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高三第一轮复习导学案3.2 导数与函数的单调性、极值、最值教师版


2013 级人教版数学一轮复习

编号:

编制时间: 2015.4.5

编制人:王文东

第三章导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值(文理合用)
【考纲要求】
1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数 不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不 超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).

【考点预测】
导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容,主要考查导数的相关知识,知识的载体主 要是基本初等函数 ,综合“把关题”是其考查的主要题型.考查的角度主要有 :(1)利用导数研究函数的单 调性、极值、最值问题;(2)函数、导数与不等式、方程等的综合问题;(3)以函数为载体的实际应用题.

【使用说明与学法指导】
1.复习教材 文:选修 1-1 p89——p100 理:选修 2-2 p22——p33,理解和掌握定义,并完成《优化设计》 p41 知识梳理部分,夯实基础。 2.对探究部分认真审题并完成; 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【双基自测】 3 2 1 函数 y = x - 3x - 9x (- 2 < x < 2)有(
A B C D 极大值 5 ,极小值 ?27 极大值 5 ,极小值 ?11 极大值 5 ,无极小值 极小值 ?27 ,无极大值



2 2. 函数 y ? 4 x ?

1 单调递增区间是( x
B



A

(0,??)

(??,1)
) C

C

1 ( ,?? ) 2

D

(1,??)

3. 函数 y ? A

ln x 的最大值为( x
B

e ?1

e2

D

10 3

4. 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数的
3 2

取值范围是( A C 5.

) B

(??,? 3] ? [ 3,??)

[ ? 3, 3 ]

(??,? 3) ? ( 3,??) D

( ? 3, 3 )
'

对于上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有( A B f (0) ? f (2) ? 2 f (1) f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
1



班级: C 6.

小组:

姓名: D

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f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( ) A 个 B 个 C
y

y ? f ?( x)

3个

D 个

b

7. 函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

a

O

x

] 上的最大值是

8. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在增函数,则 a, b, c 的关系式为是

基础达标参考答案 一、选择题 1 C

y' ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 0, x ? ?1, 得x ? 3 ,当 x ? ?1 时, y' ? 0 ;当 x ? ?1 时, y' ? 0
当 x ? ?1 时, y极大值 ? 5 ;取不到 3 ,无极小值

把 a ? ?1 , 代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? ?4 ; 把 a ? 1, 代入到 f ( x) = x3 + x - 2 得 b ? 0 , 所以 P 0 (1, 0) 和 (?1, ?4)

2 C

1 8 x3 ? 1 1 ? 0, (2 x ? 1)(4 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0, x ? 令 y ? 8x ? 2 ? 2 x x 2
'

3 A

令 y ?
'

(ln x)' x ? ln x ? x ' 1 ? ln x ? ? 0, x ? e , 当 x ? e 时 , y' ? 0 ; 当 x ? e 时 , y' ? 0 , 2 2 x x

1 1 y极大值 ? f (e) ? ,在定义域内只有一个极值,所以 ymax ? e e
4 5 B

f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立, ? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
上是减函数,故 f ( x ) 当 x ? 1 时取得最小值,即有 f (0) ? f (1), f (2) ? f (1), 得 f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

C 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (??,1)

6. A

极小值点应 有先减后增的特点,即 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0
' ' '

二、填空题 7.

?
6

? 3
2

y ' ? 1 ? 2sin x ? 0, x ?

?
6

,比较 0,

? ?
6 2 ,

处的函数值,得 ymax ?

?
6

? 3

8. a ? 0, 且b ? 3ac

f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 恒成立,
则?

?a ? 0 ?? ? 4b ? 12ac ? 0
2

, a ? 0, 且b2 ? 3ac
2

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【探究案】
探究点一 根据单调性求参数范围 例 1. 已知 f(x)=e -ax(1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. x 解: f ?( x) =e x (1)若 a≤0, f ?( x) =e -a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增 若 a>0,e -a≥0,∴e ≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为 (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴ f ?( x) ≥0 在 R 上恒成立 ∴e -a≥0,即 a≤e 在 R 上恒成立 x x ∴a≤(e )min,又∵e >0, x (3)方法一 由题意知 e -a≤0 在(-∞,0]上恒成立 x x ∴a≥e 在(-∞,0]上恒成立.∵e 在(-∞,0]上为增函数 x x ∴x=0 时,e 最大为 1.∴a≥1.同理可知 e -a≥0 在[0,+∞)上恒成立 x ∴a≤e 在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1, 0 方法二 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f ?(0) =0,即 e -a=0,∴a=1. 跟踪训练 1. 3 已知函数 f(x)=x -ax(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理 由; 3 (3)证明:f(x)=x -ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方 2 (1)解 由已知 f ?( x) =3x -a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, 2 2 ∴ f ?( x) =3x -a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 a≤3x 对 x∈R 恒成立 2 2 ∵3x ≥0,∴只需 a≤0,又 a=0 时, f ?( x) =3x 故 f(x)=x -1 在 R 上是增函数,则 2 2 (2)解 由 f ?( x) =3x -a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x ,x∈(-1,1)恒成立 2 2 ∵-1<x<1,∴3x <3,∴只需 a≥3.当 a=3 时, f ?( x) =3(x 在 x∈(-1,1)上, f ?( x) <0,即 f(x)在(-1,1)上为减函数, 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)上单调递减 (3)证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 探究点二 根据极值求参数范围 例 2. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有 极值. (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 3 2 2 解 (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f ?( x) =3x 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0
2 2? 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f ?? ? ? =0,可得 4a+3b+4=0 3
3 2 3 x x x x x

2 3

?3?

由①②解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为
3

班级:

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3 2 2 (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5,∴ f ?( x) =3x +4x-

令 f ?( x) =0,得 x=-2,x=

2 3

当 x 变化时,y,y′的取值及变化如下表: x y′ y 8 -3 (-3,-2) + 单调递增 ↗ -2 0 13
2? ? ? ? 2, ? 3? ?
2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?

1

单调递减 ↘

0
95 27

+ 单调递增 ↗
95 . 27

4

∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为
4 2

跟踪训练 2. 函数 y=x -2x +5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 3 3 解 先求导数,得 y′=4x -4x,令 y′=0,即 4x -4x=0.解得 x1=-1,x2=0,x3 导数 y′的正负以及 f(-2),f(2)如下表 x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) y′ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 从上表知,当 x=±2 时,函数有最大值 13,当 x=±1 时,函数有最小值 4. 探究点三 含参函数的最值问题 例 3. 已知函数 f(x)=x e (a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 2 -ax -ax 2 -ax -ax 2 解 ∵f(x)=x e (a>0),∴ f ?( x) =2xe +x ·(-a)e =e (-ax +2x).
-ax 2 令 f ?( x) >0,即 e (-ax +2x)>0,得 0<x<

2 13

2

-ax

2 a

2 ? ? 2? ∴f(x)在(-∞,0), ? ? ,?? ? 上是减函数,在 ? 0, ? 上是增函数 ?a ?

?

a?

①当 0<

2 <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数 a
-a

∴f(x)max=f(1)=e . ②当 1≤
2 ≤2,即 1≤a≤2 时, a

2? ?2 ? f(x)在 ? ?1, ? 上是增函数,在 ? ,2 ? 上是减函数, ? a? ?a ?
2? -2 -2 ∴f(x)max=f ? ? ? =4a e . ?a?

③当

2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数, a
-2a

∴f(x)max=f(2)=4e -2a 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e -2 -2 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a e -a 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e . 2 跟踪训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a) (x∈R),其中 a∈R (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值
4

班级:

小组:

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2 3 2

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解: (1)当 a=1 时,f(x)=-x(x-1) =-x +2x 2 f(2)=-2, f ?( x) =-3x +4xf ?(2) ? -12+8-1=∴当 a=1 时,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 5x+y2 3 2 2 (2)f(x)=-x(x-a) =-x +2ax -a 2 2 f ?( x ) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x令 f ?( x) =0,解得 x=
a 或 3

由于 a≠0,以下分两种情况讨论 ①若 a>0,当 x 变化时, f ?( x) 的正负如下表: x
f ?( x )

(-∞, ↘

a ) 3

a 3

( +
4 3 a 27

a ,a) 3

a 0 0

(a,+∞) ↘

0
?

f(x)



因此,函数 f(x)在 x= 且 f(
a 4 )=- a 3 ; 27 3

a a 处取得极小值 f( ) , 3 3

函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 ②若 a<0,当 x 变化时, f ?( x) 的正负如下表: x
f ?( x )

(-∞,a) ↘

a 0 0

(a, + ↗

a ) 3

a 3

( 4 3 a 27

a ,+∞) 3

0 -

f(x)



因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a),且 f(a)=0; 函数 f(x)在 x= 且 f(
a a 处取得极大值 f( ) 3 3

a 4 )=- a3 . 27 3

【训练案】
一、选择题 1. A.
' 若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f (? ) 等于(

) D.

sin ?

B.

cos?

C.

sin ? ? cos ?

2 sin ?

2.函数 y=x3-3x 在[-1,2]上的最小值为 ( ) A、2 B、-2 C、0 D、-4 2 3.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x ? 2x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于 ( ) A、 0 B、 ?4 C、 ?2 D、 2
5

班级:

小组:
3 2

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4.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( ) A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 D、a<-3 或 a>6 3 2 2 5、设函数 f(x) =kx + 3(k- 1)x ?k + 1 在区间(0, 4 )上是减函数,则 k 的取值范围是 ( ) 1 1 1 1 A、 k ? B、 0 ? k ? C、 0 ? k ? D、 k ? 3 3 3 3 6、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ?(x) 可能为 ( )
y x y x y x y x y x

O A

O B

O C

O D

O

8、 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 , 对于任意实数 x , 有 f (x )≥ 0 , 则
f (1) 的最小值为( f ?(0)

) B.

5 3 C. 2 D. 2 2 9、f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b,则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是( )

A. 3

A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根. 13. 已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、 B 两点, O 是坐标原点, P 是抛物线的弧 上求一点 P,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 . 3 2 14 、对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ??( x) 是函数 y ? f ( x) 的导函数 。 y ? f ?( x) 的导数,若 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” 现已知 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x ? 2 ,请解答下列问题: (1)求函数 f ( x) 的“拐点”A 的坐标; (2)求证 f ( x) 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐 点”的一个结论(此结论不要求证明).

6

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15.已知函数 f ( x) 是 (0,??) 上的可导函数,若 xf ?( x) ? f ( x) 在 x ? 0 时恒成立. (1)求证:函数 g ( x) ?
f ( x) 在 (0,??) 上是增函数; x

(2)求证:当 x1 ? 0, x2 ? 0 时,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

16.已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 18.已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?
ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值;
1 (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

参考答案
1. A

f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ?
3 1 1 sin 2 cos 11y=-9x+16 或 y=-2 2 x x x

BBDD6-9DCCB10 y? ? ?

? 1? 12. ?-1, - ? 2? ?

13.P(4,-4)

14、[解析](1) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 2 , f ??( x) ? 6 x ? 6 .令 f ??( x) ? 6 x ? 6 ? 0 得
x ? 1 , f (1) ? 13 ? 3 ? 2 ? 2 ? ?2 .? 拐点 A(1, ?2)
7

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3 2 (2)设 P( x0 , y0 ) 是 y ? f ( x) 图象上任意一点,则 y0 ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 ,因为 P( x0 , y0 ) 关

于 A(1, ?2) 的对称点为 P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) ,把 P? 代入 y ? f ( x) 得
3 2 左边 ? ?4 ? y0 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2 , 3 2 右边 ? (2 ? x0 )3 ? 3(2 ? x0 )2 ? 2(2 ? x0 ) ? 2 ? ? x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 2

? 右边=右边? P?(2 ? x0 , ?4 ? y0 ) 在 y ? f ( x) 图象上? y ? f ( x) 关于 A 对称

猜想:所有的三次函数图象都关于它的拐点对称。
f ( x) xf ?( x) ? f ( x) , 因为 xf ?( x) ? f ( x) , 得 g ?( x) ? x x2 f ( x) 所以 g ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,所以函数 g ( x) ? 在 (0,??) 上是增函数. x f ( x) (2)由(1)知函数 g ( x) ? 在 (0,??) 上是增函数,所以当 x1 ? 0, x2 ? 0 时, x

15. (1)由 g ( x) ?



f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) 成立, ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2 x1 x2 f ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2

从而 f ( x1 ) ?

两式相加得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 16. 解析: f ( x) 的定义域为(0,+?), ????1 分
f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ??????3 分 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ??????5 分 ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . ?????????? 6 分 e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ?1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , ????????8 分 ① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x) 在 (1,+?) 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 .???????? 10 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea?1 ,

此时,若 x ? (1,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ? (1,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾.
8

????????13 分

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综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, 1] . ??????????????14 分 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, ? ?) 上恒成立, 1 即不等式 a ? ln x ? 对于 x ?[1, ????????8 分 ? ?) 恒成立 . x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . ????????10 分 x x x x? x? 1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x? x? 故 g ( x) 是 (1, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ?????? 13 分 ? ?) 上的增函数, 所以 a 的取值范围是 (??, ????????????????14 分 1] . 17. 解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0,

?3a ? 2b ? 3 ? 0 即? , ?3a ? 2b ? 3 ? 0

解得 a=1,b=0.

∴f(x)=x3-3x.

(II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2??????????????6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4????????????8 分 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x3-3x,∴点 A(1,m)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 .

2 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ? ? 1) ,故切线的斜率为 3( x0

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1

3 2 整理得 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ? 0 .∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, 3 2 ∴关于 x0 方程 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根.????????10 分 3 2 2 设 g(x0)= 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6 x0 ,

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0) , (1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.
3 2 ∴函数 g(x0)= 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 的极值点为 x0=0,x0=1??????12 分 3 2 ∴关于 x0 方程 2x0 ? 3x0 ? m ? 3 =0 有三个实根的充要条件是

9

班级:

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组内评价:

? g (0) ? 0 ,解得-3<m<-2.故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2. ? ? g (1) ? 0
1 x ?1 ? x x / ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减

18.解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

??1 分

当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增 ∴ f ( x) 的极小值为 f (1) ? 1

??3 分 ??4 分

(Ⅱ)? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1 令 h( x ) ? g ( x ) ?
1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , 2 x 2 x

??5 分 ??6 分 ??7 分

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ∴ h( x) max ? h(e) ?
1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

1 2

??9 分

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,
f / ( x) ? a ? 1 ax ? 1 ? x x

??9 分
4 (舍去) ,所以, e

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 此时 f ( x) 无最小值. ②当 0 ? ??10 分

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a

??11 分

③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) ,所以, a e

此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3.

A
10

班级:

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

1、设

是可导函数,且





A.

B.-1

C.0

D.-2 )

2 、 f/ ( x )是 f ( x )的导函数, f/ ( x )的图象如右图所示,则 f ( x )的图象只可能是(

(A) 3、下列函数中,在 A. B.

(B) 上为增函数的是 C. D.

( C) (

(D) )

4、已知 A. C. 5、已知函数 A. B.

是 R 上的单调增函数,则 的取值范围是 B. D. 在 C.





上是单调函数,则实数 的取值范围是( D. (



6、下列说法正确的是 A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于 D.函数 7、函数 A. 8、定义在闭区间 确的是 A.函数 有最小值 B. 函数
11



,若 在区间 上一定存在最值. 在 B. 上的连续函数 C.

,则

无极值;

处有极值 10, 则点 或 有唯一的极值点

为 D.不存在 ,且 ( )





,则下列说法正

有最小值,但不一定是

班级: C.函数 9、函数 A. 5,15 10、函数

小组: 的最大值也可能是

姓名: D. 函数

教师评价:

组内评价:

不一定有最小值 ( )

在[0,3]上的最大值和最小值分别是 B. 5, C. 5, D. 5,

上最大值等于





A.

B.

C.

D.

11、设函数 12、函数 13、函数 14、点 是曲线

,则



=____________________

的单调递减区间为 的极大值为 6,极小值为 2,则 上任意一点, 则点 在点 到直线 的减区间是 的距离的最小值是 (Ⅰ)

15、已知直线 为曲线 求直线 的方程; (Ⅱ)求由直线

处的切线, 为该曲线的另一条切线,且 和 轴所围成的三角形的面积

16、设函数 (Ⅰ)当 求函数满足 时的 的集合;

(Ⅱ)求 a 的取值范围,使 f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数 17、设函数 f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1) (Ⅰ)求导数 f? (x); (Ⅱ)若不等式 f(x1)+ f(x2)?0 成立,求 a 的取值范围 18、已知 在 时有极大值 6,在 时有极小值,求 的值;并求

在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 19、设函数 (Ⅰ)求 的单调区间和极值; 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(Ⅱ)若关于 的方程 (Ⅲ)已知当

12

班级:

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

B
一、选择题 1.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是 ( )

2.在下列命题中,正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值 C.如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 有极小值 D.如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值 3.函数 f ( x) ? 2x2 ? ln x 的单调递增区间是(
? 2? B. ? 0 , ? 4 ? ? ? ?


? 1 ? ?1 ? 0? 与? , ? ∞? D. ? ? , 2 2 ? ? ? ?

1) A. (0,

?1 ? ? ∞? C. ? , 2 ? ?

? ∞) 上( 4.函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 在 (?∞,



A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则其高应为( ) A.
20 3 cm 3

B.100cm

C.20cm

D.

20 cm 3


6 .设 f ( x) ? x( ax2 ? bx? c)( a? 0)在 x ? 1 和 x ? ?1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上的是( A. (a,b) 二、填空题 7.若 f ( x) ? ax3 ? x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范围为
? π? 8.函数 y ? x ? cos x 在 x ? ? 0, ? 上取最大值时, x 的值为 ? 2?

B. (a,c)

C. (b,c)

D. (a ? b,c)

. . 值为 . .

9.函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 12x ? 9,x ? (0, 2) ,则 f ( x) 有一个最

10.直线 y ? a 与函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是

11.中午 12 点整甲船以 6km/h 的速度向东行驶,乙船在甲船正北 16km 处,以 8km/h 的速度向南行驶,下 午一点钟两船距离的变化速度为 .
, 4) ,当 x ? 2 时,此函数有极值 0,则 a ? 12.若函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx 的图象过点 A(1
13



班级:
b?

小组: ,c ? .

姓名:

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三、解答题 13.找出函数 y ? 2x ? x2 的单调区间. 14 . 某 厂 生 产 一 种 产 品 , 其 总 成 本 为 c , 年 产 量 为 q , 产 品 单 价 为 p , 三 者 之 间 存 在 关 系 :

c?

1 2 问: 应确定年产量为多少时, 才能达到最大利润?此时, 产品单价为多少? q ? q ? 100,q ? 75 ? 3 p . 15

15.已知 a 为实数, f ( x) ? ( x2 ? 4)( x ? a) , (1)求导数 f ?( x) ; 2] 上的最大值和最小值; (2)若 x ? ?1 是函数 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [ ?2, (3)若 f ( x) 在 ? ?∞, ? 2? 和 ? 2, ? ∞? 上都是递增的,求 a 的取值范围.

C(理科)

参考答案: A

1.B; 2.D; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C; 7.B; 8.A; 9.C; 10.D; 11. 15、(I)解: 令 若 故 若 (II) 在 则 得 则 上是增函数, ,故 , 在 在 上是增函数 上是减函数

; 12.

; 13.

;14.

;

16、解: (Ⅰ)当

,化为
14

班级:

小组:

姓名:

教师评价:

组内评价:

故,满足(Ⅰ)条件的集合为

(Ⅱ) 要使 f(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,必须 即 ,但 时, 为常函数,所以 ,

17、.解:(I) (II)因

又由(I)知

代入前面不等式,两边除以(1+a) ,并化简得

18、.解: (1)

由条件知

(2) x -3 (-3,-2) + ↗ -2 0 6 (-2,1) - ↘ 1 0 (1,3) + ↗ 3

由上表知,在区间[-3,3]上,当

时,

时,

15

班级: 19、解:(Ⅰ) ∴当 ∴ 当

小组:

姓名:

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, 的单调递增区间是 ;当 图象的大致形状及走向(图略) 的图象有 3 个不同交点, 有三解( ,单调递减区间是

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 ∴当 即方程 (Ⅲ) ∵ 令 ∴

上恒成立 ,由二次函数的性质, ∴所求 k 的取值范围是 上是增函数,

B
1B2B3C4A5A6A 7: a ? 0 8:

π 2

9:小,2

10: ?2 ? a ? 2

11: ?2.8
1? x 2x ? x2

? 16, 16 12: 4,

2] , f ?( x) ? 13.解:函数 y ? 2x ? x2 的定义域为 [0,
1) f ?( x) ? 0 , 当 x ? (0,, ∴ f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增. , 2) , f ?( x) ? 0 , 当 x ? (1 ∴ f ( x) 在 (1 , 2) 上单调递减.



14.解:∵ p ? 25 ?

q? p ? ,∴销售收入 pq ? ? 25 ? ? q , 3? 3 ? q? 2 ? ?1 ? ∴利润 ? ? ? 25 ? ? q ? ? q 2 ? q ? 100 ? ? ? q 2 ? 24q ? 100 , 3? 5 ? ? 15 ?

4 ∴?? ? ? q ? 24 . 5 ? ? ? 0 由 ,得 q ? 30 , 0 ? q ? 30 时, ? ? ? 0 ; q ? 30 时, ? ? ? 0 . 故年产量定为 30 时,可获利润最大,此时单价 p ? 15 .
15.解: (1)由原式得 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4x ? 4a ,
16

班级:

小组:

姓名:

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∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 .

(2)由 f ?(?1) ? 0 ,得 a ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ,所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? 4x ? 2 , f ?( x) ? 3x2 ? x ? 4 . 2 2

4 或 x ? ?1 . 3 50 9 ?4? 又 f ? ? ? ? , f (?1) ? , f (?2) ? 0 , f (2) ? 0 , 27 2 ?3?
∴ f ( x) 在 [ ?2, 2] 上的最大值为

9 50 ,最小值为 ? . 2 27

(3) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点 (0,- 4) 的抛物线,由条件得 f ?(?2) ≥ 0 ,
? ?4a ? 8 ≥ 0, f ?(2) ≥ 0 ,即 ? ? ?8 ? 4a ≥ 0.
∴ ?2 ≤ a ≤ 2 ,∴ a 的取值范围为 [ ?2, 2] .

17

班级:

小组:

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教师评价:

组内评价:

【课后反思】

18


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