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3-1 不等关系与不等式


3.1 不等关系与不等式 第一课时

远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰

日常生活中

长短

轻重

大小

高矮

数学中,我们用不等式表示不等关系.

长短

轻重

大小

高矮

课题引入
1.下图是限速40km/h的路标,指 示司机在前方路段行驶时,应使 汽车的速度v不超过40km/h ; 速度v与限速 v≤40km/h

2.一块矩形绿地长为a米,宽为b米,且该矩 形不是正方形; a ≠b 矩形的长与宽

3、长度为a,b,c的三条线段能构成三角形。

?a ? b ? c ? 两边之和与第三边 ? a ? c ? b ?b ? c ? a ?

a
c

b

1.不等式的定义:

用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2.初中所学不等式的性质:
①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的 方向不变。 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变。

数学应用
问题1:设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点,则

d与线段AB的关系?

A

d≤|AB|

d

?

B

数学应用
问题2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢?
分析(1)销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少? 用不等式表示为:

x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1 x ? 2.5

8?

(8 ?

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

x ? 2.5 ? 0.2)x万 元 0.1

0.1

? 0 .2

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述 所有不等关系的不等式. 分析: (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根。 根据题意,应当有什么样的不等式呢?

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述 所有不等关系的不等式. 分析:

500x ? 600y ? 4000

(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根。 根据题意,应当有什么样的不等式呢?

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述 所有不等关系的不等式. 分析:

500x ? 600y ? 4000

y ? 3x
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根。 根据题意,应当有什么样的不等式呢?

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述 所有不等关系的不等式. 分析:

500x ? 600y ? 4000

y ? 3x
x≥0,y≥0
假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根。 根据题意,应当有什么样的不等式呢?

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm 和600mm的两种规格。按照生产的要求,600mm的钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述 所有不等关系的不等式. 分析:

500x ? 600y ? 4000

y ? 3x
x≥0,y≥0 上面三个不等关系,是“且”的关系,要同时满足的话, 用不等式组表示:

数学应用
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求, 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍, 写出满足上述所有不等关系的不等式.
?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x,y∈N

考虑到本例的实际意义,还应有x,y∈N 上面三个不等关系,是“且”的关系,要同时满足的话, 用不等式组表示为:

不等式的基本原理 1.数轴的三要素:
原点、长度单位、正方向

2.如何表示数轴上两个点所对数的大小:
数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。
B 。 A 。

b

a

3.A、B是数轴上的两个点,A、B所对的实数分别为a、b, 试比较a-b与0的大小

a>b? a-b>0

a<b ? a-b<0

a=b ? a-b=0

不等式的基本原理

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
" ? " 读作“等价于”,表示 左右可互相推出.

基本原理的应用

例 1.比较(a ? 3)(a ? 5)与(a ? 2)(a ? 4)的大小。
解:(a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)

? (a ? 2a ? 15) ? (a ? 2a ? 8) ? ?7 ? 0 ? (a ? 3)(a ? 5) ? (a ? 2)(a ? 4)
2 2

方法总结:比较两实数大小的方法 (一般的步骤)

作差 →变形 →判断符号 →得出结论

例1

比较x2-x与x-2的大小.

解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2 =(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x > x-2. 作差,变形, 判断

基本原理的应用

例 2.已知 a 、 b 、m 都是正数,且 a ? b , b?m b ? 求证: a?m a
本结论称为 “糖水加糖水更甜原理”

b?m b < a?m a

基本原理的应用

1 1 问:当 a ? b, 且ab ? 0时,比较 与 的大小关系 . a b

1 1 倒数法则:a ? b , ab ? 0 ? ? a b

练习.用不等号填空

(1) a ? b
2

2 ≥ ____

2ab
< ______

(2)( x ? 5)( x ? 7)

( x ? 6)
2

2

(3)( x ? 1)
2

2

< _____

x ? 2x ? 2
4

> (4) x ? x ? 1 _____
2

0

课堂小结

1.不等关系是普遍存在的
2.用不等式(组)来表示不等关系 3.不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 4.作差比较法 步骤:作差,变形,定号,下结论

3.1 不等关系与不等式 第二课时

? 复习:不等式的基本原理

a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
练习.比较a2+b2+3与2(a-b)的大小。 作差比较大小步骤: 作差—变形—判断—结论

概念准备

同向不等式:
在两个不等式中,如果每个不等式的左边都大于 (或小于)右边,这两个不等式就是同向不等式。

异向不等式:
在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于(或 小于)右边,另一个不等式的左边小于(或大于)右边 这两个不等式就是异向不等式。

不等式的性质
性质1.如果 a

? b, 那么 b ? a ; 如果b ? a, 那么 a ? b

(即a ? b ? b ? a)
证明:? a

?b

不等式的对称性

由正数的相反数是负数,得 ?(a 即

?a ? b ? 0

? b) ? 0

b?a?0
?b ? a
后半部分同学们自己证

不等式的性质

性质2.如果 a ? b, 且b ? c, 那么a ? c

?即a ? b, 且b ? c ? a ? c?
? a ? b, b ? c
,0 b ? c ? 0 a?b ?

证明:


不等式的传递性

∵两个正数的和仍是正数


(a ? b) ? (b ? c) ? 0

a?c ? 0


a?c

由性质1知性质2也可表示为如果

c ? b且b ? a

那么

c?a

不等式的性质
性质3.如果

a ? b,那么 a ? c ? b ? c
不等式的可加性

(即a ? b ? a ? c ? b ? c)
证明: ∵


(a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0

a?c ?b?c

从而可得移项法则: 不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到 另一边。

不等式的性质

性质4. 如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
(a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc)
不等式的可乘性

证明:ac-bc=( a-b )c 因为 a >b 所以 a-b>0, 根据同号相乘得正,异号相乘得负,得 当c>0时,(a-b)c>0, 即 ac>bc 当c<0 时,(a-b)c<0, 即 ac<bc

不等式的性质
性质5: 如果

a ? b 且 c ? d ,那么

a?c ?b?d

不等式的同向可加性
a ? b ? a ? c ? b ? c? 证明: ??a?c ?b?d c ? d ? b ? c ? b ? d?
推论:如果

a ? b 且 c ? d ,那么 a ? c ? b ? d

不等式的性质

性质6. 如果 a>b>0, c>d>0,则 ac>bd.
不等式的同向可乘性

a1> b1 >0, a2 > b2 > 0,…..,an > bn> 0 a1 a2……an > b1b2……..bn a1= a2=….=an > 0 , b1 = b2= ……= bn> 0

性质7.如果 a>b>0,那么 an > bn > 0 ( n∈N,n ≥2 )
不等式的乘方法则

不等式的性质

性质8. 如果a>b>0,那么 n a ? n b ? 0
( n∈N,且 n> 1 )
证明:假设
不等式的开方法则

a ?n b 则:若 n a ? n a ?
n

n n

b ?a?b b ?a?b

这都与 a ? b ? 0 矛盾 ∴
n

a? b
n

c c 例 已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证 ? . a b
证明: ? a ? b ? 0,
1 不等式两边同乘以正数 ,得 ab

1 1 1 1 ? ,即 ? , b a a b

? c ? 0,

c c ? ? . a b

c c 例 已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证 ? . a b c c c(b ? a) 证明二: ? ? a b ab ? a ? b ? 0,

? b ? a ? 0, ab ? 0,

c c c c ? c ? 0,? ? ? 0, ? ? . a b a b

课堂练习
? 判断下列各式的真假?为什么? (1) 如果a >b,那么a-c>b-c 真 (2)如果a > b,那么a/c>b/c 假 (3)如果ac<bc,那么a<b 假 (4) 如果ac2 > bc2,那么a>b 真

课堂小结 不等式的性质 性质1 : ( 对称性 ) a ? b ? b ? a

性质 2 : (传递性 ) a ? b, b ? c ? a ? c

性质 3 : (可加性 ) a ? b ? a ? c ? b ? c
性质 4 : (可乘性 ) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc 性质 5 : (同向可加性 ) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 性质 6 : (同向可乘性 ) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 性质 7 : (乘方法则) a ? b ? 0 ? a n ? b n ( n ? N * , n ? 2) 性质 8 : (开方法则)

思考探究
2 思考: 例4:已知函数f ( x) ? ax

? c,?4 ? f (1) ? ?1,

? 1 ? f (2) ? 5, 求f (3)的取值范围 .
? f (1) ? a ? c ?? ? f (2) ? 4a ? c ? a ? c ? f (1) 即? . ?4a ? c ? f (2)

解: ? f ( x) ? ax ? c,
2

1 ? ? a ? 3 [ f (2) ? f (1)] 8 5 解之得? ? f (3) ? 9a ? c ? f (2) ? f (1) 1 ?c ? [ f (2) ? 4 f (1)] 3 3 ? 3 5 5 20 8 8 40 ? ?4 ? f (1) ? ?1,? ? ? f (1) ? , 又 ? ?1 ? f (2) ? 5, ? ? ? f (2) ? . 3 3 3 3 3 3

8 5 把上述两式相加得:? 1 ? f (2) ? f (1) ? 20,即 ? 1 ? f (3) ? 20 3 3


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