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2019人教A版高中数学必修5同步检测第三章3.2第3课时一元二次不等式解法(习题课)



第三章 不等式
3.2 第 3 课时 一元二次不等式及其解法 一元二次不等式解法(习题课)
A级 一、选择题 1.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( A.{x|x>1} C.{x|x≥1 或 x=-2} 解析:(x-1) x+2≥0,
? ?x-1≥0, 所以? 或 x=-2, ?x+2≥0 ?

基础巩固

)

B.{x|x≥1} D.{x|x≤-2 或 x=1}

?x≥1 或 x=-2,故选 C. 答案:C 2.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 ( ) A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

解析:因为 ax2-ax+1<0 无解,当 a=0 的显然正确;
? ?a>0, ? ?a>0, 当 a≠0 时,则? ?? 2 ?0≤a≤4. ? ? Δ ≤0 ? ?a -4a≤0

综上知,0≤a≤4.选 D. 答案:D

3.已知集合 M=?x? 等于( )

? ?x+3

<0?,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1} ? ?x-1 ?

?

A.M∩N C.?R(M∩N)

B.M∪N D.?R(M∪N)

解析:因为 M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3}, 所以 M∪N={x|x<1},故?R(M∪N)={x|x≥1},选 D. 答案:D
? ? 1? 4.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x?x<-1或x>2?,则 ? ? ?

f(10x)>0 的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>lg 2} B.{x|-1<x<lg 2} C.{x|x>-lg 2} D.{x|x<-lg 2}
? ? ?

? ? 1? 解析: 由题意知, 一元二次不等式 f(x)>0 的解集为?x?-1<x<2?.

1 1 而 f(10x)>0,所以-1<10x< ,解得 x<lg ,即 x<-lg 2. 2 2 答案:D 5.对任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒 大于零,则 x 的取值范围是( A.1<x<3 C.1<x<2 ) B.x<1 或 x>3 D.x<1 或 x>2

解析: f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0, a∈[-1, 1]恒成立?(x-2)a +x2-4x+4>0,a∈[-1,1]恒成立.
2 ? ?(x-2)×(-1)+x -4x+4>0, 所以? 2 ?(x-2)×1+x -4x+4>0, ?

解得 3<x 或 x<1.选 B.

答案:B 二、填空题 6.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R,则实数 a 的 取值范围是________.
? 3 ? 答案:?-5,1? ? ?

7.已知关于 x 的不等式

ax-1 <0 的 解 集 是 ( - ∞ , - x+1

? 1 ? 1)∪?-2,+∞?,则 a=________. ? ?

解析:由于不等式

ax-1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?-2,+∞?, ? ? x+1

1 故- 应是 ax-1=0 的根,所以 a=-2. 2 答案:-2 x2 8. 关于 x 的方程 +x+m-1=0 有一个正实数根和一个负实数 m 根,则实数 m 的取值范围是________. x2 解析:若方程 +x+m-1=0 有一个正实根和一个负实根,则 m
?m>0, ?m<0, ? ? 有? 或? ? ?m-1<0, ? ?m-1>0.

所以 0<m<1 或?. 答案:(0,1) 三、解答题 9.已知一元二次不等式(m-2)x2+2(m-2)x+4>0 的解集为 R. 求 m 的取值范围. 解:因为 y=(m-2)x2+2(m-2)x+4 为二次函数,所以 m≠2.

因为二次函数的值恒大于零, 即(m-2)x2+2(m-2)x+4>0 的解 集为 R.
? ?m-2>0, ? ?m>2, 所以? 即? 2 ? ? ?Δ<0, ?4(m-2) -16(m-2)<0, ?m>2, ? 解得:? ?2<m<6. ?

所以 m 的取值范围为{m|2<m<6}. 10.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+3,解关于 a 的不等式 f(1)≥0. 解:f(1)=-3+a(6-a)+3=a(6-a),因为 f(1)≥0,所以 a(6- a)≥0,a(a-6)≤0, 方程 a(a-6)=0 有两个不等实根 a1=0,a2=6, 由 y=a(a-6)的图象,得不等式 f(1)≥0 的解集为{a|0≤a≤6}. B级 能力提升

1.若实数 α,β 为方程 x2-2mx+m+6=0 的两根,则(α-1)2 +(β-1)2 的最小值为( ) 49 4

A.8 B.14 C.-14 D.-

解析:因为 Δ=(-2m)2-4(m+6)≥0, 所以 m2-m-6≥0,所以 m≥3 或 m≤-2. (α-1)2+(β-1)2=α2+β2-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)
? 3?2 49 +2=(2m)2-2(m+6)-2(2m)+2=4m2-6m-10=4?m-4? - , 因 4 ? ?

为 m≥3 或 m≤-2,所以当 m=3 时,(α-1)2+(β-1)2 取最小值 8. 答案:A 2.有纯农药液一桶,倒出 8 升后用水补满,然后又倒出 4 升后 再用水补满,此时桶中的农药不超过容积的 28%,则桶的容积的取 值范围是________.

解析:设桶的容积为 x 升,那么第一次倒出 8 升纯农药液后,桶 内还有(x-8)(x>8)升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度 x-8 4(x-8) 为 .第二次又倒出 4 升药液,则倒出的纯农药液为 升, x x 此时桶内有纯农药液?x-8-
? ?

4(x-8)? ?升. x ?

依题意,得 x-8-

4(x-8) ≤28%·x. x

由于 x>0,因而原不等式化简为 9x2-150x+400≤0, 即(3x-10)(3x-40)≤0. 解得 10 40 ≤x≤ . 3 3 40 . 3

又 x>8,所以 8<x≤
? 40? 答案:?8, 3 ? ? ?

3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两 根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取 值范围. 解:设 f(x)=x2+2mx+2m+1,根据题意,画出示意图,由图 分析可得,

f(0)=2m+1<0, ? ?f(-1)=2>0, m 满足不等式组? f(1)=4m+2<0, ? ?f(2)=6m+5>0.

5 1 解得- <m<- . 6 2


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