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3.3.2函数的极值与导数


§3.3.2 函数的极值与导数 编写人:李夫 2012.9.21

学习目标 1.理解极大值、极小值的概念; 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P93~ P96,找出疑惑之处) 复习 1: 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ? ( x ) . ②令 解 不等式, x 的范围就是递增区间.③令 得 解不等式, x 的范围, 得 就是递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x ) 在 a , b , c , d , e , f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y ? f ( x ) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y ? f ( x ) 的导数的符号有什么 规律?

看出,函数 y ? f ( x ) 在点 x ? a 的函数值 f ( a ) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?( a ) ? ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ? ( x ) 0,右侧 f ? ( x ) 0. 类似地,函数 y ? f ( x ) 在点 x ? b 的函数值 f ( b ) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?( b ) ? ; 而且在点 x ? b 附近的左侧 f ? ( x ) 0,右侧 f ? ( x ) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x ) 的极小值点, f ( a ) 叫做函数 y ? f ( x ) 的极小值;点 b 叫做函 数 y ? f ( x ) 的极大值点, f ( b ) 叫做函数 y ? f ( x ) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 极值点.

(能,不能)成为

反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x ) ? x 3 在 x=0 处的导数为 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 ※ 典型例题 例 1 求函数 y
? 1 3 x ? 4x ? 4
3

,但它 条件.

的极值.

变式 1:已知函数

f ( x ) ? a x ? b x ? cx
3 2

在点 x 0 处取得极大值 5,其导函数 y
x0

? f ?( x )

的图象经

过点 (1, 0 ) , ( 2 , 0 ) ,如图所示,求 (1) y

的值(2)a,b,c 的值.

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果 左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处 无极值. 变式 2:已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 1 1 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象.
王新敞
奎屯 新疆

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x ) ? 6 x 2 ? x ? 2 ; (2) (3)
f ( x) ? 6 ? 12 x ? x
3

f ( x) ? x ? 27 x
3



; (4)

f (x) ? 3x ? x

3

.

练 2. 下图是导函数 y ? 点,哪些是极小值点.

f ?( x )

的图象,试找出函数 y

? f (x)

的极值点,并指出哪些是极大值

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求可导函数 f(x)的极值的步骤; 2. 由导函数图象画出原函数图象;由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点. 由些可见: “有极值但不一定可导” 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 函数 y ? 2 ? x 2 ? x 3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是 ( ) A. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x B. y ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x C. y
? x ? 6x ? 9x
3 2

D. y

? x ? 6x ? 9x
3 2

3. 函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? b x ? a 2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( A. a ? 3, b ? ? 3 或 a ? ? 4, b ? 1 1 B. a ? ? 4, b ? 1 或 a ? ? 4, b ? 1 1 C. a ? ? 1, b ? 5 D.以上都不正确 4. 函数 5. 函数
f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9
3 2



在x

? ? 3 时有极值

10,则 a 的值为

f ( x ) ? x ? 3ax ? a (a ? 0)
3 2

的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为

课后作业 1. 如图是导函数 y ? f ? ( x ) 的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数 y ? f ? ( x ) 有极大 值? (2)导函数 y ? f ? ( x ) 有极小值?(3)函数 y ? f ( x ) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x ) 有极 小值?

2. 求下列函数的极值: (1) f ( x ) ? 6 x 2 ? x ? 2 ; (2)

f ( x) ? 48 x ? x

3

.


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