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三角函数(经典难题)


三角函数
一、 选择题
1.已知 tan ? ? 2, 则

4sin 3 ? ? 2 cos ? 的值为( ) 5cos ? ? 3sin ?
C. 3 5

A.

2 5

B.

5 11

D.

7 11

2. 4cos 50? ? tan 40? 的值为( )

A. 2

B.

2 3 ? 2 2

C. 3

D. 2 2 ? 1

3.已知 w ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(wx ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 w 的取值范围是( 2 4

?



?1 5? A. ? , ? ?2 4?

?1 3? B. ? , ? ?2 4?

? 1? C. ? 0, ? ? 2?

D. ? 0, 2?


4.若 sin ? ? ,sin ? ?

2 3

sin ? 2? ? ? ? 1 ? ?? ? 2cos ?? ? ? ? 的值为( , ? , ? ? ? 0, ? ,则 sin ? 3 ? 2?
C. 3
D. 1 3

A. 2

B.

1 2

5. 已知 f ( x) ? a sin3 x ? b 3 x ? cos3 x ? 4,(a, b ? 0且为实常数) ,若 f (sin10?) ? 5 ,则

f (cos100? ) 的值为(
A. 1



B .

2

4

C .

3

D .

6.在平面直角坐标系中, ?ABC 的顶点 A(?5, 0), C(5, 0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y 2 ? ?1 36 11

上, , 则

sin A ? sin C 的值为( sin B



A.

5 6

B.

6 5

C.

4 5

D.

5 4

7.平面内不共线的向量 a, b, c 两两所成的角相等,且 a ? 1, b ? 2, c ? 3 ,则 a ? b ? c 与 a 的夹角为(

r r r

r

r

r

r

r r

r



A. 30?
8. log 2

B. 60?

C. 120?


D. 150?

sin 20? 1 ? cos 40? 的值为( cos 50?

A.

1 2

B. -

1 2

C. 2

D. -2


9.已知 cos( x ?

?

1 ? ) ? ? , 则 cos x ? cos( x ? ) 的值为( 6 3 3

A.

3 3

B. 3

C. -

3 3

D. - 3

10.如图为函数 f ( x) ? 2sin(wx ? ? ),(w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像,其中 A, B 的距离为 5 ,则 f (?1) 为( )

A. 1

B. 2

C. - 2

D. 2

二、 填空题
11.点 O 和 F (?2, 0) 分别为

任意一点,则 OP ? FP 的范围为____________。 12. y ? 3sin(x ? 20?) ? 4cos(x ? 10?) 的最大值为____________。 13.

uu u r uur

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为此双曲线右支上 a2

cos 40? ? sin 50?(1 ? 3 tan10?) 的值为____________。 sin 70? 1 ? cos 40?

14.函数 f (x) ? sinx? cosx? sin x ? cos x 对任意的 x ? R 都有 f (x1 ) ? f (x) ? f (x 2 ) , 则 x2 ? x1 的最小值为____________。 15.对于集合 {a1 , a2 ,?, an } 和常数 a0 ,定义

sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ? L ? sin 2 (an ? a0 ) 为集合 {a1 , a2 ,?, an } 相对的“正弦 n ? 5? 7? 3? 11? 13? , , , , } 对于 a0 的正弦方差为____________。 方差”,则集合 { , 2 6 6 2 6 6 Z?

三、简答题
x 1 3 3 ? ? sin x ? cos x ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,且 f ?( B) ? , B ? (0, ) , 2 4 4 4 2 求 sin( B ? 10?)[1 ? 3 tan( B ? 10?)] 的值.

16. f ( x) ?

17.△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A ?

?
4

,a ? 2,

b sin( ? C) ? c sin( ? B) ? a ,求△ ABC 的面积. 4 4

?

?

18.如图在△ ABC 中, ?B ?

?
3

, AC ? 4 3 ,D 为 BC 边上一点

① 若 AD=2,△ ADC 的面积为 2 3 ,求 CD 的长; ② 若 AB=AD,求△ ADC 周长的最大值.

19.如图在 C 城周边已有两条公路 l1 , l2 ,在点 O 处交汇,现规划在公路 l1 , l2 上分别 选择 A、B 两处交汇点,直接修一公路通过 C 城,已知 OC ? ( 2 ? 6)km , ∠ACB ? 75? , ∠AOC ? 45? ,试确定 A、B 的位置,求△ AOB 面积的最小值.

20.已知△ ABC 中,函数 f ( x) ? cos( ① 求∠ A 的大小; ② 求函数 f ( x) 的单调递增区间.

?4 ? 6 ? 2 3? , ? x) ? sin( A ? x) 的最小值为 8 2

21.已知焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点是 y ?

x2 的焦点,离心率 e ? 4

2 tan

?
2

? cot

?
2

,其

中 tan ? ? 2 , ? ? (0, ) ,过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交其于 A、B 两点,交 y 轴于点 M, 2 且 MA ? ? 1 AF , MB ? ? 2 BF , ① 求椭圆的方程; ② 证明: ? 1 ? ?2 为定值; ③ 若 l ' 为过左焦点的直线且与椭圆交于 C、D 两点,O 为会标原点,求△ OCD 面积的最 大值.

?


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