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安徽省安庆市2017届高三模拟考试(二模)文数试题 Word版含答案


2017 年安庆市高三模拟考试(二模) 文科数学
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 M ? {?4, ?3, ?2, ?1,0,1} , N ? {x ? R | x2 ? 3x ? 0} ,则 M ? N ? ( A. {?3, ?2, ?1,0} B. {?2, ?1, 0} C. {?3, ?2, ?1} ) )

D. {?2, ?1}

2.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 A. 2i B. ? 2i

1? i ? 1 ? i ,则复数 z ? ( z
C. i D. ?i

3.角 A 是 ?ABC 的一个内角,若命题 p : A ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

?
3

,命题 q : sin A ?

3 ,则 p 是 q 的( 2



B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.我们知道, “心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述,它也可以用数学来 定义:甲、乙两人都在 {1, 2,3, 4,5,6} 中说一个数,甲说的数记为 a ,乙说的数记为 b ,若

| a ? b |? 1 ,则称甲、乙两人“心有灵犀” ,由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是
( A. )

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9


5.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为(

A.16

B.32

C. 64

D.1024 )

6.在等比数列 {an } 中, a2 a3a4 ? 27 , a7 ? 27 ,则首项 a1 ? ( A. ? 3 B. ?1 C.

3

D.1 )

7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(

A. 32

B. 32 2

C.

32 3

D.

32 2 3

8.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 a 2 b2


120? 的三角形,则双曲线 C 的离心率为(
A.

5 2

B.
x

6 2

C. 3

D. 5

9.若函数 y ? ae ? 3x 在 R 上有小于零的极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (?3, ??) B. (??, ?3)
2



C. (? , ??) )

1 3

D. (??, ? )

1 3

10.函数 y ? x sin x ? ln( x ?1) 在 [ ?? , ? ] 上的图象大致为(

A.

B.

C.

D.

11.设函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的最小正周期是 T ,将其图象向左平移 图所示,则函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的单增区间是( )

1 T 后,得到的图象如 4

7 k? 7? 7 k? 7? ? , ? ](k ? Z ) 6 24 6 24 7 k? 7? 7 k? 7? ? , ? ](k ? Z ) C. [ 3 12 3 12
A. [

7 k? 7? 7 k? 7? ? , ? ](k ? Z ) 3 24 3 24 7k? 7? 7 k? 21? ? , ? ](k ? Z ) D. [ 6 24 6 24
B. [ )

?x ? 2 y?x ? 12.已知实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ,则 的取值范围是( y ? 2x ?2 x ? y ? 2 ?
A. [0,1] B. [ ,1]

1 3

C. [ , ]

1 2 2 3

D. [ ,1]

1 2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若抛物线 y ? 8x 的准线和圆 x ? y ? 6x ? m ? 0 相切,则实数 m 的值是
2 2 2

. .

14.已知向量 | a |? 3 , | b |? 2 ,且 a? (a ? b) ? 0 ,则 a ? b 的模等于
?

?

?

? ? ?

? ?

15.设 A, B 是球 O 的球面上两点,且 ?AOB ? 90 ,若点 C 为该球面上的动点,三棱锥

O ? ABC 的体积的最大值为

9 ? 立方米,则球 O 的表面积是 2? 2

平方米.
2 *

16.已知数列 {an } 是各项均不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 S2n?1 ? an (n ? N ) , 若不等式 是

1 1 1 ? ??? ? n log 1 ? 对任意 n ? N * 恒成立,则实数 ? 的最大值 a1a2 a2 a3 an an ?1 ?


三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)
17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,其外接圆的半径是 1,且满足

2(sin2 A ? sin2 C) ? ( 2a ? b)sin B .
(1)求角 C 的大小; (2)求 ?ABC 的面积的最大值. 18. 在矩形 ABCD 中,将 ?ABC 沿其对角线 AC 折起来得到 ?AB1C ,且顶点 B1 在平面

ACD 上的射影 O 恰好落在边 AD 上(如图所示).

(1)证明: AB1 ? 平面 B1CD ; (2)若 AB ? 1 , BC ? 3 ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积. 19. 为响应阳光体育运动的号召, 某县中学生足球活动正如火如荼地展开, 该县为了解本县 中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县 24000 名中学生(其中男生 14000 人,女生 10000 人)中抽取 120 名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表: (平 均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是 [0,3] ).

(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到 0.1) ; (2)若称平均每天足球运动的时间不少于 2 小时的学生为“足球健将” ,低于 2 小时的学生 为“非足球健将”. ①请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断,能否有 90%的把

握认为是否为“足球健将”与性别有关?

②若在足球运动时间不足 1 小时的男生中抽取 2 名代表了解情况, 求这 2 名代表都是足球运 动时间不足半小时的概率. 参考公式: k 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k0 )
k0

0.05 3.841

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

20. 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 , F1 , F2 是椭圆的左、右焦点, 2 a b 2

点 A 为椭圆的右顶点,点 B 为椭圆的上顶点,且 S?ABF1 ?

2 ?1 . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l 过右焦点 F2 且交椭圆 E 于 P, Q 两点,点 M 是直线 x ? 2 上的任意一点,直 线 MP, MF2 , MQ 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k3 ? ? k2 成立?若 存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 21. 设函数 f ( x) ? 2x ? 3(a ? 1) x ? 6ax , a ? R .
3 2 ' (1)讨论 f ( x ) 的导函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的零点个数;

(2)若对于任意的 a ? [?3, 0] ,任意的 x1 , x2 ?[0, 2] ,不等式 m ? am ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 恒
2

成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴,并在两坐标系中取相 同的长度单位,若直线 l 的极坐标方程是 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 2 ,且点 P 是曲线 C :

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数)上的一个动点. ? y ? sin ? ? ?
(1)将直线 l 的方程化为直角坐标方程; (2)求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . (1)若不等式 f ( x) ? a2 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值的集合 T ; (2)设 m, n ?T ,证明: 3 | m ? n |?| mn ? 3| .

试卷答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 B 9 B 10 A 11 A 12 C

1、D 解析: N ? x ? R ? 3 ? x ? 0 ,所以 M ? N ? ?? 2,?1?

?

?

2、C.解析:由题意可知, z ?

1? i ?i 1? i

3、A 解析:由题意知命题 q : 0 ? A ?

?
3



2? ? A ? ? ,所以 p 是 q 的充分不必要条件. 3
, 则 b 都有 3 种取值. 所

,3 ,4 ,5 4、 D 解析:若 a ? 1, 则 b ? 1,2 ; 若 a ? 6, 则 b ? 5,6 ; 若a ? 2

以,甲、乙两人“心有灵犀”的事件数是 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 16. 基本事件总数是 6 ? 6 ? 36 . 因此他们“心有灵犀”的概率是

16 4 ? . 36 9

,S ? 1? 2 ? 2 ; 5、C 解析: n ? 0,S ? 1? 1 ? 1 ; n ? 1 n ? 2,S ? 2 ? 4 ? 8 ; n ? 3,S ? 8 ? 8 ? 64 .
6、D 解析:? a2 a3a4 ? 27,? a3 ? 3, 又q ?
4

a7 a 3 ? 9,? a1 ? 3 ? ? 1. 2 a3 q 3

7、B 解析:几何体为直三棱柱. V ?

1 ? 4 2 ? 4 ? 4 ? 32 2. 2

8、B 解析:根据双曲线的对称性知: 9、B 解析: y? ? ae ? 3 ? 0, e ? ?
x x

c 6 ? tan60? ? 3,? 2c 2 ? 3a 2 ,? e ? . b 2

3 3 3 ,则 ? ? 0 ,且 ? ? 1, 所以 a ? ?3. a a a

10、A 解析:显然 y 是偶函数.当 x ? ? 时, y ? 0 ,排除 B,D.

y? ? (sin x ? x cos x) ?
C.

? ?? 2x ? ?? .∴当 x ? ? 0, ? 时, y? ? 0 , y 在 ? ? 0, 2 ? 单调递增,排除 x ?1 ? 2? ? ?
2

11 、 A. 解 析: 由已知图象知 , y ? sin ? x(? ? 0) 的最小正周 期是 2 ?

7? , ? 6 12 12 ? 12 ? . y ? sin x .由 2k? ? ? x ? 2k? ? 得到,单增区间是 解得 ? ? 7 7 2 7 2 ?

2?

7? 7? ? , 所以 12 6

? 7k? 7? 7k? 7? ? ? , ? (k ? Z ) ? 24 6 24 ? ? 6 ?
1 , 所以将 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 T 后,所对应的解析式 ? 4 ? 7? ? 3? 12 12 ) .由图象知, ? ( ? )? , 所以 ? ? . y ? sin x . 为 y ? sin ? ( x ? 2? 12 2? 2 7 7
或:因为 T ? 由 2k? ?

2?

?
2

?

12 ? ? 7k? 7? 7k? 7? ? x ? 2k? ? 得到,单增区间是 ? ? , ? (k ? Z ) 7 2 24 6 24 ? ? 6 ?

12、 C 解析: 方法 1: 设

y ?k, 画出可行域如右下图所示, 易求出 x


4 k ? [0,1] ,x ? [ ,2] , 3

y ?1 y?x k ?1 1 x ∴ ? ? ? 1? , k ? [0,1] y ? 2x y ? 2 k ? 2 k ?2 x
方法 2:设

y?x 1 2 ?[ , ] y ? 2x 2 3

4 y?x ? m .∵ x ? [ ,2] ,∴ m ? 1 3 y ? 2x

∴由

y?x 2m ? 1 ?m? y ? x y ? 2x 1? m



2m ? 1 ? k ,由 y ? kx ,易求出 k ? [0,1] 1? m
2m ? 1 1 2 y?x 1 2 ? 1 ? ? m ? ,∴ ?[ , ] 1? m 2 3 y ? 2x 2 3

∴0 ?

注:教师在评讲此题时,可拓展此题为: “求

y?x?2 的取值范围” . y ? 2x ? 3

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13、8 14、1 15、36 16、

1 2

13、 8 . 解析: x2 ? y 2 ? 6x ? m ? 0 的圆心为 (?3,0) ,半径为 9 ? m ,抛物线 y 2 ? 8x 的 准线是直线 x ? ?2, 所以 ? 2 ? 3 ? 9 ? m ,得 m ? 8. 14、 1 . 解析:因为 a ? (a ? b) ? 0 ? a ? a ? b ,所以 a ? b ? (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b
2
2 2 2

? ?a ? b ? ?3 ? 4 ? 1, ∴ a ? b ? 1.
15、 36 . 【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的 体积最大, 设球 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? ABO ? 则球 O 的表面积为 S ? 4?R ? 36.
2

2

2

1 1 2 1 9 ? 2 9 ? R ? R ? R3 ? ,R ? . 3 2 6 2? 2 ?

16、

1 (2n ? 1)( a1 ? a2 n ?1 ) 2 2 ? an ? (2n ? 1)an ? an ? an ? 2n ? 1. 【解析】 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 也就是 log1 ? ? 对 ? ? ??? ? ? n log1 ? 对任意 n ? N ? 恒成立, a1a2 a2a3 an an ?1 2 n ? 1 8 8
任意 n ? N 恒成立,所以 log1 ? ? (
?

8

1 1 1 )max ? , ? ? . 2n ? 1 3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)将 sin A ?

a a b b c c ? , sin B ? ? , sin C ? ? 代入已知等式得到, 2R 2 2R 2 2R 2

2(

a2 c2 b ? ) ? ( 2a ? b) ? , 4 4 2

即a ?c ?
2 2

2ab ? b2 , a2 ? b2 ? c2 ? 2ab .

由余弦定理得, cos C ?
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 2ab 2 ? ? , C ? 45?. 2ab 2ab 2

(Ⅱ) a ? b ? c ? 2ab 就是 a2 ? b2 ? (2 sin 45? )2 ? 2ab, 即a ?b ?2?
2 2

2ab ? 2ab ? 2 , 所以 ab ? 2 ? 2 , 当且仅当 a ? b 时等号成立.

所以 S?ABC ?

1 2 ?1 2 ?1 absin 45? ? , 故 ?ABC 面积的最大值是 . 2 2 2

18、 (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)? B1O ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , ? B1O ? CD . 又? CD ? AD , AD ? B1O = O , ? CD ? 平面 AB1D . 而 AB1 ? 平面 AB1D ? AB 1 ? CD. , 又? AB1 ? B1C ,且 B1 C ? CD = C ,? AB1 ? 平面 B1CD .

(Ⅱ)由于 AB1 ? 平面 B1CD , B1D ? 平面 B1CD ,所以 AB1 ? B1D 在 Rt ?AB1D 中, B1 D ?

.

AD 2 ? AB12 ? 2 .
AB1 ? B1 D 6 ? . AD 3

由 B1O ? AD ? AB1 ? B1D 得, B1O ?

所以 VB1 ? ABC ?

1 1 1 6 2 S?ABC ? B1O ? ? ?1? 3 ? ? 3 3 2 3 6

19、 (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由分层抽样得:男生抽取的人数为 120 ?
120 ? 70 ? 50 人,故 x ? 5, y ? 2.
14000 =70 人,女生抽取人数为 14000+10000

??????2 分

则该校男生平均每天足球运动的时间为,

0.25 ? 2 ? 0.75 ? 3 ? 1.25 ? 28 ? 1.75 ? 22 ? 2.25 ? 10 ? 2.75 ? 5 ? 1.6 70
故该校男生平均每天足球运动的时间约为 1.6 小时; (Ⅱ)①由表格可知: 足球健将 男 女 总 生 生 计 15 5 20 非足球健将 55 45 100 总 70 50 120 计

故 K 2 的观测值 k ?
2

120(15? 45 ? 5 ? 55) 2 96 ? ? 2.743 ? 2.706 20?100? 50? 70 35

因此有 90 %的把握认为是否为“足球健将”与性别有关.

1) 内的三人为 1,2,3,则总的基本事件 ②记不足半小时的两人为 a、b,足球运动时间在 [0.5,
个数是(ab) , (a1) , (a2) , (a3) , (b1) , (b2) , (b3) , (12) , (13),(23) ,其中 2 名代表 足球运动时间都不足半小时的是(ab) ,∴ P ? 20、 (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ) F1 (?c,0), A(a,0), B(0, b) ,则 S?ABF1 ?

1 . 10

2 ?1 1 ? (a ? c)b , 2 2

(a ? c)b ? 2 ? 1, 即 (a ? c) a2 ? c 2 ? 2 ? 1. ??2 分
又e ?

c 2 ? , a ? 2c ,代入上式中得到, a 2

( 2c ? c) 2c 2 ? c 2 ? 2 ? 1, c ? 1. 于是 a ? 2, b ? 1.
故椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 的坐标为 F2 (1,0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , M (2, t ) . (1)当直线 l 的斜率不为零时,设 l 的方程为 x ? m y ? 1 .

?x ? m y ? 1 ? 联立 ? x 2 消去 x 得, (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
∴ y1 ? y2 ? ?

2m 1 . , y1 y2 ? ? 2 2 m ?2 m ?2

∴ k1 ? k3 ?

y1 ? t y2 ? t y ?t y ?t ? ? 1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 m y1 ? 1 m y2 ? 1

?

( y1 ? t )(m y2 ? 1) ? ( y2 ? t )(m y1 ? 1) 2m y1 y2 ? (m t ? 1)( y1 ? y2 ) ? 2t ? (m y1 ? 1)(m y2 ? 1) m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

?

?

2m 2m(m t ? 1) ? ? 2t 2 4m 2 t ? 4t m ?2 m2 ? 2 ? ? 2t . m2 2m 2 2m 2 ? 2 ? 2 ? ?1 m ? 2 m2 ? 2
t ? t ,∴ k1 ? k3 ? 2k2 . 2 ?1

又∵ k 2 ?

(2)当直线 l 的斜率为零时,显然有: k1 ? k3 ?

t t ? ? 2t ? 2k2 2? 2 2? 2

∴ k1 ? k3 ? 2k2 仍成立. 综上知,存在 ? ? 2 ,使得 k1 ? k3 ? ?k2 成立. 21. (本小题满分 12 分) 解析: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) ,
2

当 a ? ?1或a ? 3 时, f ?( x ) 在 ?? 1, 3? 上有 1 个零点; 当 a ? 1 时, f ?( x ) 在 ?? 1, 3? 上有 1 个零点; 当 ? 1 ? a ? 3 且 a ? 1 时, f ?( x ) 在 ?? 1, 3? 上有 2 个零点. (Ⅱ)对于任意的 x1, x2 ?

?0,2? ,不等式 m ? am2 ?
max

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,

等价于 m ? am2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 易得, f ( x) 在

?0,1? 上单调递减,在 ?1,2? 上单调递增, f (0) ? 0, f (2) ? 4 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? f (2) ? f (1) ? 5 ? 3a . 则 问 题 转 化 为 对 于 任 意 的 a ???3,0? ,

m ? am2 ? 5 ? 3a 恒成立,即对于任意的 a ???3,0? , (m 2 ? 3)a ? m ? 5 ? 0 恒成立.
令 g (a ) ? (m
2

? 3)a ? m ? 5, a ? ? ?3,0? ,
7

? g (?3) ? 0 ? ?m ? 2或m ? ? 只需 ? ?? 3 ?m?5 g (0) ? 0 ? ? ?m ? 5
故实数 m 的取值范围是 ?5, ? ??. 22. (本小题满分10分) 解析:(Ⅰ)由 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 2 ? ?(

2 2 sin ? ? cos? ) ? 2 2 . 2 2

将 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代入,即可得到直线 l 的直角坐标方程是 x ? y ? 4 ? 0 .

(Ⅱ) P 到直线 l 的距离 d ? ∴ d min ?

| 3 cos? ? sin ? ? 4 | 2

?

4 ? 2 sin(? ? 2

?

) 3 .

2 , d max ? 3 2 .

23. (本小题满分 10 分) 解析:(Ⅰ)由绝对值不等式的性质知, x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3. ?2 分 因为 f ( x) ? a2 恒成立,所以 a ? 3 ,即 ? 3 ? a ? 3 ,所以 T ? ? 3, 3 .
2

?

?

(Ⅱ) ( 3 m ? n )2 ? ( mn ? 3 )2 ? 3(m ? n)2 ? (mn ? 3)2

? 3m2 ? 6mn ? 3n2 ? m2n2 ? 6mn ? 9 ? ?(m2 ? 3)(n2 ? 3).
因为 m, n ? T , 所以 m2 ? 3, n2 ? 3, 故 ? (m2 ? 3)(n2 ? 3) ? 0, 所以 ( 3 m ? n )2 ? ( mn ? 3 )2 , 即 3 m ? n ? mn ? 3.


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