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高一数学函数的基本性质(单调性.奇偶性)《课配题》


高中数学函数的基本性质
函数名称 常数函数 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 函数解析式
y ? k (k 为常数)
y ? kx ? b(k , b 为常数)

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, a, b, c, 为常数)
y? k ( k ? 0, k 为常数) x

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
y ? loga x(a ? 0, a ? 1) y ? x a (a ? 0, a 为常数)

1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是偶函数。 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶

注(1)定义域对称的零函数既是奇函数又是偶数,即 f (x)=0 是既是奇函数又是偶函数; 定义域对称的非零常数函数只是偶数, 即 f (x)=a (a≠0)只是偶函数。

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f (x)=0 注(2)对于奇函数,自变量 x 若能取到 0,则 f (x)=0

f (x)=2

2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: B ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增 函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减 函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数;减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数;增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增 函数;减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值; 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
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如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

典 例 解 析
【奇偶性典型例题】 例 1.以下五个函数: (1) y ? (5) y ? log2 ( x ?

1 ( x ? 0) ; (2) y ? x 4 ? 1 ; (3) y ? 2 x ; (4) y ? log2 x ; x

x 2 ? 1) ,其中奇函数是____ __,偶函数是__ ____,非奇非偶函数是 _________

点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解 析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变) 。 题型二:奇偶性的应用 例 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=____ _。

例 3. 已知 f ( x ) 奇函数, x ∈ 当 (0, 时, f ( x) ? lg 1)

1 , 那么当 x ∈ (-1, 时, f ( x) 的表达式是 0) 1? x



例 4.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1,1)上的增函数,试求 a 的范围: f (a ? 2) ? f (a2 ? 4) ? 0 .
2 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a ? 4) 2 2 2 因 f(x)是奇函数,故 ? f (a ? 4) ? f (4 ? a ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而

??3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ??1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ?? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5
即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】 例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ?1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( A. a ? )

1 2

B. a ?
2

1 2

C. a ? ?

1 2

D. a ?

1 2
)

(2)函数 y ? x ? bx ? c( x ?[0, ??) )是单调函数的充要条件是(

A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 (3)已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ? a 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增区 间为
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例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3| 在 上是减函数.

例 3.根据函数单调性的定义,证明函数

例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数, m 、n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , 对 且当 x ? 0 时,0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f (x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

1 1 1 1 则 f ( ? 0) ? f ( )?f (0) ,因为 f ( ) ? 0 所以 f (0) ? 1 2 2 2 2 (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 f (? x) ? o 又因为 1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x)?f (? x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ∴ x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0 (3)设 x1 ? x2 则
解:(1)取 m=0,n=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) = f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 又因为 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] ? 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x 2) ? f (0)
所以 2 x ? x2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 例 5: (复合函数单调性)1.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??) 1 2.函数 y= 2 的单调递增区间为( ) x ? 2 x ? 80 A. (??, ?8) B. (??,1) C. (1, ??) D. (?8, ??)


1、在区间 (??,0) 上为增函数的是( A. y ? 1 B. y ? )




x ?2 C. y ? ? x 2 ? 2x ? 1 D. y ? 1 ? x 2 1? x 2 2、 已知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间 (4, ??) 上是增函数,则 a 的范围是(
A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6 D. a ? ?6

3、 函数 f (x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( 4、已知 f (x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是( A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 )

)

B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ( )

5、设函数

f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 是 R 上的减函数,则有
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A、 a ? 6、函数

1 2

B、 a ? 1

2

C、 a ≥ 1

D、 a ≤

2

1 2

f ( x) ? x 2 ? 3 x ? 4 的减区间是



7、 函数 y= x 2 ? 2x ? 3 的递减区间是 8、画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

(1)这个函数的定义域是什么?(2) 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论.

9、求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

10、函数 y ? mx2 ? (n ? 1) x ? 1 是定义在 [m 2 ? 6, m] 上的偶函数,求该函数的值域。 11、己知函数 y ? f (x) 是奇函数,它在 y 轴右边的图象如图所示,画出 y ? f (x) 图象在 y 轴左边 的图象。

12、先判断函数的奇偶性,并证明你的结论。 (1)y=︱x-1︱+︱x+1︱ (2)
y? 2 2x ? 1
2

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