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2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第二章函数单元测试 理


2014 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第二章函数
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1 .(2013 江西理)函数 y= A. (0,1)

x ln(1-x)的定义域为(
C.(0,1]

) D.[0,1]

B.[0,1)

? 2x , x ? 0 2、 【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 设函数 f ? x ? ? ? 则f ? ? f ? ?1? ? ?? ?log 2 x, x ? 0,
(A) 2 (B) (C) ?2 (D) ?1 3、 【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 设 a ? 30.5 ,b ? log 3 2 ,c ? cos 2 , 则 ( )

A.c ? b ? a

B .c ? a ? b

C .a ? b ? c

D .b ? c ? a

4、 (2013 广东理)定义域为 R 的四个函数 y ? x 3 , y ? 2 x , y ? x 2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数 的个数是( A . 4 ) B. 3 C. 2 D.

5、 (2013 天津理)函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 ) (D) 4

6、设 f ( x) ? e x ? x ? 4 ,则函数 f ( x) 的零点位于区间( A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)

7、 【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】已知 f1 ( x) ? a x , f 2 ( x) ? x a , ( a ? 0 且 a ? 1) ,在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象, f3 ( x) ? log a x , 正确的是

A

B

C

D
2

8、 (2013 山东理)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x + (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2

1 ,则 f(-1)= ( x

)

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 9、 (2013 新课标 I 卷理) )已知函数 f ( x) = ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值 ?ln( x ? 1), x ? 0
范围是

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1

A . (??, 0]

B . (??,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0]

10 、 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ) ? f ( x ? 4) , 当

x ? ( ?2, 0) 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
A. ?

) D. ? 2

1 2

B.

1 2

C. 2

11. 【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足 对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 , 若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,则 a 的取值范围是 ( ) A. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

12. 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 ? 0, 2? 上是增函数, 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) , 在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 = A.-12 B.-8 C.-4 D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、 (2013 年高考 (江苏卷) ) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,
2

则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为



.

14 、 【河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理】已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且
2 . 当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? ____ ( x2? 4)? ? (x f ( xf ? )? f f (x )),

15 . ( 2013 上海理)设 a 为实常数, y = f ( x )是定义在 R 上的奇函数,当 x < 0 时,

f ( x) ? 9 x ?

a2 +7,若 f ( x) ? a ? 1 ,对一切 x ? 0 恒成立,则 a 的取值范围为___ x
x

16.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 .若同时满足条件: ① ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) , f ( x) g ( x) ? 0 . 是________. 则 m 的取值范围

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2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (2013 届长宁、嘉定区二模)设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a 奇函数. (1)求 k 的值;
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的

(2) (理) 若 f (1) ? 求 m 的值.

3 , 且 g ( x) ? a 2 x ? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 , 2

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3

18. (本小题满分 12 分) (2013 届普陀区二模) 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ,

g ( x) ? log a

1 ,记 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 1? x

(1)求函数 F ( x) 的定义域 D 及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

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4

19.(本小题满分 12 分) (2013 安徽理)设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中 a ? 0 ,区间

I ?| x f (x)>0
(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求长度的最小值。

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5

20、 (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)某水域 一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻 ,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染 .为减少对环境的 影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化, 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示

x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 为: f ( x) ? ? ?1 ? x ? ? 6

0? x?3
, 只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x ?6

1 时, 才 3

能对污染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个单 3

位的固体碱,设第二次投放后 水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大 ...... 值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加 ) ..

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6

21.(本小题满分 12 分) 【河北省衡水中学 2013 届高三第一次调研考试理】 (本题 12 分)已 知偶函数 y ? f ( x) 满足:当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R , 当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? x(2 ? x) (1) 求当 x ? ?2 时, f ( x) 的表达式; (2) 试讨论:当实数 a, m 满足什么条件时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点, 且这 4 个零点从小到大依次构成等差数列.

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7

22.(12分) 已知集合 D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k (I)设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.

? .其中 k

为正常数.

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; x1 x2 2 k (III)求使不等式 ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 ) ? ( k ? 2 ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的范围. x1 x2 2 k
(II)求证:当 k ? 1 时不等式 (

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8

参考答案 一、选择题 1、B 2、 【答案】D 【解析】 f (?1) ? 2?1 ? 3、 【答案】A 【解析】 a ? 30.5 ? 1 , 0 ? log 3 2 ? 1 , c ? cos 2 ? cos 4、C 5、

1 1 1 ,所以 f ? f ? ?1? ? ? f ( ) ? log 2 ? ?1 ,选 D. ? ? 2 2 2

?
2

? 0 ,所以 c ? b ? a ,选 A.

6、C 7、B 【解析】A 中 f1 ( x) ? a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递减, a ? 0 ,所以不正 确。B 中 f 3 ( x) ? log a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递增, ,所以正确。C 中

f1 ( x) ? a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而 f3 ( x) ? log a x 递减, 0 ? a ? 1 ,所以不正确。 D 中 f1 ( x) ? a x 单调递减,所以 0 ? a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递增, a ? 0 ,所以不正确。所以
正确的是 B. 8、A 9、 【 解 析 】 ∵ | f ( x) |= ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0

, ∴ 由 | f ( x) | ≥ ax 得 , ?

?x ? 0
2 ? x ? 2 x ? ax



?x ? 0 , ? ?ln( x ? 1) ? ax
由?

?x ? 0
2 ? x ? 2 x ? ax

可得 a ? x ? 2 ,则 a ≥-2,排除A,B,

当 a =1 时,易证 ln( x ? 1) ? x 对 x ? 0 恒成立,故 a =1 不适合,排除 C,故选 D. 10、 【答案】A 【解析】 ,f(0)=0,f(1)=f(-1)=

1 ,由题可知函数的周期为 4 2

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9

?1 故 f ( 2012) ? f ( 2011) = f (0) ? f ( ?1) ? 0 ? 2 ? ?

1 。 2

11、 【答案】B 【 解 析 】 因 为 函 数 是 偶 函 数 , 所 以 f (? x ? 2) ? f (? x) ? f (1) ? f ( x) ? f (1) , 即

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 所 以 函 数 f ( x) 关 于 直 线 x ? 2 对 称 , 又

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ? f ( x ? 2) , 所 以 f ( x ? 4) ? f ( x) , 即 函 数 的 周 期 是 4. 由

y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) ? 0 得, f ( x) ? log a (| x | ?1) ,令 y ? g ( x) ? log a (| x | ?1) ,当

x ? 0 时, g ( x) ? log a (| x | ?1) ? log a ( x ? 1) ,过定点 (0,1) .由图象可知当 a ? 1 时,不
成立.所以

0 ? a ? 1 .因为 f (2) ? ?2 ,所以要使函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??)
,所以

上至少有三个零点,则有 g (2) ? ?2 ,即 g (2) ? log a 3 ? ?2 ? log a a ?2

3 ? a ?2



3 3 1 2 a 的 取 值 范 围 是 (0, 0 ? a ? ) a ? 即 3 ,即 3 , 选 B, 如 图 3 ,所以

. 12、 【答案】B 【解析】因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,由
f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? ?2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函

数,所以 f ( x) 在区间[? 2,0]上也是增函数. 如图 2 所示,那么方程 f ( x) ? m(m>0)在区 间[? 8, 8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4,由对称性知 即 x1+x2 = ? 12,同理:x3+x4 = 4,所以 x1+x2+x3+x4 = ? 12+4 = ? 8.选 B.
x1 ? x2 ? ?6 , 2

二、填空题 13、 【答案】 ? ?5, 0 ? ? ? 5, ?? ?

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10

【解析】因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4 x 解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5, 0 ? ? ? 5, ?? ? 14、 【答案】-2 【解析】由 f (x ? 2) ? ?f (x ) ,得 f ( x ? 4) ? f ( x ) ,所以函数 f ( x) 的周期是 4. 所以

f (7) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?2
15、 ( ??, ? ] 16. 【答案】 (?4, ?2) 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ? x ? 1 , 由于题目中第一个条件的限制 , 导致 f ( x) 在
x

8 7

x ? 1 是必须是 f ( x) ? 0 ,当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,不能做到 f ( x) 在 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所
以 舍 去 , 因 此 f ( x) 作 为 二 次 函 数 开 口 只 能 向 下 , 故 m ? 0 , 且 此 时 2 个 根 为

1 ? ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? 2 ?? , 和大前 提 x1 ? 2m, x2 ? ?m ? 3 , 为保证 条件成 立 , 只 需 ? x ? ? m ? 3 ? 1 ? ? ? 2 ?m ? ?4

m ? 0 取交集结果为 ?4 ? m ? 0 ,又由于条件 2 的限制,可分析得出 ?x ? (??, ?4), f ( x)
恒负,因此就需要在这个范围内 g ( x) 有取得正数的可能,即 ?4 应该比 x1 , x2 两个根中较 小的来提大,当 m ? (?1, 0) 时, ? m ? 3 ? ?4 ,解得交集为空,舍去.当 m ? ?1 时,两个根同 为 ?2 ? ?4 ,也舍去,当 m ? (?4, ?1) 时, 2m ? ?4 ? m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4, ?2) 三、解答题 17.解: (1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
x ?x

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ,
3 1 3 ,所以 a ? ? , 2 a 2

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 . (2)由(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

,因为 f (1) ?

解得 a ? 2 . 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

, g ( x) ? 2

2x

? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ,

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11

令 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ? 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m , t ? ?
2 2 2

?3 ? , ? ?? , ?2 ?

?3 ? , ? ?? ?2 ? 3 9 ?3 ? ?3? 当 m ? 时, h(t ) 在 ? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 2 4 ?2 ? ?2? 25 解得 m ? (舍去) . 12 3 当 m ? 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去) . 2 综上, m 的值是 2 . 1 18、解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F ( x) 的定义域为 (?1, 1) ? ?1 ? x ? 0
令 F ( x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ? 0 ??(*)方程变为 1? x

log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ??4 分 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 所以函数 F ( x) 的零点为 0 . (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 (0 ? x ? 1) 1? x

x 2 ? 2x ? 1 4 m ? log a ? log a (1 ? x ? ? 4) 1? x 1? x
am ? 1? x ? 4 ?4 1? x 4 在区间 (0, 1] 上是减函数 t

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , y min ? 5 ,所以 a m ? 1 ①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解; ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解

19、 【答案】 (Ⅰ)

a . 1? a2

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12

(Ⅱ)

1 2 a a . ) .所以区间长度为 2 1? a2 1? a

【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? x[a ? (1 ? a 2 ) x] ? 0 ? x ? (0, (Ⅱ) 若 k ? (0,1), 且1 - k ? a ? 1 ? k时,l ?

a ? 1? a2

1 a? 1 a

?

1 1 ? 1?1 2

1 1 且当a ? 1时, l取最小值 ,a满足1 - k ? a ? 1 ? k . l的最小值为 . 2 2

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 20、⑴由题意知 ? x 6 1 或? x 1 2? ? ? 1? ? ? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3
解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故

? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) g ? x ? = ?1 ? ? + ? 2 ? = ? ? ; ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ?
当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ?

( x ? 4) 6 8 x 6 = ? ? ; ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1
x?4 5 x ? ? ; 6 3 6
4? x?6 6? x?7 7 ? x ? 10
时 ,

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ?

6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? ?5 x ?3 ? 6 ?


4? x?6

g ( x) ?

6 10 x ? 1 6 10 11 x 6 10 x ? 1 ?( ? )? ?2 ? = = ? ? ?2 2 ; 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 3 x ?1 3

x ?1 6 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各 1 分) ? 3 x ?1 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,
当且仅当 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ?

6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2

第页

13

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x) max = g (7) ? 又(

1 , 2

10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中碱浓度 3 2 6 6
10 ?2 2 3 10 ?2 2 3

的最大值为

答 : 第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时 ; 第一次投放

1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为

21、解: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (? x) ? (? x ? 2)(a ? x) 又? y ? f ( x) 偶函数? f ( x) ? f (? x) 所以, f ( x) ? ( x ? a )(? x ? 2) (2) f ( x) ? m 零点 x1 , x2 , x3 , x4 , y ? f ( x) 与 y ? m 交点有 4 个且均匀分布

? x1 ? x 2 ? ?2 ? (Ⅰ) a ? 2 时, ?2 x 2 ? x1 ? x3 ?x ? x ? 0 3 ? 2
所以 a ? 2 时, m ?

得 x1 ? 3 x 2 , x1 ? ?

3 1 1 3 , x 2 ? ? , x3 ? , x 4 ? , 2 2 2 2

3 4 3 a 3 2 (Ⅱ) 2 ? a ? 4 且 m ? 时 , ( ? 1) ? 4 2 4 3 所以 2 ? a ? 3 ? 2 时, m ? 4
(Ⅲ) a ? 4 时 m=1 时 符合题意

, ? 3?2?a?

3?2

? x3 ? x 4 ? 2 ? a ? x3 ? x 4 ? 2 ? a 2?a 2?a 26 ?? 2 a3 ?a a 32 a2 ?? a 20a ? 12 2 ? a 3a 2 ? 20a ? 12 ? ? 2x ? x ? x ? x ? 2 x ? , x m ? ? x ( ? ? x 2 )( ? a ? , m ) ? ( ? 2 )( a ? ) ? x ? (IV? ) 时, , ,m a ? 4 m ? 1 ? 3 2 4 4 3 2 4 44 4 4 44 4 16 4 16 ?x ? ? x ? x4 ? ? x 3 3 ? 2 ? 2
此时 1 ? m ? (

a ? 1) 2 所以 a ? 10 ? 4 7 or a ? 10 ? 4 7 (舍) 2 3 3

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 时存在 a ? 4且a ? 16 3
综上: ① a ? 2 ? 3 时, m ? ② a ? 4 时, m ? 1

3 4

第页

14

③a ?

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 符合题意 16 3 x1 ? x2 2 k 2 k ,当且仅当 x1 ? x2 ? 时等号成立, ) ? 2 4 2

22、 【答案】 (I) x1 x2 ? (

k2 ]. 4 x x 1 1 1 (II) 变形,得 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
故 u 的取值范围为 (0,

? x1 x2 ?

2 x 2 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? 1 ? x1 x2 ? ?2?u? ?2. x1 x2 x1 x2 x1 x2 u

k2 k 2 ?1 k2 ,又 k ? 1 , k 2 ? 1 ? 0 ,∴ f (u ) ? u ? ? 2 在 (0, ] 上是增函数, 4 u 4 2 2 2 2 k ?1 k k ?1 k 4 2 k 1 1 所以 ( ? x1 )( ? x2 ) ? u ? ?2 ? ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 . k u 4 4 k k 2 x1 x2 4 1 1 k 2 2 即当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 成立. x1 x2 2 k
由0 ? u ? (III)令 (

1? k 2 k 2 k2 1 1 ? 2 ? f (u ) ,则 ( ? ) 2 ? f ( ) , ? x1 )( ? x2 ) ? u ? u 2 k 4 x1 x2

k2 k2 ) 对 u ? (0, ] 恒成立的 k 的范围. 4 4 1 1 k 2 由 (II) 知, 要使 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立, 必有 0 ? k ? 1 , x1 x2 2 k
即求使 f (u ) ? f ( 因此 1 ? k 2 ? 0 , ∴函数 f (u ) ? u ? 1 ? k ? 2 在 (0, 1 ? k ] 上递减, 在 [ 1 ? k , ??) 上递增,
2

2

2

u

要使函数 f (u ) 在 (0,

k k2 k2 ] 上恒有 f (u ) ? f ( ) ,必有 ? 1 ? k 2 , 4 4 4
5?2 .

2

即 k 4 ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

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