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浙江省杭州市2015年高考数学二模试卷(文科)


2015 年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.已知函数 f(x)= A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2.“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣8=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而充分不条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ) ,则 f(1)+f(﹣1)的值是( )

3.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是( )

A.

B. 4 C.

D. 3

4.设等比数列{an}的各项均为正数,若 A. 24 B. 8 C. 8 D. 16

+

=

+



+

=

+

,则 a1a5=(



5.设向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 150°,则| |的取值范围是( A. [ ,1) B. [ ,+∞) C. [ ,+∞) D. (1,+∞)



6.已知 ABC﹣A1B1C1 是所有棱长均相等的直三棱柱,M 是 B1C1 的中点,则下列命题正确 的是( ) A. 在棱 AB 上存在点 N,使 MN 与平面 ABC 所成的角为 45° B. 在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45° C. 在棱 AC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 平行

D. 在棱 BC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 垂直

7.设双曲线



=1, (a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) ,则 x +y =c 与双曲线的一

2

2

2

条渐近线交于点 A, 直线 AF 交另一条渐近线与点 B. 若

=

, 则双曲线的离心率为 (



A. 2 B. 3 C.
n

D.
n﹣1 n

8.若不等式(﹣2) a﹣3 是( )

﹣(﹣2) <0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围

A. (1, ) B. ( , ) C. (1, ) D. ( , )

二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 2 9.设全集 U=R,集合 A={x|﹣x ﹣3x>0},B={x|x<m},则?RA= 则 m 的取值范围为 ,若 A∩B=?,则 m 的取值范围为 10.已知 x∈[ cos2x= ,π],且 sin(x﹣ .
2 2

,若 A?B, .

)= ,则 cosx=

,sinx=



11.设集合{(x,y)|(x﹣1) +(x﹣2) ≤10}所表示的区域为 A,过原点 O 的直线 l 将 A 分成两部分,当这两部分面积之差最大时,直线 l 的方程为 ,此时直线 l 落在 区域 A 内的线段长为 .

12. 已知函数

其中 c>0. 那么( f x) 的零点是



若 f(x)的值域是

,则 c 的取值范围是



13.已知集合 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立, 则实数 m 最小值是 .

14.若实数 x,y 满足 x+y=6,则 f(x,y)=(x +4) (y +4)的最小值为

2

2



15.在正四面体 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 是棱 CD 上的一个动点,若直线 MN 与 BD 所成的角为 α,则 cosα 的取值范围是 .

三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 16.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=6,sinA﹣sinC=sin(A﹣ B) ; (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2 ,求△ ABC 的面积. 17. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, 且满足 AB∥CD, AD=DC= AB, PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

18. 已知数列{an}是各项为正数的等比数列, 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +5n, 且满足 a4=b14, a6=b126,令 cn=log an(n∈N ) .
*

2

(Ⅰ)求数列{bn}及{cn}的通项公式; (Ⅱ)设 Pn=cb1+cb2+…+cbn,Qn=cc1+cc2+…+ccn,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并说明理由. 19.已知抛物线 C:y =2px(p>0)上的点(2,a)到焦点 F 的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与抛物线 C 相切于点 A,且与其准线相交于点 B,问在坐标平面内是否存 在定点 D,使得以 AB 为直径的圆恒过定点 D?若存在,求出点 D 的坐标,若不存在,说 明理由. 20.已知函数 f(x)=x ﹣ax﹣a. (Ⅰ)若存在实数 x,使 f(x)<0,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g(x)=|f(x)|,若任意实数 a,存在 x0∈[0,1]使不等式 g(x0)≥k 成立,求实 数 k 的取值范围.
2 2

2015 年浙江省杭州市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.已知函数 f(x)= A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)= ,将 x=1,和 x=﹣1 代入可得答案. ,则 f(1)+f(﹣1)的值是( )

解答: 解:∵函数 f(x)=



∴f(1)=1,f(﹣1)=3, ∴f(1)+f(﹣1)=4, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是分段函数求值,难度不大,直接代入运算即可,属于基础题. 2.“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣8=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而充分不条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: 根据直线平行的条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:若直线 l1:ax+2y﹣8=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行, 则 a(a+1)﹣2=0, 2 即 a +a﹣2=0,解得 a=1 或 a=﹣2, 当 a=﹣2 时,直线 l1 方程为﹣2x+2y﹣8=0,即 x﹣y+4=0,直线 l2:x﹣y+4=0,此时两直线 重合,则 a≠﹣2, 故“a=1”是“直线 l1:ax+2y﹣8=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充要条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线平行的等价条件是解决本题的 关键. 3.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是( )

A.

B. 4 C.

D. 3

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图知几何体是正方体的一半,已知正方体的棱长为 2,由此可得几何体的体 解:由三视图知:余下的几何体如图示:

∵E、F 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的体积相等, ∴几何体的体积 V= ×2 =4. 故选 B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状是解答此类问题的关键.
3

4.设等比数列{an}的各项均为正数,若 A. 24 B. 8 C. 8 D. 16

+

=

+



+

=

+

,则 a1a5=(



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 化简整理利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵ + = + ,





∵等比数列{an}的各项均为正数, ∴a1a2=4, 同理可得:a3a4=16. ∴q =4,解得 则 a1a5=
4

, =4q =8
3

. .

故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.

5.设向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 150°,则| |的取值范围是( A. [ ,1) B. [ ,+∞) C. [ ,+∞) D. (1,+∞)



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 作△ OAB,设 由∠B 的范围可得. 解答: 解:作△ OAB,设 则 = ﹣ = ﹣ , 与 夹角为 150° = , = , = , = ,由题意易得∠OAB=30°,由正弦定理可得| |= ,

∵ 与 ﹣ 的夹角为 150°,即 ∴在△ OAB 中,∠OAB=30°, 由正弦定理得 =

,0°<B<150°,

∴0<sinB≤1,∴0<2sinB≤2, ∴| |= = ∈[ ,+∞)

故选:B 点评: 本题考查数量积与向量的夹角,涉及正弦定理的应用,属中档题. 6.已知 ABC﹣A1B1C1 是所有棱长均相等的直三棱柱,M 是 B1C1 的中点,则下列命题正确 的是( ) A. 在棱 AB 上存在点 N,使 MN 与平面 ABC 所成的角为 45° B. 在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45° C. 在棱 AC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 平行 D. 在棱 BC 上存在点 N,使 MN 与 AB1 垂直 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 根据题意画出图形,如图所示,连接 A1M,AM,根据直三棱柱得到侧棱与底面垂 直, 在直角三角形 AA1M 中, 利用锐角三角函数定义求出 tan∠AMA1 的值, 判断出∠AMA1 与 45°大小判断即可. 解答: 解:根据题意画出图形,如图所示,连接 A1M,AM, 由题意得到 AA1⊥面 A1B1C1, ∴AA1⊥A1M, 在 Rt△ AA1M 中,设 AA1=1,则有 A1B1=A1C1=B1C1=1,A1M= ∴tan∠AMA1= = >1, ,

∴∠AMA1>45°, 则在棱 AA1 上存在点 N,使 MN 与平面 BCC1B1 所成的角为 45°, 故选:B.

点评: 此题考查了棱柱的结构特征,直线与面垂直的性质,锐角三角函数定义,以及正弦 函数的性质,熟练掌握性质是解本题的关键.

7.设双曲线



=1, (a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) ,则 x +y =c 与双曲线的一

2

2

2

条渐近线交于点 A, 直线 AF 交另一条渐近线与点 B. 若

=

, 则双曲线的离心率为 (



A. 2 B. 3 C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,y= x 与 x +y =c 联立,可得 A(a,b) ,求出 AF 的斜率,利用 B 为线段 FA 的中点,可得斜率之间的关系,即可求出双曲线的离心率.
2 2 2

=



解答: 解:由题意,y= x 与 x +y =c 联立,可得 A(a,b) , ∴AF 的斜率为 ∵ = , ,

2

2

2

∴B 为线段 FA 的中点, ∴OB⊥AF, ∴
2

?(﹣ )=﹣1,

∴e ﹣e﹣2=0, ∵e>1, ∴e=2. 故选:A. 点评: 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题. 8.若不等式(﹣2) a﹣3 是( )
n n﹣1

﹣(﹣2) <0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围

n

A. (1, ) B. ( , ) C. (1, ) D. ( , )

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分类讨论,分离参数求最值,即可求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:n 为偶数时,不等式(﹣2) a﹣3 ∴a< ; n 为奇数时,不等式(﹣2) a﹣3 ∴ .
n n﹣1 n n﹣1

﹣(﹣2) <0 可化为 a>

n

+1,

﹣(﹣2) <0 可化为 a>﹣

n

+1,∴a> ,

故选:D. 点评: 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力,利用分类讨论的数学思想解决数学问题 的能力. 二、填空题(共 7 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 2 9.设全集 U=R,集合 A={x|﹣x ﹣3x>0},B={x|x<m},则?RA= {x|x≥0 或 x≤﹣3} ,若 A?B,则 m 的取值范围为 m≥0 ,若 A∩B=?,则 m 的取值范围为 m≤﹣3 . 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算;交集及其运算. 集合. 根据集合的基本运算进行求解即可. 2 解:A={x|﹣x ﹣3x>0}={x|﹣3<x<0},

则?RA={x|x≥0 或 x≤﹣3}, 若 A?B,则 m≥0, 若 A∩B=?,则 m≤﹣3, 故答案为:{x|x≥0 或 x≤﹣3};m≥0;m≤﹣3 点评: 本题主要考查集合的基本运算和集合关系,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较 基础. 10.已知 x∈[ . . ,π],且 sin(x﹣

)= ,则 cosx= ﹣

,sinx=

,cos2x= ﹣

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式及已知即可解得 cosx,由同角三角函数关系式可求 sinx,由二倍角的余 弦函数公式可求 cos2x 的值. 解答: 解:∵x∈[ ∴可得 cosx=﹣ , sinx=
2

,π],且 sin(x﹣

)=﹣cosx= ,

=

= ﹣1=﹣ . ,﹣ .



cos2x=2cos x﹣1=2× 故答案为:﹣ ,

点评: 本题主要考查了诱导公式,同角三角函数关系式,二倍角的余弦函数公式的应用, 属于基本知识的考查. 11.设集合{(x,y)|(x﹣1) +(x﹣2) ≤10}所表示的区域为 A,过原点 O 的直线 l 将 A 分成两部分,当这两部分面积之差最大时,直线 l 的方程为 x+2y=0 ,此时直线 l 落在区 域 A 内的线段长为 2 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 区域 A 表示一个圆面,根据题意,当这两部分面积之差最大时,直线 l 应该垂直于 直线 OC,用点斜式求得直线 l 的方程,再利用弦长公式求得弦长. 2 2 解答: 解:集合{(x,y)|(x﹣1) +(x﹣2) ≤10}所表示的区域 A 为以 C(1,2)为圆 心、半径等于 的圆面, 当这两部分面积之差最大时,直线 l 应该垂直于直线 OC,而 OC 的斜率为 2,故直线 l 的斜 率为﹣ , 故直线 l 的方程为 y=﹣ x,即 x+2y=0.
2 2

此时,弦心距为 OC=

,故弦长为 2

=2



故答案为:x+2y=0;2 . 点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,弦长公式的应用,判断直线 l 应该垂直于直线 OC,是解题的关键,属于中档题.

12. 已知函数

其中 c>0. 那么 ( f x) 的零点是 ﹣1 和 0



若 f(x)的值域是

,则 c 的取值范围是 0<c≤4 .

考点: 函数的零点;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 分 x 为正数和负数两种情况讨论,分别解方程即可得到么 f(x)的零点.根据二次 函数的图象与性质,求出当 x∈[﹣2,0)时,函数 f(x)的值域恰好是 0≤x≤c 时,f(x)= ,所以当

的最大值不超过 2,由此建立不等式,可解出实数 c 的取值范围. =0,得 x=0;当 x<0 时,令 x +x=0,得 x=﹣1(舍零)
2

解答: 解:当 x≥0 时,令 ∴f(x)的零点是﹣1 和 0
2

∵函数 y=x +x 在区间[﹣2,﹣ )上是减函数,在区间(﹣ ,0)上是增函数 ∴当 x∈[﹣2,0)时,函数 f(x)最小值为 f(﹣ )=﹣ ,最大值是 f(﹣2)=2 ∵当 0≤x≤c 时,f(x)= ∴当 f(x)的值域是 是增函数且值域为[0, , ≤2,即 0<c≤4 ]

故答案为:﹣1 和 0 0<c≤4 点评: 本题给出特殊分段函数,求函数的零点并在已知值域的情况下求参数的取值范围, 着重考查了函数零点的、函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识,属于基础题. 13.已知集合 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立, 则实数 m 最小值是 ﹣3 . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图, 若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立, 则只需要点 B(1,﹣1)满足不等式 x﹣2y+m≥0 成立即可,

则 1+2+m≥0, 即 m≥﹣3 即可, 故实数 m 最小值是﹣3, 故答案为:﹣3

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.注意本题为存在 性问题的求解. 14.若实数 x,y 满足 x+y=6,则 f(x,y)=(x +4) (y +4)的最小值为 144 . 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;整体思想;函数的性质及应用. 分析: 化简 f(x,y)=(x +4) (y +4)=(xy﹣4) +144,从而利用二次函数求最值. 2 2 解答: 解:f(x,y)=(x +4) (y +4) 2 2 2 2 =x ?y +4(x +y )+16 2 2 =(xy) +4[(x+y) ﹣2xy]+16 2 2 =(xy) ﹣8xy+4(x+y) +16, ∵x+y=6, 2 ∴f(x,y)=(xy) ﹣8xy+4×36+16 2 =(xy﹣4) +144≥144; 当 xy=4,即 x=3+ ,y=3﹣ 或 x=3﹣ ,y=3+ 时,等号成立; 故最小值为 144; 故答案为:144. 点评: 本题考查了函数的最值的求法,应用了整体代换的思想,属于中档题. 15.在正四面体 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 是棱 CD 上的一个动点,若直线 MN 与 BD 所成的角为 α,则 cosα 的取值范围是 [ ] .
2 2 2 2 2

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 首先①当 N 点与 C 点重合时,线段 MN 与 BD 所成的角最大,进一步利用解三角 形知识利用余弦定理求出角的余弦值.

②当 N 点与 C 点重合时,线段 MN 与 BD 所成的角最大,直接在△ MBD 中,线段 MD 与 BD 所成角为 30°,求出夹角的余弦值.最后求出角的余弦值的范围. 解答: 解:在正四面体 ABCD 中,M 是 AB 的中点,N 是棱 CD 上的一个动点, 则:①当 N 点与 C 点重合时,线段 MN 与 BD 所成的角最大, 设:正四面体的边长为 2, 取 AD 的中点,连接 MN、NG, 利用勾股定理得:CM= ,

M、G 是 AB 和 AD 的中点,所以:MG=1, 同理解得:CG= , 在△ CMG 中,利用余弦定理得: 即:所成角的余弦值最小为 . ,

②当 N 点与 C 点重合时,线段 MN 与 BD 所成的角最大, 连接 DM,在△ MBD 中,线段 MD 与 BD 所成角为 30°, 所以:cos , . ].

即所成角的余弦值最大为 所以:cosα 的范围为:[ 故答案为:[ ]

点评: 本题考查的知识要点:异面直线的夹角的应用,余弦定理的应用,主要考查学生的 应用能力和空间想象能力. 三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 16.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=6,sinA﹣sinC=sin(A﹣ B) ; (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2 ,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;三角形中的几何计算. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数恒等变换化简已知可得 cosB= ,结合 B 的范围即可解得 B 的值.

(Ⅱ)根据余弦定理可解得 a=2 或 a=4,从而有三角形面积公式即可得解. 解答: 解: (Ⅰ)∵sinA=sinC+sin(A﹣B)=sin(A+B)+sin(A﹣B)=2sinAcosB, ∴cosB= ∴由 0<B<π,即可解得:B=
2 2

…7 分
2

(Ⅱ) 根据余弦定理可得: b =a +c ﹣2accosB, 有 (2 解得:a=2 或 a=4, 当 a=2 时,S△ ABC= acsinB= 当 a=4 时,S△ ABC= acsinB= =3 =6

)=a +6 ﹣12acos

2

2

2

, 即 a ﹣6a+8=0,

2

; …8 分.

点评: 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用,解题时注 意分情况讨论,属于基本知识的考查.

17. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, 且满足 AB∥CD, AD=DC= AB, PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)首先利用中点得到△ BCE 为正三角形,进一步利用勾股定理的逆定理得到线 线垂直,再利用线面垂直的判定定理证得:线面垂直.最后转化成面面垂直. (Ⅱ)首先作出直线与平面的夹角的平面角,进一步利用解直角三角形知识求得结果. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 的中点,连接 CE,则由题意知:△ BCE 为正三角形, 所以:∠ABC=60°, 由等腰梯形知:∠BCD=120°,设 AD=CD=BC=2,则:AB=4,BD=2 , 2 2 2 故:AD +BD =AB ,即得:∠ADB=90°, 所以:AD⊥BD, 又因为:PA⊥平面 ABCD, 所以:PA⊥BD, 则:BD⊥平面 PAD,且 BC?平面 PBD, 所以:平面 PBD⊥平面 PAD. (Ⅱ)在平面 ABCD 中,过点 C 作 CH∥BD 交 AD 的延长线于点 H,

由(Ⅰ)知:BD⊥平面 PAD,所以:CH⊥平面 PAD,连接 PH, 则:∠CPH 即为所求的角. 在 Rt△ CHD 中,CD=2,∠CDH=60°, 所以:CH= , 在 Rt△ PHC 中,PC= 所以:在 Rt△ PHC 中,sin∠CPH= = , . .

即:直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为

点评: 本题考查的知识要点:勾股定理逆定理的应用,现面向垂直的判定和性质定理的应 用,面面垂直的判定定理的应用,线面的夹角的应用.主要考查学生的空间想象能力和应用 能力. 18. 已知数列{an}是各项为正数的等比数列, 数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +5n, 且满足 a4=b14, a6=b126,令 cn=log an(n∈N ) .
* 2

(Ⅰ)求数列{bn}及{cn}的通项公式; (Ⅱ)设 Pn=cb1+cb2+…+cbn,Qn=cc1+cc2+…+ccn,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并说明理由. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +5n,当 n=1 时,b1=6,当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1, 即可得出 bn.设等比数列{an}的公比 q>0,利用 a4=b14=32,a6=b126=256,利用等比数列的 通项公式可得 an,进而得到 cn=log (II) =3(2n+4)﹣2=6n+10. an=3n﹣2(n∈N ) . =3(3n﹣2)﹣2=9n﹣8.利用等差数列的前 n 项和公
* 2

式可得:Pn,Qn.利用“作差法”即可比较出大小. 2 解答: 解: (I)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +5n, 2 2 ∴当 n=1 时,b1=6,当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=n +5n﹣[(n﹣1) +5(n﹣1)]=2n+4,当 n=1 时也成立, ∴bn=2n+4. 设等比数列{an}的公比 q>0, ∵a4=b14=32,a6=b126=2×126+4=256, ∴q =
2

=

=8,q>0,解得 q=2



∴an= ∴cn=log (II)

= an=3n﹣2(n∈N ) . =3(2n+4)﹣2=6n+10.
*

=



=3(3n﹣2)﹣2=9n﹣8. =3n +13n, = .
2

∴Pn=cb1+cb2+…+cbn= Qn=cc1+cc2+…+ccn,= ∴Pn﹣Qn= ,

∴当 n≤10 时,Pn>Qn; 当 n=11 时,Pn=Qn; 当 n>11 时,Pn<Qn. 点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“作 差法”、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.已知抛物线 C:y =2px(p>0)上的点(2,a)到焦点 F 的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与抛物线 C 相切于点 A,且与其准线相交于点 B,问在坐标平面内是否存 在定点 D,使得以 AB 为直径的圆恒过定点 D?若存在,求出点 D 的坐标,若不存在,说 明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ)根据抛物线上的点到焦点 F 的距离求出 p 的值,即可确定出抛物线的方程; (Ⅱ)设动直线 l 方程为 x=ty+b,表示出 B 坐标,联立 l 与抛物线解析式,消去 x 得到关于 y 的方程,根据根的判别式等于 0 得出 t 与 b 的关系式,进而设出 A 与 D 的坐标,表示出向 量 与向量 ,根据圆周角定理得到两向量垂直,即数量积为 0,列出关系式,确定出当
2

m=1,n=0 时,上式对任意 x∈R 恒成立,即可得出使得以 AB 为直径的圆恒过点 D,以及此 时 D 的坐标. 解答: 解: (Ⅰ)由条件得到 =1,即 p=2, 则抛物线的方程为 y =4x; (Ⅱ)设动直线 l 方程为 x=ty+b(t≠0) ,可得 B(﹣1, ) ,
2

联立得:
2



消去 x 得:y =4(ty+b) , 2 2 ∴△=16t +16b=0,即 b=﹣t , 2 设 A(t ,2t) ,D(m,n) ,



=(m﹣t ,n﹣2t) ,

2

=(m+1,n+ ⊥ ,

) ,

∵D 在以 AB 为直径的圆上,∴ ∴ ?
2

=0,即(m﹣t ) (m+1)+(n﹣2t) (n+
2 2 2

)=0,

整理得: (1﹣m)t ﹣3nt+ +(m +m+n ﹣2)=0, 当且仅当 m=1,n=0 时,上式对任意 x∈R 恒成立, 则存在 D(1,0) ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 D. 点评: 此题考查了直线与圆锥曲线的关系,以及抛物线的标准方程,熟练掌握抛物线的简 单性质是解本题第一问的关键. 20.已知函数 f(x)=x ﹣ax﹣a. (Ⅰ)若存在实数 x,使 f(x)<0,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g(x)=|f(x)|,若任意实数 a,存在 x0∈[0,1]使不等式 g(x0)≥k 成立,求实 数 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)配方求出 f(x)的最小值由最小值小于 0 求得实数 a 的范围; (Ⅱ)对 a 分类求出 g(x)在区间[0,1]上的最大值为 M(a) ,然后利用单调性求出函数 M (a)的最小值求得 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x ﹣ax﹣a= 当且仅当 解得 a<﹣4 或 a>0; (Ⅱ)记 g(x)=|f(x)|=| (1)当 |在区间[0,1]上的最大值为 M(a) , 时,存在实数 x 使 f(x)<0,
2 2



时,f(x)在区间[0,1]上递增,且 f(0)=﹣a≥0,

∴当 x∈[0,1]时,g(x)max=f(x)max=f(1)=1﹣2a, (2)当 ,即 0<a≤2 时,f(0)=﹣a<0, }=max{ }. ,∴g(x)max=1﹣2a; ,∴ ; }.

∴g(x)max=max{ ①当 0 1°当 0 2°当 时,g(x)max=max{ 时, 时,

②当 ∴ (3)当

时,g(x)在区间(0, )上递增,在( ;

)上递减,

,即 a>2 时,f(x)在区间[0,1]上递减,且 f(0)=﹣a<0,

∴g(x)max=g(1)=2a﹣1.

综上所述,



由题意可知,k≤M(a)min, 当a 当﹣6+ 时,M(a)为减函数,∴ 时, M (a) 为增函数, ∴ ; ;

当 a≥2 时,M(a)=2a﹣1 为增函数,∴M(a)min=M(2)=3. 综上所述,M(a)的最小值为 ,即 k∈(﹣∞,13﹣4 ]. 点评: 本题考查了恒成立问题, 着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法, 正确的分类是解决该题的关键,解决该题需要考生有清晰的思路,属难度较大的题目.


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