x ? ? a ? sin(2? x ? ) ? 3 2 2 2 2
??
1. 2

?
6

?

?
3

? ? , 解得 2
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 3 ? a ,
2

又当 x ? ? ? ? , 5? ? 时, x ? ? ? ?0, 7? ? ,故 ? 1 ? sin( x ? 1 ) ? 1 , ? 3 6 ? 2 3 3 ? 6 ? ? ? ? ? 从而 f ( x ) 在 [? ? , 5? ] 上取得最小值 ? 1 ? 3 ? a . 3 6 2 2 因此,由题设知 ? 1 ? 3 ? a ? 3 .故 a ? 3 ? 1 .
2 2 2

例 13.(2006 年广东卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f (? ) ? 3 ,求 sin 2? 的值.
4

?
2

), x ? R

命题目的:本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公 式,倍角公式等基本知识,考查运算和推理能力. 解答过程: f ( x) ? sin x ? sin( x ? ? ) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? )
2 4

(Ⅰ) f (x) 的最小正周期为 T ? 2? ? 2? ;
1

(Ⅱ) f (x) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ;

3 7 (Ⅲ)因为 f (? ) ? 3 ,即 sin ? ? cos ? ? ? 2sin ? cos ? ? ? .
4

4

16

即 sin 2? ? ?

7 . 16

考点 4.三角函数的图象和性质 考查三角函数的图象和性质的题目,是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握 三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题 例 14.(2006 年辽宁卷)已知函数

f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x, x ? R .求:

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (Ⅱ)函数 f ( x) 的单调增区间. 命题目的:本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综 合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程: (I)解法一:? f ? x ? ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 ?) ? sin 2 x ? 2 2

? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x
? 2 ? 2 sin(2 x ?

? . )
4

?当 2x ? ?

4

? 2 k? ?

? ,即 ? x ? k? ? (k ? Z ) 时, f ? x ? 取得最大值 2 ? 2 .
2 8

因此, f ? x ? 取得最大值的自变量 x 的集合是 ? x x ? k? ? ? , k ? Z ? . ? ?
? 8 ?

解法二:? f ( x) ? (sin 2 x ? cos2 x) ? sin 2x ? 2cos2 x
? 2 ? 2 sin(2 x ?

? 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

? . )
4

?当 2 x ? ?

4

? 2 k? ?

? ,即 ? x ? k? ? (k ? Z ) 时, f ? x ? 取得最大值 2 ? 2 .
2
8

因此, f ? x ? 取得最大值的自变量 x 的集合是 ? x x ? k? ? ? , k ? Z ? ? ?
? 8 ?

.

(Ⅱ)解: f ? x ? ? 2 ? 2 sin(2 x ? 由题意得 2k? ?

?
4

)

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2
8?

(k ? Z ) ,即 k? ? 3 ? ? x ? k? ? ? (k ? Z ) .
8 8

因此, f ? x ? 的单调增区间是 ? k? ? 3? , k? ? ? ? ? k ? Z ? . ? ?
? 8

例 15. (2007 年湖南卷理 16)(本小题满分 12 分) . 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 命题目的:本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和 推理计算能力. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ?? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 ?cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?
2 2

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

例 16.(2006 年福建卷)已知函数 f ( x) ? sin x ? 3sin x cos x ? 2cos x, x ? R. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间;

(II)函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到? 命题目的:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等 基本知识,以及推理和运算能力. 解答过程: (I) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

由题意得 2k? ? 即

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z,

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6
?

, k ? Z.
6?

? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? ? , k? ? ? ? , k ? Z . ? ?
3
(II)方法一: 先 把 y ?sin 2 图象上 所有点向左 平移 ? 个单 位长度,得 到 x 12

? 3 y ? sin(2 x ? ) 的 图 象 , 再 把 所 得 图 象 上 所 有 的 点 向 上 平 移 个 单 位 长 度 , 就 得 到 6 2
y ? sin(2? x

?
6

3 ? 的图象. ) 2
? 把 y ? sin 2 x 图象上所有的点按向量 a ? (? ? , 3 ) 平移,就得到 y ? sin(2 x ? ? ) ? 3 12 2 6 2

方法二: 的图象.

例 17.(2006 年西卷)已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合.

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

)( x ? R).

命题目的:本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识,考查 综合运用三角函数有关知识的能力. π π 解答过程:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x- 6 )+1-cos2(x-12) π π 3 1 = 2[ 2 sin2(x-12)-2 cos2(x-12)]+1 π π =2sin[2(x-12)- 6 ]+1

π = 2sin(2x- 3 ) +1 . 2π ∴ T= =π . 2 π π π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- 3 )=1,有 2x- 3 =2kπ + 2 , 即 x=kπ + 5π 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ + 5π , k∈Z}. 12

考点 5.平面向量、三角函数的图象和性质 考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目,是高考的热点题型.此类题目要 求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活 运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题 例 18.(2006 年安徽卷 6)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的 ? ? 6
? ? ?

图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? ? )
6



B. y ? sin( x ? ? )
6

C. y ? sin(2 x ? ? )
3

D. y ? sin(2 x ? ? )
3

命题目的:本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形 结合的思想解题的能力. 解答过程:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对应的解
? ? ? 6 ? ?

析式为 y ? sin ? ( x ? ? ) ,由图象知, ? ( 7? ? ? ) ? 3? ,所以 ? ? 2 ,因此选 C.
6 12 6 2
? 例 19.(2006 年全国Ⅱ卷)已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? ? ? . ? 2 2

? ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ;
? (Ⅱ)求 a ? b 的最大值. ?

命题目的:本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力. 解: (Ⅰ) 若a ? b , 则sin?+cos?=0, 由此得 tan ? ? ?1????
?
4

?

?

?
?

?? ?

?
?

??

所以

? ??

;

(Ⅱ) 由

a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? )得 ???????? ? b ? (sin ? ? 1,1 ? cos ? ), ???? ? ? b ? (sin ? ) 2 ? (1 ? cos ? ) 2 ??????????????? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) ??????????????? 3 ? 2 2 sin(? ? ), 4
? 当 sin(? ? ? ) ? 1时, a ? b 取得最大值, 即当? ? ? 时, a ? b 的最大值为 2 ? 1. ? 4 4

?

例 20. (2006 年四川卷) 已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角, 向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? , 且 m? n ?1 (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若
1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B . cos 2 B ? sin 2 B

??

?

?

?

?? ?

命题目的:本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角 函数的公式以及倍角公式等知识.考查应用、分析和计算能力. 解答过程: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 , ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 , 即 3 sin A ? cos A ? 1.
? 3 1? , 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 ? 2 2? ? ?

?? ?

?

?

?? 1 ? sin ? A ? ? ? . 6? 2 ?
6 6 6
3

∵ 0 ? A ? ? , ? ? ? A ? ? ? 5? , ∴ A ? ? ? ? . ∴ A ? ? .
6 6

(Ⅱ)由题知 1 ? 2sin B cos B ? ?3 ,整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0
cos 2 B ? sin 2 B

∴ cos B ? 0 ∴ tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 . ∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 . 而 tan B ? ?1 使 cos2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去. ∴ tan B ? 2 . ∴ tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 ? 8 ? 5 3 . ? ?
1 ? tan A tan B

1? 2 3

11

【专题训练与高考预测】 一.选择题 1.函数 y ? f (x) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能是 (A) f ( x) ? ? x ? cos x (B) f ( x) ? ? x ? sin x ( )

(C) f ( x) ? x sin x (D) f ( x) ? x cos x 2.已知 sin ? ? 4 ,且 sin ? ? cos? ? 1 ,则 sin 2? ?
5

( (D) 24
25



(A) ? 24 25

(B) ? 12

25

(C) ? 4 5

3.如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是( (A)20 2 (B)20 3 (C)40 2 (D)20 6 ).

4.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是该 港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观观察, 函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.在下 面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 (A) y ? 12 ? 3 sin ? t , t ? [0,24]
6


6



(B) y ? 12 ? 3 sin( ? t ? ? ), t ? [0,24] (D) y ? 12 ? 3 sin( ? t ? ? ), t[0,24]
12 2

(C) y ? 12 ? 3 sin ? t , t ? [0,24] 12
2 2

5. 已知 ? ? ? ? ? ? , sin ? ?os ? ? a 其中 a ? ? 0,1? , 且 则关于 tan ? 的值, 在以下四个答案中, c , 可能正确的是 (A) ?3 二填空题. 6.如图,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈.记水轮上的点 P 到水面的 距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数) ,则 d(米)与时间 t(秒)之间满足关系式:
d ? Asin(?t ? ?) ? k ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? ? ) ,且当 P 点从水面上浮现时开始计算时间.有以下 2 2

( (B)3 或 1 3 (C) ? 1
3


3

(D) ?3 或 ? 1

四个结论: ①A=10; ②??

2? ; 15

③? ?

? ; 6


④k=5.

则其中所有正确结论的序号是

7.已知:sin3α +cos3α =1,则 sinα +cosα ; sin4α +cos4α ;sin6α +cos6α 的值是 三.解答题



8. 求函数 y ? sin4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在 [0, ? ] 上的单 调递增区间.
4 4 2 2 9. 求函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

10. 11. 12.

已知 α 为锐角,且 tan ? ? 1 , 求 sin 2? cos ? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2? 2 已知 0<α <
已知 tan(

π α α 5 π ,tan +cot = ,求 sin( α ? )的值. 2 2 2 2 3
1 的值 . 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

?
4

? ? ) ? 2, 求

13.已知 6 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 0,? ? [? , ? ], 求 sin( 2? ? ? ) 的值. 2 3 14.如图,A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF= 3 ,设∠ AOE=α . (1)写出△AOB 的面积关于α 的函数关系式 f(α ); (2)写出函数 f(x)的取值范围. 15.已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

【参考答案】 一.1.C. 2.A. 3.D. 4.A. 5.C.

二.6.①②④.
2 7.解法一:令 sinα +cosα =t,则 sinα ·cosα = t ? 1 ,

2

∴sin3α +cos3α =(sinα +cosα )(sin2α -sinα ·cosα +cos2α )

2 =t·(1- t ? 1 )=1,得: 2

t3-3t+2=0 ? (t-1)2·(t+2)=0,
2 ∵t≠-2 ∴t=sinα +cosα =1,且 sinα ·cosα = t ? 1 =0. 2

∴sin4α +cos4α =(sin2α +cos2α )2 – 2sin2α ·cos2α =1-2·0=1 sin6α +cos6α =(sin2α +cos2α )(sin4α -sin2α ·cos2α +cos4α )=1 解法二:∵sin3α ≤sin2α ,cos3α ≤cos2α ∴sin3α +cos3α ≤sin2α +cos2α =1
? 3 等号当且仅当 ?sin ? ? sin ? 时成立 ? ?sin ? ? 0 或 ?cos? ? 0 . ? ? ? 3 ?cos ? ? cos? ?cos? ? 1 ?sin ? ? 1 ?

∴sinα +cosα =sin4α +cos4α =sin6α +cos6α =1. 三.8. y ? sin 4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x

? (sin 2 x ? cos 2 x)(sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ). 6
故该函数的最小正周期是 ? ;最小值是-2;单增区间是[ 0, 1 ? ], [ 5 ? , ? ] .
3
6

?

9.

f ( x) ?
?

(sin 2 x ? cos2 x) 2 ? sin 2 x cos2 x 2 ? 2 sin x cos x

1 ? sin 2 x cos2 x 1 1 1 ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? . 2(1 ? sin x cos x) 2 4 2
4
4

所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是 3 ,最小值是 1 . 10. 原式=
sin ? cos 2? , 2 sin ? cos ? cos 2?

因为 tan ? ? 1 时, sin ? ? 0, cos2? ? 0,
2

所以

原式=

1 . 2 cos ?
2

因为 α 为锐角,由 tan ? ? 1 得 cos? ? 2 ,
5

所以

原式= 5 .
4

11.由已知 tan ? ? cot ? ?
2 2
?0 ? ? ?

2 5 4 ? , 得 sin ? ? . sin ? 2 5

?
2

,

3 ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? . 5

? ? ) ? s i n ? c o s ? c o s ? s i n ? 4 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 (4 ? 3 3 ) . ? ? 3 3 3 5 2 5 2 10 ? 1 ? tan ? 1 12.由 tan( ? ? ) ? ? 2, 得 tan ? ? . 4 1 ? tan ? 3
从而
s i n? ? (

?

1 ( )2 ?1 1 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1 2 于是 ? ? ? 3 ? . 2 2 1 3 2 sin ? cos? ? cos ? 2 sin ? cos? ? cos? ? 2 tan? ? 1 2? ?1 3

13.由已知得: (3 sin ?

? 2 cos? )(2 sin ? ? cos? ) ? 0

? 3 sin ? ? 2 cos ? ? 0或2 sin ? ? cos ? ? 0 .
由已知条件可知 cos ? ? 0, 所以 ? ? ? ,即? ? (? , ? ).
2 2

从而

t a n ? 0 ,有 tan ? ? ? 2 . ? 3
sin( 2? ?

?
3

) ? sin 2? cos

?
3

? cos 2? sin

?
3

3 (cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? ? ? ? 2 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? tan? 3 1 ? tan2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? ? sin ? cos? ?
2 将 tan ? ? ? 代入上式 ,得 3

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 3 ? 3? 3 sin(2? ? ) ? ? 2 2 2 2 3 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 3 3 6 5 ?? ? 3. 13 26

?

14.解: (1)∵OE=1,EF= 3 .∴∠EOF=60°. 当α ∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上,且 AE=tanα ,BE=tan(45°+ α ) . ∴f(α )=S△AOB= 1 [tan(45°+α )-tanα ]
2

=

sin 45? 2 = . 2 cos? · 45? ?α ) 2 cos( 2 ? 45 ?) ? 2 cos( α

当 a∈ (15°,45°) 时, 点在 EF 上, 点在 FG 上, OA= 1 , A B 且 OB=
cos ?

3 . cos(45? ?α )
6

∴ f (? ) =S△AOB= 1 OA· OB· sin45°=
2

1 · 3 · sin45°= 2 cos ? cos(45? ?α )
?
12

2 cos( ? 2 ) ? 2 α 4

?

? ? α 综上得:f(α )= ? 2 cos(2 ? ? ? ? α ? 2 cos(2 ?

2 ?

?
4

  ? ? [0, )? 2

]

6 ?

?
4

)? 2

  ? ? ( , ] 12 4

? ?

(2)由(1)得:当α ∈[0, ? ]时,f(α )=
12

2 2 cos(2 ? α

?
4

∈[ 1 , 3 -1] .
)? 2
2

且当α =0 时,f(α )min= 1 ;α = ? 时,f(α )max= 3 -1;
2 12

当α ∈ ( ? , ? ] 时,- ? ≤2α - ? ≤ ? ,f(α )=
12 4

6 2 cos(2 ? α

12

4

4

?
4

)? 2

∈[ 6 - 3 , 3 ]. 2

且当α = ? 时,f(α ) min= 6 - 3 ;当α = ? 时,f(α ) max= 3 . 8 4 2 所以 f(x) ∈[ 1 , 3 ].
2 2

2 2
4

15.解: (1)y= 1 cos2x+ 3 sinx·cosx+1= 1 (2cos2x-1)+ 1 + 3 (2sinx·cosx)+1
4

4

= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 = 1 (cos2x·sin ? +sin2x·cos ? )+ 5 = 1 sin(2x+ ? )+ 5 . 4 2 4 2 4 4 6 6 6 4 所以 y 取最大值时,只需 2x+ ? = ? +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= ? +kπ ,(k∈Z) . 6 2 6 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= ? +kπ ,k∈Z}
6

(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移 ? ,得到函数 y=sin(x+ ? )的图像;
6 2 6

( ii ) 把 得 到 的 图 像 上 各点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 1 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 得 到函 数 , y=sin(2x+ ? )的图像;
6

( iii)把 得到 的图像 上 各 点纵 坐标缩 短到 原来的 1 倍 ( 横坐标 不变 ) 得到 函数 ,
2

y= 1 sin(2x+ ? )的图像;
2 6

(iv)把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到函数 y= 1 sin(2x+ ? )+ 5 的图像. 4 4 2 6

综上得到 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图像.
2

2


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