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新课标教材高中数学测试题组(选修4-5) 不等式选讲(基础训练题共3组)含详细解答


数学选修 4-5
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是 . A.

不等式选讲

[基础训练 A 组] 基础训练

x y + y x

B.

x2 + 5 x +4
2
x y

C. tan θ +

1 tan θ

D. 2 x + 2? x

2.若 x, y ∈ R 且满足 x + 3 y = 2 ,则 3 + 27 + 1 的最小值是 . A. 3 3 9 3.设 x > 0, y > 0, A = . A. A = B 4.若 x, y , a ∈ R + ,且 x + . B. 1 + 2 2 C. 6 D. 7

x+ y x y , B= + ,则 A, B 的大小关系是 1+ x 1+ y 1+ x + y
B. A < B C. A ≤ B D. A > B

y ≤ a x + y 恒成立,则 a 的最小值是
B. 2 C. 1 D.

A.

2 2

1 2

5.函数 y = x ? 4 + x ? 6 的最小值为 . A. 2 B. 2 C. 4 D. 6

6.不等式 3 ≤ 5 ? 2 x < 9 的解集为 . A. ?2,1) U [4, 7) [ 二、填空题 1.若 a > b > 0 ,则 a + . B. ?2,1] U (4, 7] ( C. ?2, ?1] U [4, 7) ( D. ?2,1] U [4, 7) (

1 的最小值是_____________. b(a ? b)
a b b+m a+n , , , 按由小到大的顺序排列为_____________. b a a+m b+n

2.若 a > b > 0, m > 0, n > 0 ,则 .

3.已知 x, y > 0 ,且 x 2 + y 2 = 1 ,则 x + y 的最大值等于_____________. .

1 1 1 1 + 10 + 10 + LL + 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________. 10 2 2 +1 2 + 2 2 ?1 12 5.函数 f ( x ) = 3 x + 2 ( x > 0) 的最小值为_____________. . x
4.设 A = . 三、解答题 1.已知 a + b + c = 1 ,求证: a + b + c ≥ .
2 2 2

1 3

2.解不等式 x + 7 ? 3 x ? 4 + 3 ? 2 2 > 0 .

1

3.求证: a + b ≥ ab + a + b ? 1 .
2 2

4.证明: 2( n + 1 ? 1) < 1 + .

1 1 1 + + ... + <2 n 2 3 n

参考答案
一、选择题 1.D ;Q 2 > 0, 2 .
x ?x

> 0,∴ 2 x + 2? x ≥ 2 2 x 2? x = 2

2.D ; 3 + 3 .
x

3y

+ 1 ≥ 2 3x ? 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7

3.B ; B = .

x y x y x+ y + > + = = A ,即 A < B 1+ x 1+ y 1+ x + y 1+ y + x 1+ x + y
x2 + y 2 x + y 2 2 ≥ ,即 x 2 + y 2 ≥ ( x + y ) ,∴ x + y ≥ ( x + y ) ,而 2 2 2 2

4.B ;Q

x + y ≤ a x + y ,即 x + y ≥

1 1 2 ( x + y ) 恒成立,得 ≤ , 即a ≥ 2 a a 2

5.A ; y = x ? 4 + x ? 6 ≥ x ? 4 + 6 ? x = 2 .

6.D ; ? .

? 2 x ? 5 < 9 ? ?9 < 2 x ? 5 < 9 ??2 < x < 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] U [4, 7) ? 2 x ? 5 ≥ 3 ?2 x ? 5 ≥ 3, 或2 x ? 5 ≤ ?3 ? x ≥ 4, 或x ≤ 1 ?

二、填空题 1. 3 ; ( a ? b) + b + .

1 1 ≥ 3 3 ( a ? b) ? b ? =3 b( a ? b) b( a ? b)

b b+m a+n a b b+m b b+n a a+n < < < ;由糖水浓度不等式知 < < 1 ,且 < < 1 ,得 > > 1, a a+m b+n b a a+m a a+n b b+n a+n a < 即1 < b+n b
2. . 3. 2 ; .

x+ y ≤ 2

x2 + y2 , x + y ≤ 2 x2 + y 2 = 2 2

4. A < 1 ; A = .

1 1 1 1 1 1 1 1 + 10 + 10 + LL + 11 < 10 + 10 + 10 + LL + 10 = 1 10 2 2 +1 2 + 2 2 ? 1 14444244443 2 2 2 2
210 个

5. 9 ; f ( x) = 3 x + .

12 3 x 3x 12 3x 3 x 12 = + + 2 ≥ 33 ? ? =9 2 x 2 2 x 2 2 x2

2

三、解答题 1.证:Q a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c) 2 ? (2ab + 2bc + 2ac) ≥ ( a + b + c) 2 ? 2( a 2 + b 2 + c 2 ) .

∴ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 = 1 ,∴ a 2 + b 2 + c 2 ≥
另法一:Q a + b + c ?
2 2 2

1 3

1 (a + b + c) 2 1 = a 2 + b2 + c 2 ? = (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac) 3 3 3

1 1 = [(a ? b) 2 + (b ? c)2 + (a ? c) 2 ] ≥ 0 ,∴ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 3
另法二:Q (12 + 12 + 12 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2 = 1 ,即 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ,∴ a + b + c ≥
2 2 2

1 3

2.解:原不等式化为 x + 7 ? 3 x ? 4 + 2 ? 1 > 0 ,当 x > . 得 x < 5+

4 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 3

2 4 2 4 ,即 < x < 5 + ;当 ?7 ≤ x ≤ 时,原不等式为 x + 7 + (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 2 3 2 3

得x>?

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? < x ≤ ;当 x < ?7 时,原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 > 0 2 4 2 4 3
2 1 2 2 ,与 x < ?7 矛盾;所以,解为 ? ? < x < 5+ 2 2 4 2
2 2

得x > 6?

3.证:Q ( a 2 + b 2 ) ? ( ab + a + b ? 1) = a + b ? ab ? a ? b + 1 = .

1 (2a 2 + 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b + 2) 2

1 1 = [(a 2 ? 2ab + b 2 ) + (a 2 ? 2a + 1) + (b 2 ? 2b + 1)] = [(a ? b)2 + (a ? 1) 2 + (b ? 1) 2 ] ≥ 0 2 2

∴ a 2 + b 2 ≥ ab + a + b ? 1
4.证:Q .

1 1 1 1 < < ,∴ 2( k + 1 ? k ) < < 2( k ? k ? 1) k +1 + k 2 k k ?1 + k k 1 1 1 + + ... + <2 n 2 3 n

∴ 2( n + 1 ? 1) < 1 +

数学选修 4-5
一、选择题 1.设 a > b > c, n ∈ N ,且 . A. 2

不等式选讲

[综合训练 B 组] 综合训练

1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值是 a?b b?c a?c B. 3 C. 4 x2 ? 2x + 2 有 2x ? 2

D. 6

2. 若 x ∈ ( ?∞,1) ,则函数 y = .

3

A.最小值 1 3.设 P = .

B.最大值 1

C.最大值 ?1

D.最小值 ?1

2 , Q = 7 ? 3 , R = 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是
B. P > R > Q
3 3 2 2

A. P > Q > R

C. Q > P > R

D. Q > R > P

4.设不等的两个正数 a, b 满足 a ? b = a ? b ,则 a + b 的取值范围是 . A. (1, +∞)
+

B. (1, )

4 3

C. [1, ]

4 3

D. (0,1)

5.设 a, b, c ∈ R ,且 a + b + c = 1 ,若 M = ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有 . A. 0 ≤ M <

1 a

1 b

1 c

1 8

B.

1 ≤ M <1 8

C. 1 ≤ M < 8

D. M ≥ 8

6.若 a, b ∈ R + ,且 a ≠ b, M = . A. M > N 二、填空题

a b + , N = a + b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
B. M < N C. M ≥ N D. M ≤ N

1.设 x > 0 ,则函数 y = 3 ? 3 x ? .

1 的最大值是__________. x

2.比较大小: log 3 4 ______ log 6 7 . 3.若实数 x, y , z 满足 x + 2 y + 3 z = a ( a为常数) ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为__________. . 4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a + b + c + d = 4 ,用 M 表示 a + b + c, a + b + d , a + c + d , b + c + d 中的 . 最大者,则 M 的最小值为__________. 5.若 x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, xyz = 10 ,且 x lg x ? y lg y ? z lg z ≥ 10 ,则 x + y + z = _____ 。 三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 + x ? 4 < a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。 .

a2 + b2 + c 2 a + b + c 2.求证: ≥ . 3 3
3.当 n ≥ 3, n ∈ N 时,求证: 2 n ≥ 2( n + 1) . 4.已知实数 a, b, c 满足 a > b > c ,且有 a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1 ,求证: 1 < a + b < .

4 3

数学选修 4-5
一、选择题 1.C ;Q .

不等式选讲

[综合训练 B 组] 综合训练

a ?c a ?c a ?b +b ?c a ?b +b ?c b?c a?b 1 1 4 + = + = 2+ + ≥ 4 ,∴ + ≥ , a?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c a?b b?c a?c
4



1 1 n 恒成立,得 n ≤ 4 + ≥ a?b b?c a?c

2.C ; y = .

( x ? 1) 2 1 x ?1 1 1? x 1 + = + ≤ ?2 ? = ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)
6,∴ 2 > 6 ? 2 ,即 P > R ;又

3.B ;Q 2 + 2 = 2 2 > .

Q 6 + 3 > 7 + 2,∴ 6 ? 2 > 7 ? 3 ,即 R > Q ,所以 P > R > Q
( a + b) 2 4.B ; a + ab + b = a + b, ( a + b) ? ( a + b) = ab ,而 0 < ab < ,所以, . 4
2 2 2

0 < ( a + b) 2 ? ( a + b ) <

( a + b) 2 4 ,得 1 < a + b < 4 3

5.D ; M = ( .

a+b+c a+b+c a+b+c (b + c)(a + c)(a + b) 8 ab bc ac ? 1)( ? 1)( ? 1) = ≥ =8 a b c abc abc
a b a b + b > 2 a, + a > 2 b ,∴ + b+ + a > 2 b + 2 a ,即 b a b a

6.A .

Q a ≠ b,∴

a b + > b+ a b a
二、填空题 1. 3 ? 2 3 ; y = 3 ? 3 x ? .

1 1 ≤ 3 ? 2 3x ? = 3 ? 2 3 ,即 ymax = 3 ? 2 3 x x
a b b b a ?b

2. > ;设 log 3 4 = a, log 6 7 = b ,则 3a = 4, 6b = 7 ,得 7 ? 3 = 4 ? 6 = 4 ? 2 ? 3 ,即 3 .

=

4 ? 2b ,显然 7

b > 1, 2 > 2 ,则 3
b

a ?b

4 ? 2b = >1? a ?b > 0 ? a > b 7

3. .

a2 ;Q (12 + 22 + 32 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + 2 y + 3 z ) 2 = a 2 ,即 14( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ a 2 , 14 a2 14

∴ x2 + y2 + z2 ≥
4. 3 ; M ≥ .

1 3 (a + b + c + a + b + d + a + c + d + b + c + d ) = (a + b + c + d ) = 3 ,即 M min = 3 4 4

5.12 ; lg( x lg x ? y lg y ? z lg z ) ≥ 1 ? lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z ≥ 1 ,而 .

lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z = (lg x + lg y + lg z ) 2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x)
5

= [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) = 1 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) ≥ 1
即 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x ≤ 0 ,而 lg x, lg y , lg z 均不小于 0 ,得 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x = 0 , 此时, lg x = lg y = 0 ,或 lg y = lg z = 0 ,或 lg z = lg x = 0 ,得 x = y = 1, z = 10 ,或 y = z = 1, x = 10 , 或 x = z = 1, y = 10 x + y + z = 12 三、解答题 1. : x ? 3 + x ? 4 ≥ ( x ? 3) ? ( x ? 4) = 1 , ( x ? 3 + x ? 4 ) min = 1 , a ≤ 1 时, x ? 3 + x ? 4 < a . 解 Q ∴ 当 解集显然为 φ ,所以 a > 1 2.证:Q (12 + 12 + 12 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c ) 2 ,∴ .

a 2 + b 2 + c 2 ( a + b + c) 2 ≥ 即 3 9

a2 + b2 + c 2 a + b + c ≥ 3 3
3.证:Q 2 = (1 + 1) = 1 + Cn + Cn + ...Cn ≥ 1 + Cn + Cn .
n n 1 2 n 1 n ?1

+ Cnn = 2(n + 1) ,∴ 2n ≥ 2(n + 1) (本题也可以

用数学归纳法) 4.证:Q a + b = 1 ? c, ab = .

( a + b) 2 ? ( a 2 + b 2 ) = c 2 ? c ,∴ a, b 是方程 x 2 ? (1 ? c) x + c 2 ? c = 0 的两个 2

不等实根,则 >= (1 ? c ) 2 ? 4(c 2 ? c ) > 0 ,得 ?

1 < c < 1 ,而 (c ? a )(c ? b) = c 2 ? (a + b)c + ab > 0 3 2 1 4 即 c 2 ? (1 ? c )c + c 2 ? c > 0 ,得 c < 0, 或c > ,所以, ? < c < 0 ,即 1 < a + b < 3 3 3

数学选修 4-5
一、选择题 1.若 log x y = ?2 ,则 x + y 的最小值是 .

不等式选讲

[提高训练 C 组] 提高训练

A.

33 2 2

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2

2. a, b, c ∈ R + ,设 S = .

a b c d + + + ,则下列判断中正确的是 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b A. 0 < S < 1 B. 1 < S < 2 C. 2 < S < 3 D. 3 < S < 4 1 16 x 3.若 x > 1 ,则函数 y = x + + 2 的最小值为 . x x +1 B. 8 C. 4 D.非上述情况 A. 16
6

4.设 b > a > 0 ,且 P = .

2 1 1 + a2 b2

,Q =

2 1 1 + a b

, M =

ab , N =

a+b a2 + b2 ,R = ,则它们 2 2

的大小关系是 A. P < Q < M < N < R C. P < M < N < Q < R 二、填空题 1.函数 y = B. Q < P < M < N < R D. P < Q < M < R < N

3x ( x < 0) 的值域是 x + x +1
2

.

2.若 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 ,则 a + b +

c 的最大值是
.

.

3.已知 ?1 < a, b, c < 1 ,比较 ab + bc + ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a > 0 ,则 a + .

1 1 ? a 2 + 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y , z 是正数,且满足 xyz ( x + y + z ) = 1 ,则 ( x + y )( y + z ) 的最小值为 . 三、解答题 1.设 a, b, c ∈ R + ,且 a + b = c ,求证: a 3 + b 3 > c 3 . 2.已知 a > b > c > d ,求证: .
3

.

2

2

2

1 1 1 9 + + ≥ a ?b b?c c ?a a ? d
3 3 2 2 2

3.已知 a, b, c ∈ R + ,比较 a + b + c 与 a b + b c + c a 的大小。 . 4.求函数 y = 3 x ? 5 + 4 6 ? x 的最大值。 . 5.已知 x, y , z ∈ R ,且 x + y + z = 8, x 2 + y 2 + z 2 = 24 ,求证: .

4 4 4 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ 3 3 3 3

参考答案
一、选择题 1.A ;由 log x y = ?2 得 y = . 2.B ; .

1 x x 1 x x 1 1 3 1 ,而 x + y = x + 2 = + + 2 ≥ 3 3 ? ? 2 = 3 3 = 3 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d a b c + + + > + + a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d a+b+c+d a a c c b b + = = 1 ,即 S > 1 , < , < , < , d +a+b+c a+b+c+d a+b+c a+c c+d +a a+c b+c+d b+d d d a c c a b d d b < , 得 + < + =1, + < + =1 d +a+b d +b a+b+c c+d +a a+c a+c b+c+d d +a+b d +b b+d
7



a b c d + + + < 2 ,得 S < 2 ,所以 1 < S < 2 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 1 16 x 1 16 3.B ; y = x + + 2 = x+ + ≥ 2 16 = 8 . x x +1 x x+ 1 x 4.A ; R 为平方平均数,它最大
3x 3 1 1 = ,Q x < 0,∴ x + ≤ ?2, 得 x + + 1 ≤ ?1 x + x +1 x + 1 +1 x x x 1 3 ?1 ≤ < 0 ? ?3 ≤ < 0 ? ?3 ≤ y < 0 1 1 x + +1 x + +1 x x
2

二、填空题 1. [ ?3, 0) ; y = .

2. 3 ; (1 ? a + 1 ? b + 1 ? c ) 2 ≤ (12 + 12 + 12 )(a + b + c) = 3 . 3. > ;构造单调函数 f ( x ) = (b + c ) x + bc + 1 ,则 f (1) = (1 + b)(1 + c ) > 0 ,

f (?1) = (?1 + b)(?1 + c) = (1 ? b)(1 ? c) > 0 ,即 ?1 < x < 1 , f ( x) > 0 恒成立,所以 f (a ) = (b + c)a + bc + 1 > 0 ,即 ab + bc + ca > ?1
4. 2 ? 2 ;设 a + .
2

1 1 1 = t (t ≥ 2) ,则 a 2 + 2 = t 2 ,即 a + = t 2 + 2 ,再令 2 a a a

y =a+
得t =

1 1 t ? a 2 + 2 = t 2 + 2 ? t (t ≥ 2) , y ' = ? 1 < 0 ,即 t ∈ [ 2, +∞) 时, y 是 t 的减函数, a a t2 + 2 2 时, ymax = 2 ? 2
2

5. 2 ; ( x + y )( y + z ) = xy + y + yz + zx = y ( x + y + z ) + zx ≥ 2 y ( x + y + z ) zx = 2 . 三、解答题 1.证:Q a, b, c ∈ R , .
2 2
+

2 2 2 a b a b + = 1 ,∴ 0 < < 1, 0 < < 1, a 3 , b 3 , c 3 > 0 c c c c

a3 + b3
2

c3

a b a b a+b = ( )3 + ( )3 > + = = 1 ,∴ a 3 + b 3 > c 3 c c c c c
2 2 2 2 2

2.证:Q a > b > c > d ,∴ a ? b > 0, b ? c > 0, c ? d > 0 ∴ ( .

1 1 1 + + )(a ? d ) = a ?b b?c c ? a

(

1 1 1 1 1 1 + + )[(a ? b) + (b ? c) + (c ? d )] ≥ 3 3 ? ? × 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) = 9 a ?b b?c c?a a?b b?c c?a
1 1 1 9 + + ≥ a?b b?c c?a a ?d
8



3.解:取两组数: a, b, c 与 a , b , c ,显然 a + b + c 是同序和, a b + b c + c a 是乱序和,所以 .
2 2 2
3 3 3 2 2 2

a 3 + b3 + c3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a
4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y > 0 , y = 3 × x ? 5 + 4 × 6 ? x .

≤ 32 + 42 × ( x ? 5) 2 + ( 6 ? x ) 2 = 5 , ymax = 5
5.证:显然 x + y = 8 ? z , xy = .

( x + y)2 ? ( x2 + y 2 ) = z 2 ? 8 z + 20 ,∴ x, y 是方程 2

t 2 ? (8 ? z ) x + z 2 ? 8 z + 20 = 0 的两个实根,由 <≥ 0 得

4 4 4 ≤ z ≤ 4 ,同理可得 ≤ y ≤ 4 , ≤ x ≤ 4 3 3 3

9


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