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【考前大通关】高考数学(理)二轮专题复习第一部分专题突破方略专题四《第二讲 不等式的解法及其应用_图文

专题四 不等式 第二讲 不等式的解法及其应用 主干知识整合 1.一元二次不等式的解集 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象 方程ax2+bx 有两个不等 有两个相 +c=0的根 的根 等的根 不等式ax2+ {x|x>x2或 {x|x∈R bx+c>0的解 x<x1} 且 x ≠ x 1} 集 不等式ax2+ bx+c<0的解 {x|x1<x<x2} ? 集 Δ<0 没有根 R ? 2.分式不等式的解法 f? x? >0? f(x)g(x)>0; g? x? f? x? ≥ 0(≤0)? f(x)g(x)≥ 0(≤0)且 g(x)≠ 0. g? x? 3.绝对值不等式的解法 关键是去绝对值符号,其主要方法有: x ? ? (1)利用绝对值的意义:|x|=?0 ? ?-x ? x>0? ? x= 0? . ?x<0? (2)利用等价关系 |f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x); |f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (3)两边平方 |f(x)|>|g(x)|?f2(x)>g2(x). 高考热点突破 简单不等式的解法 例1 求解不等式 (|2x + 1| - |x - 4| - 2)· (sinx - 2)<0. 【解】 ∵-1≤ sinx≤ 1,∴ sinx-2<0, ∴原不等式等价于|2x+ 1|- |x-4|>2. 令 y= |2x+1|- |x- 4|, ? ? 1 则 y=? 3x- 3,- <x<4. 2 ? ?x+5,x≥4 1 - x- 5, x≤- 2 作出函数 y= |2x+ 1|- |x-4|的图象如图所示: 5 它与直线 y= 2 的交点为(-7,2)和 ( , 2), 3 5 ∴ |2x+ 1|- |x-4|>2 的解集为 (-∞, - 7)∪ ( , + 3 5 ∞ ). 即原不等式的解集为(-∞, - 7)∪ ( , +∞ ). 3 【归纳拓展】 简单不等式主要是指一元一次不 等式、一元二次不等式、含绝对值的不等式、分 式不等式,以及由它们组成的不等式组.其中, 解含有绝对值的不等式的常用方法有:一是通过 讨论去掉绝对值符号, 即 |f(x)|>g(x)? g(x)<0 或 ? ?g? x?≥0, ? ? ?f? x?>g?x?或 f?x? <-g? x?, ? ?g? x?>0, |f(x)|<g(x)?? ? ?- g?x? <f? x?<g? x?; 二是图象法,如本例. 变式训练 1 2 (1)x+1≥ ; x 解下列不等式: (2)0<x2-x-2≤4. 2 解:(1)原不等式可化为 x+1- ≥0, x x2+x- 2 ∴ ≥ 0, x 2 2 ? ? x + x - 2 ≥ 0 , x ? ? +x- 2≤ 0, ∴? 或? ? ? ?x>0, ?x<0, ? ? ?x≤- 2或 x≥1, ?- 2≤ x≤ 1, 解得? 或? ? ? ?x>0, ?x<0, ∴ x≥ 1,或-2≤ x<0, ∴原不等式的解集为 {x|x≥1,或- 2≤ x<0}. ? ?x -x- 2>0, (2)原不等式可化为? 2 ? ?x -x- 2≤ 4, ? ?x -x- 2>0, 即? 2 ? ?x -x- 6≤ 0. ? ?x<- 1或 x>2, ∴? ?- 2≤ x≤ 3. ? 2 2 ∴-2≤ x<-1,或 2<x≤ 3, ∴原不等式的解集为{x|- 2≤ x<-1,或 2<x≤ 3}. 含参数的不等式的解法 例2 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 【解】 原不等式可化为 (x-1)(ax- 1)<0. (1)当 a= 0 时,原不等式化为-x+1<0,∴ x>1, ∴原不等式的解集为{x|x>1}; 1? ? (2)当 a<0 时,原不等式化为 (x- 1)?x-a?>0, 1 1 又 <0,∴ x< ,或 x>1, a a ? ? 1 ? ∴原不等式的解集为?x?x<a,或x>1 ?; ? ? 1? ? (3)当 a>0 时,原不等式化为 (x- 1)?x-a?<0, 1? 1 ? 对应方程 (x-1)?x-a?= 0 的两根为 1 和 . a 1 1 ①当 0<a<1 时, >1,∴ 1<x< . a a ②当 a= 1 时,原不等式可化为 (x-1) <0,无解; 1 1 ③当 a>1 时, <1,∴ <x<1. a a 2 ? ? 1 ? 综上所述:当 a<0 时,解集为?x?x<a,或x>1 ?; ? ? 当 a= 0 时,解集为{x|x>1}; ? ? 1 ? 当 0<a<1 时,解集为?x?1<x<a ?; ? ? 当 a= 1 时,解集为?; ? ?1 ? 当 a>1 时,解集为?x? a<x<1 ?. ? ? 【归纳拓展】 解含参不等式ax2+bx+c>0(<0) 时,讨论的次序: (1) 对 x2 项的系数 a 分 a>0 , a = 0 , a<0 进行讨论; (2)当a≠0时,对判别式Δ=b2-4ac,分Δ>0, Δ=0,Δ<0进行讨论; (3)当Δ>0时,对两根x1,x2,分x1>x2,x1<x2进 行讨论. 变式训练 2 已知不等式 ax2- 3x+6>4 的解集为 {x|x<1 或 x>b}. (1)求 a, b; x- c (2) 解不等式 >0(c 为常数). ax- b 解:(1)由题知 1,b 为方程 ax2-3x+ 2= 0 的两根, ? 即? 3 ?1+b=a, 2 b= , a ? ?a=1, 解得? ? ?b=2. (2)不等式等价于(x- c)(x- 2)>0,当 c>2 时,解集 为 {x|x>c 或 x<2}, 当 c<2 时, 解集为 {x|x>2 或 x<c}, 当 c= 2 时,解集为 {x|x≠2, x∈

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