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2012年全国高中数学联赛模拟试05


2012 年全国高中数学联赛模拟试题(五)
(命题人:罗增儒) 第一试

一、

选择题: (每小题 6 分,共 36 分)

1、 空间中 n(n≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个结论 (1) 没有任何两个平面互相平行; (2) 没有任何三个平面相交于一条直线; (3) 平面间的任意两条交线都不平行; (4) 平面间的每一条交线均与 n?2 个平面相交. 其中,正确的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2、 若函数 y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段, 则当 c∈(a,b)时,(c) f 的近似值可表示为 (A)
f ? a ? ? f ?b ? 2

(B) f ?

?a?b? ? ? 2 ?
c?a b?a

(C)

?b ? c ? f ? a ? ? ? c ? a ? f ?b ? ?b ? a ?
2 2 2

(D) f ? a ? ?

? f ? b ? ? f ? a ??

3、 设 a>b>c,a+b+c=1,且 a +b +c =1,则 (A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能确定,与 a、b 的具体取值有关 4、 设椭圆
7 4
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率 e ?

3 2

, 已知点 P ? 0 ,
?

?

3? ? 到椭圆上的点的最远距离是 2?

,则短半轴之长 b=
1 16

(A)

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

1 2

5、 S={1,2,…,2003}, 是 S 的三元子集, A 满足: 中的所有元素可以组成等差数列. A 那 么,这样的三元子集 A 的个数是 (A) C 2003 (C) A 1001 ? A 1002
2 2 3

(B) C 1001 ? C 1002
2 2

(D) A 2003

3

6、 长方体 ABCD?A1B1C1D1,AC1 为体对角线.现以 A 为球心,AB、AD、AA1、AC1 为半径作 四个同心球,其体积依次为 V1、V2、V3、V4,则有 (A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3 (C)V4>V1+V2+V3 (D)不能确定,与长方体的棱长有关

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二、

填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
sin ?
3

1、已知

sin ?

?

cos ?
3

cos ?

? k ,则 k 的取值范围为
2 2


2

2、等差数列{an}的首项 a1=8,且存在惟一的 k 使得点(k,ak)在圆 x +y =10 上,则这样 的等差数列共有 个. 3 、 在 四 面 体 P?ABC 中 , PA=PB=a , PC=AB=BC=CA=b , 且 a < b , 则
a b

的取值范围

为 . 4、动点 A 对应的复数为 z=4(cos?+isin?),定点 B 对应的复数为 2,点 C 为线段 AB 的中点, 过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D, D 所在的轨迹方程为 则 . 5、 ? 3 被 8 所除得的余数为
k k ?1 2003

. .

6、圆周上有 100 个等分点,以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为

三、

(20 分) 已知抛物线 y =2px(p>0)的一条长为 l 的弦 AB. AB 中点 M 到 y 轴的最短距 求 离,并求出此时点 M 的坐标.
2

四、

(20 分) 单位正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,正方形 ABCD 的中心为点 M,正方形 A1B1C1D1 的中 心为点 N,连 AN、B1M. (1)求证:AN、B1M 为异面直线; (2)求出 AN 与 B1M 的夹角.

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五、

(20 分) 对正实数 a、b、c.求证:
a
2

? 8 bc a

?

b ? 8 ac
2

?

c ? 8 ab
2

≥9.

b

c

第二试

一、

(50 分) 设 ABCD 是面积为 2 的长方形,P 为边 CD 上的一点,Q 为△PAB 的内切圆与边 AB 的切点.乘积 PA·PB 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化,当 PA·PB 取 最小值时, (1)证明:AB≥2BC; (2)求 AQ·BQ 的值.

二、

(50 分) 给定由正整数组成的数列
? a 1 ? 1, a 2 ? 2 (n≥1) . ? ? a n ? 2 ? a n ?1 ? a n

(1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),… 2 2 均在曲线 x +xy?y +1=0 上. n n-1 2 (2)若设 f(x)=x +x ?anx?an-1,g(x)=x ?x?1,证明:g(x)整除 f(x).

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三、

(50 分) 我们称 A1,A2,…,An 为集合 A 的一个 n 分划,如果 (1) A1 ? A 2 ? ? ? A n ? A ; (2) A i ? A j ? ? ,1≤i<j≤n. 求最小正整数 m,使得对 A={1,2,…,m}的任意一个 13 分划 A1,A2,…,A13,一 定存在某个集合 Ai(1≤i≤13),在 Ai 中有两个元素 a、b 满足 b<a≤
9 8

b.

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参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1、 ? ? 1, ?
? ? 1? ?1 ? ? ,1 ? ; 2? ?2 ? ? ?

1 D

2 C

3 A

4 C

5 B

6 C

2、17;

3、 ? ? ?

2?

3 ,1 ? ; ? ?

4、

? x ? 1? 2
4

?

y

2

? 1;

3

5、4;

6、117600.

? l2 ? l2 ? ? ,0 ? l ? 2 p , M ? ? ? 8 p ,0 ? ? ? ?8 p 三、 ? . ?l? p ? pl ?l ? p 2 , l ? 2 p, M ? , ? p ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ?

四、 (1)证略;

(2) arccos

2 3



五、证略. 第二试 一、 (1)证略(提示:用面积法,得 PA·PB 最小值为 2,此时∠APB=90°) ; (2)AQ·BQ=1. 二、证略(提示:用数学归纳法) . 三、m=117.

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