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上海市黄浦区2013届高三下学期二模数学(文)试题

黄浦区 2013 年高考模拟考 数学试卷(文科)
考生注意:

2013 年 4 月 11 日

1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? lg(4 ? 2 x) 的定义域为 . . .
开始

z ?1 ? 0 ,则 z 的值为 9 z ??? ???? ? 3.在正△ ABC 中,若 AB ? 2 ,则 AB ? AC ?
2.若复数 z 满足

4.若直线 l 过点 A( ?1,3) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为 . .

a←1 a←3a+1 a >100
是 输出 a 否

5.等差数列 {an } 的前 10 项和为 30 ,则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? 6.设 a 为常数,函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3 .若 f ( x) 在 [a, ??) 上是 增函数,则 a 的取值范围是 . .

7.执行右边的程序框图,则输出的 a 值是

结束 (第 7 题图)

? x ? y ? 1 ? 0, ? 8.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 点 O 为坐标原点,则 ? x ? 2, ?

PO 的最小值为



9.已知点 P(2, ?3) 是双曲线 4, 则该双曲线方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,双曲线两个焦点间的距离等于 a 2 b2



10.已知圆 O1 是球 O 的小圆,若圆 O1 的半径为 3 2 cm,球心 O 到圆 O1 所在平面的距离为

3 2 cm,则球 O 的表面积为

cm2.

11.在△ ABC 中, ?A ? 120? , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 12 . 已 知 ( 3? x )? ( 3 x 2)? (? x 3 ? ? ? ? 3 )

sin B 的值为 sin C

. ,且 *)

? 3 n ?)a0 ? a 1x ? a 2x 2? ? ? an xn n ?(N (x

An ?
a0 ? a 1 ? a2 ? ? ? an ,则 lim
n??

An ? 4n



13.一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品.用户随机抽取 3 件产品进行 检 验,若这 3 件产品中至少有一件次品,就拒收这箱产品;若这 3 件产品中没有次品,就接 收 这箱产品.那么这箱产品被用户拒收的概率是 14. 已知 f ( x) ? 4 ? . (用数字作答)

1 , 若存在区间 [a, b] ? (0, ??) , 使得 { y | y ? f ( x), x ?[a, b]} ? [ma, mb] , x


则实数 m 的取值范围是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

4 ,且 sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为 2 5 24 24 24 A. ? B. ? C. ? 25 7 7 1 16.函数 f ( x) ? x 2 ? 1( x ? ?2) 的反函数是 2
15.已知 cos

?

?

( D.



24 7
( )

A. y ? 2x ? 2(1 ? x ? 3) C. y ? ? 2 x ? 2(1 ? x ? 3)

B. y ? 2 x ? 2( x ? 3) D. y ? ? 2x ? 2( x ? 3)

17.如果函数 y ?| x | ?2 的图像与曲线 C : x2 ? y 2 ? ? 恰好有两个不同的公共点,则实数 ? 的 取 值范围是 A. {2} ∪ (4, ??) B. (2, ??) C. {2, 4} D. (4, ??) ( )

18. 下列命题: “ 0 ? a ? ①

1 1 ” “存在 n ? N * , 是 使得 ( )n ? a 成立” 的充分条件; “ a ? 0 ” ② 2 2 1 1 ”是“不等式 ( )n ? a 对一 2 2

是“存在 n ? N * ,使得 ( )n ? a 成立”的必要条件;③“ a ? 切

1 2

n ? N * 恒成立”的充要条件.其中所有真命题的序号是
A.③ B.②③ C.①② D.①③





三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 2,且 A1D ? 13 . (1)求该正四棱柱的体积; (2)若 E 为线段 A1 D 的中点,求异面直线 BE 与 AA1 所成角的大小.
E A1

D1

C1

B1

D

C B

A

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知复数 z1 ? sin x ? ?i , z2 ? (sin x ? 3 cos x) ? i (? , x ? R ,i 为虚数单位) . (1)若 2 z1 ? z2i ,且 x?(0, π) ,求 x 与 ? 的值; (2)设复数 z1 , z2 在复平面上对应的向量分别为 OZ1 , OZ 2 ,若 OZ1 ? OZ2 ,且 ? ? f ( x) ,求

???? ???? ? ?

???? ?

???? ?

f ( x) 的最小正周期和单调递减区间.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药

? ax ? x 2 ? 1 , (0 ? x ? 1) ? 后每毫升血液中的含药量 y (微克)与时间 x (小时)之间满足 y ? ? , x ?1 ? a?2 , ( x ? 1) ? 4 x ?1 ? 1 其 ? y
对应曲线(如图所示)过点 ( ,

1 16 ). 2 5

(1)试求药量峰值( y 的最大值)与达峰时间( y 取 最大值时对应的 x 值) ; (2)如果每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗 疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维 持多长的有效时间?(精确到 0.01 小时) x

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于 A( x1 , y1 ),

B( x2 , y2 ) 两点,且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 2 x ? 3 y ? 0 平分线段 AB ,求直线 l 的倾斜角. (3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求证: 当 k0 ? 1 时, k1 ? k2 为定值.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n,当 an 为偶数时,

an?1 ?

an ; 2
an ? 1 . 2

当 an 为奇数时, an?1 ?

(1)若 a1 ? 64 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (3)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m?N) ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2m?1 ? m ? 5 .

黄浦区 2013 年高考模拟考数学试卷
(文科)参考答案和评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解 答中的评分精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ( ??, 2) ; 2. ? 3i ; 7.121; 13. 8. 3.2;
2

4. 2 x ? y ? 1 ? 0 ;

5.12;

6. [2, ??) ; 12.

y 3 3 ? 1 ; 10. 144π ; 11. ; 2 ; 9. x 2 ? 3 5 2

4 ; 3

8 ; 15

14. (0, 4) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C 16.D 17.A 18. B

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解:解: (1)在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, ∵ AA1 ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ? ∴ AA1 ? AD ,故 AA1 ? 13 ? 4 ? 3 ,??????3 分 ∴正四棱柱的体积为 (22 ) ? 3 ? 12 . ??????6 分 (2)设 G 是棱 AD 中点,连 GE , GB ,在△ A1 AD 中, ∵ E , G 分别为线段 A1 D, AD 的中点, ∴ EG ∥ A1 A ,且 EG ?
D G A(O) B C A1 D1 C1

B1

E

1 3 AA1 ? , 2 2

∴ ?GEB 就是异面直线 AA1 与 BE 所成的角. ??8 分 ∵ A1 A ? 平面 ABCD, GB ? 平面 ABCD ,∴ AA1 ? GB , ? 又 EG ∥ A1 A ,∴ EG ? BG , ∵ GE ? , BG ? 1 ? 22 ? 5 , ????????10 分

3 2

2 5 BG 5 2 . ? ? 5 ,故 ?GEB ? arctan 3 3 3 GE 2 2 5 所以异面直线 AA1 与 BE 所成角的大小为 arctan . ??????????12 分 3
∴ tan ?GEB ? 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)由 2 z1 ? z2i ,可得 2sin x ? 2?i ? 1 ? (sin x ? 3 cos x)i ,又 ? , x ? R , ∴?

?2sin x ? 1, ? 又 x ? (0, π) , ? 2? ? sin x ? 3 cos x, ?

??????????2 分

5π ? π x? , ? ?x? , ? ? 6 故? 6 或? ?? ? 1, ?? ? ? 1 . ? ? 2 ? ???? ? ???? ? (2) OZ1 ? (sin x, ? ), OZ2 ? (sin x ? 3 cos x, ?1) , ???? ???? ? ? 由 OZ1 ? OZ2 ,可得 sin x(sin x ? 3 cos x) ? ? ? 0 ,
又 ? ? f ( x) ,故 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x

?????????6 分

?????????8 分

?

1 ? cos 2 x 3 π 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? ??????????11 分 2 2 6 2
??????????12 分

故 f ( x) 的最小正周期 T ? π , 又由 2kπ ?

π π 3π π 5π ,可得 kπ ? ? x ? kπ ? , ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) 2 6 2 3 6 π 5π 故 f ( x) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? ] ( k ? Z) . ??????????14 分 3 6
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

1 a? 1 16 2 ? 16 ,故 a ? 8 解: (1)由曲线过点 ( , ) ,可得 1 2 5 ?1 5 4 8x 8x 当 0 ? x ? 1 时, y ? 2 ? ? 4, x ? 1 2x
当 x ? 1 时,设 2 x ?1 ? t ,可知 t ? 1 ,

????????2 分

????????3 分

y?

8 ? 2 x ?1 8t 8t ? 2 ? ? 4 (当且仅当 t ? 1 时, y ? 4 ) x ?1 4 ? 1 t ? 1 2t

????????5 分

综上可知 ymax ? 4 ,且当 y 取最大值时,对应的 x 值为 1 所以药量峰值为 4mg,达峰时间为 1 小时. (2)当 0 ? x ? 1 时,由 ????????6 分

8x ? 1 ,可得 x 2 ? 8 x ? 1 ? 0 , x ?1
2

解得 x ? 4 ? 15 ,又 4 ? 15 ? 1 ,故 x ? 4 ? 15 . 当 x ? 1 时,设 2 x ?1 ? t ,则 t ? 1 ,

????????8 分



8 ? 2 x ?1 8t ? 1 ,可得 2 ? 1 ,解得 t ? 4 ? 15 , 4 x ?1 ? 1 t ?1

又 t ? 1 ,故 t ? 4 ? 15 ,所以 2x?1 ? 4 ? 15 , 可得 x ? log2 (4 ? 15) ? 1 . ????????????????12 分

由图像知当 y ? 1 时,对应的 x 的取值范围是 [4 ? 15,log2 (4 ? 15) ? 1] , ∵ log2 (4 ? 15) ? 1 ? (4 ? 15) ? 3.85 , 所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约 3.85 小时的有效时间. ????14 分 【另法提示:可直接解不等式 y ? 1 ,得出 x 的取值范围,然后求出有效时间】 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)设直线 l 的方程为 x ? ay ?

p ,代入 y 2 ? 2 px ,可得 2
(*)

y 2 ? 2 pay ? p 2 ? 0
由 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是直线 l 与抛物线的两交点, 故 y1 , y2 是方程(*)的两个实根,

????????2 分

∴ y1 y2 ? ? p 2 ,又 y1 y2 ? ?4 ,所以 ? p 2 ? ?4 ,又 p ? 0 ,可得 p ? 2 所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ????????4 分

【另法提示:考虑直线 l 垂直于 x 轴这一特殊情形,或设直线 l 方程为点斜式】 (2)由(1)可知 y1 ? y2 ? 2 pa ? 4a , 设点 D 是线段 AB 的中点,则有

yD ?

y1 ? y2 p ? 2a , xD ? ayD ? ? 2a2 ? 1 , 2 2 1 2

?????????7 分

由题意知点 D 在直线 2 x ? 3 y ? 0 上, ∴ 2(2a2 ? 1) ? 6a ? 0 ,解得 a ? ?1 或 ? , 设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ?

1 ? ?1 或 ?2 ,又 ? ? [0, ? ) , a
?????????10 分

故直线 l 的倾斜角为 ? 或 ? ? arctan 2 . 【另法提示:设直线 l 方程为点斜式】 y y (3) k0 ? M ? M ? 1 ,可得 yM ? ?2 , xM ? 1 ?2 由(2)知 y1 ? y2 ? 4a, 又 y1 y2 ? ?4 , ∴ k1 ? k2 ?

3 4

?????????11 分

y1 ? 2 y2 ? 2 y1 ? 2 y ?2 ? ? ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ay1 ? 2 ay2 ? 2

?

2a 1 2? 2 a 1 y 2 ) y y ( ? ? y 2 a 1 2? 2 ( a 1 y y y ?

2 (1 y ? )? 4 2y

2

?) y

8

?????????14 分

?

?8a ? 8a 2 ? 8a ? 8 8(a 2 ? 1) ? ?2, ?4a 2 ? 8a 2 ? 4 4(a 2 ? 1)
?????????16 分

所以 k1 ? k2 为定值.

【另法提示: 分直线 l 斜率存在与不存在两种情形讨论, 斜率存在时设直线 l 方程为点斜式】 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1) a1 ? 6 ? 由 4 2
6

, 可得 a2 ? 25 ,a3 ? 24 , ?,a6 ? 21 ,a7 ? 20 ,a8 ?

1 ?1 ?, ? 0 ,a9 ? 0 , 2

即 {an } 的前 7 项成等比数列,从第 8 起数列的项均为 0.

????????2 分 ???????4 分

?27?n , 故数列 {an } 的通项公式为 an ? ? ? 0,

(1 ? n ? 7, n ? N) . (n ? 8, n ? N) a a (2)若 a1 ? 4k (k ? Z) 时, a2 ? 1 ? 2k , a3 ? 2 ? k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知即 2(2k ) ? k ? 4k ,解得 k ? 0 ,故 a1 ? 0 ; 若 a1 ? 4k ? 1(k ? Z) 时, a2 ?

a1 ? 1 a ? 2k , a3 ? 2 ? k , 2 2 a1 a ?1 ? 2k ? 1, a3 ? 2 ?k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ) ? (4k ? 1) ? k ,解得 k ? ?1 ,故 a1 ? ?3 ;???7 分 若 a1 ? 4k ? 2(k ? Z) 时, a2 ?

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ? 1) ? (4k ? 2) ? k ,解得 k ? 0 ,故 a1 ? 2 ; 若 a1 ? 4k ? 3(k ? Z) 时, a2 ?

a1 ? 1 a ?1 ? 2k ? 1 , a3 ? 2 ?k , 2 2

由 a1 , a2 , a3 成等差数列,可知 2(2k ? 1) ? (4k ? 3) ? k ,解得 k ? ?1 ,故 a1 ? ?1 ; ∴ a1 的值为 ?3, ?1,0, 2 . (3)由 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 ) ,可得 a2 ? ????????10 分

a1 ? 1 m?1 ? 2 ?2, 2

a3 ?

a ? 1 m ?3 a2 ? 2m?2 ? 1 , a4 ? 3 ? 2 ?1 , 2 2
ak ? 1 2 t ? 1 ? 1 ? ? 2t ?1 ? 1 , 2 2
????????13 分

若 ak ? 2t ? 1(t ? N*) ,则 ak 是奇数,从而 ak ?1 ? 可得当 3 ? n ? m ? 1 时, an ? 2m?n?1 ? 1 成立. 又 am?1 ? 20 ? 1 ? 0 , am? 2 ? 0 ,?

故当 n ? m 时, an ? 0 ;当 n ? m ? 1 时, an ? 0 . 故对于给定的 m , Sn 的最大值为 a1 ? a2 ? ? ? am

????????15 分

? (2m ? 3) ? (2m?1 ? 2) ? (2m?2 ? 1) ? (2m?3 ? 1) ? ? ? (21 ? 1) ? (2m ? 2m?1 ? 2m?2 ? ? ? 21 ) ? m ? 3 ? 2m?1 ? m ? 5 ,
故 Sn ? 2m?1 ? m ? 5 . ????????18 分


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