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佛山一中2011届高三第一学期10月考试理科数学试卷


佛山一中 2011 届高三第一学期 10 月考试理科数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.若集合 M = { y | y = 3x }, P P { x |xy = 13则? 3}I P =( ) , == x ≥ x M A. { x | x > 1} B. { y | y ≥ 1} C. { y | y > 0} D. {x | x ≥ 0}
?0.3

{

}

?1? 2. 若a = ? ? ?2?
1 x 2

, b = log 4 3 ,c = log 1 5, ,则 b, c , c 的大小关系为( ) a, a b
2

A. b > a > c
3.曲线 y = e A

B. a > b > c

C. c > a > b

D. a > c > b

在点 ( 4, e 2 ) 处的切线方程为( ) B y = e 2 x ? 2e 2 C y = 2e 2 x ? 7 e 2 D y=

y = e 2 x ? 3e 2

1 2 e x ? e2 2

4. 下列说法中错误的命题有( )个 .. 2 1 ○. 命题“若 x ? 3x + 2 = 0 ,则 x = 1 或 x = 2 ”的逆否命题为:“若 x ≠ 1 或 x ≠ 2 ,则

x 2 ? 3x + 2 ≠ 0 ”

1 < 1 ”的充分不必要条件 a 3 ○. 若 p ∨ q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题
2 ○. “ a > 1 ”是“ 4 ○. 若命题 p :“存在 x0 ∈ R, 2 B.2
-x+1
x0

≤ 0”,则 ?p :“对任意的 x ∈ R, 2 x >0”.
C.3 D.4

A.1

5. 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )

6.已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) ,满足 f ( x + 4) = ? f ( x ) ,且在区间上是减函数,则(

)A.

f (11) < f (80) < f ( ?25)
C. f ( ?25) < f (11) < f (80) 7.若 f ( x ) = ?

B. f (80) < f (11) < f ( ?25) D. f ( ?25) < f (80 ) < f (11)

1 2 x + b ln( x + 2)在(-1,+∞ )上是减函数,则实数 b 的 2 ) B. ( ?1, +∞ ) C. ( ?∞, ?1] D. ( ?∞, ?1)

取值范围是( A. [ ?1, +∞ )

8.右图是函数

f ( x) =

x

2

+ ax + b

的部分图像, 则函数 g ( x ) = ln x + f '( x ) 的零点所在的区间是 (

) .

1 1 ( , ) A. 4 2

B. (1, 2)

1 ( ,1) C. 2

D. (2,3)

二﹑填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 y = log 1 (4 + 3x ? x ) 的单调递减区间
2 2

. .

10. 设

?2 ? t x , x≤2 ? f ( x) = ? ?log t ( x 2 ? 1), x > 2 ?

且 f (2) = 1 ,则 f ( f ( 5)) 的值为

11.若函数 f ( x) = x3 ? 12 x + 8在[-3, 上的最大值与最小值分别为M、m,则M-m= 3] ____.

____

4 ,则 k = . 3 2 13 .已知集合 A= x x ? 3x ? 10 ≤ 0 , B = {x m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1}若A I B = B ,则实数 m 的取值范围
12.曲线 y = x 与直线 y = kx ( k > 0) 所围成的曲边图形的面积为
2

{

}



.

⒕四位同学在研究函数 f ( x) =

x ( x ∈ R) 时,分别给出下面四个结论: 1+ x
② 函数 f (x ) 的值域为 (-1,1);

①函数 f (x ) 的图象关于 y 轴对称; ③若 x1 ≠ x 2 , 则一定有 f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ;

④若规定 f 1 ( x) = f ( x) , f n +1 ( x) = f [ f n ( x)] ,则 f n ( x) = 述四个结论中正确的有 证明过程和演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)若函数 f ( x ) = (1)求常数 m 的值及 f ( x ) 的对称中心;

x 对任意 n ∈ N * 恒成立. 你认为上 1+ n x

三、 解答题 (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、

? π? 3 sin 2 x + 2 cos 2 x + m 在区间 ?0, ? 上的最大值为 6, ? 2?

(2)作函数 f (x ) 关于 y 轴的对称图象得函数 f 1 ( x) 的图象,再把 f 1 ( x) 的图象向右平移

π
4

个单位得

f 2 ( x) 的图象,求函数 f 2 ( x) 的单调递减区间.

16.(本小题满分 12 分)已知下列两个命题:

P : 函数 f ( x) = x 2 ? 2mx + 4(m ∈ R) 在 [ 2,+∞ ) 单调递增;
Q : 关于 x 的不等式 4 x 2 + 4(m ? 2) x + 1 > 0 ( m ∈ R ) 的解集为 R ;
若 P ∨ Q 为真命题, P ∧ Q 为假命题,求 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ⊥ 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD = 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ⊥ 平面 PDB ; (3)若

PD = 2 ,求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的锐二面角的大小. AD
P _ E _ N _ D _ C _

A _

B _

18. (本小题满分 14 分)如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距 离 分 别 为 9 m , 3 m . 某 广 告 公 司 计 划 在 此 空 地 上 竖 一 块 长 方 形 液 晶 广 告 屏 幕 MNEF , , MN : NE = 16 : 9 .线段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) 液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2). (1)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域; (2)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

F E D M A P N
(第 18 题图)

C

B

19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c, 且f (1) = ? (1)求证 a > 0且 ? 3 <

a ,3a > 2c > 2b , 2

b 3 <? ; a 4

(2)函数 f (x ) 在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设 x1 , x 2 是函数f ( x)的两个零点, x1 ? x2 的取值范围. 求

⒛(本小题满分 14 分)20. (14 分)设函数 f ( x) = ( x ? 1) 2 + b ln x ,其中 b 为常数. (1)当 b >

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点; (3)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式

1 1 < ln(n + 1) ? ln n < 都成立. 2 n n

佛山一中 2011 届高三第一学期 10 月考试(理数)答案
一选择题 (满分 40 分) BBDBC ACC ; 10 . 8 ; 11 32 ; 二﹑填空题(共 30 分) 9. ? ? 1, ? 13. m m ≤ 3

? ?

3? 2?

12.

2

;

{

}

;

14. ②③④ 1 2 3 4

15 解: f ( x ) =

3 sin 2 x + cos 2 x + 1 + m

) +1+ m 6 π π 7π 1 π Q ≤ 2x + ≤ ∴ ? ≤ sin( 2 x + ) ≤ 1 6 6 6 2 6
∴ m ≤ f ( x) ≤ 3 + m

= 2 sin( 2 x +

π

∴3 + m = 6 ∴m = 3 f ( x) = 2 sin(2 x +

5

π
6

)+4

6

? kπ π ? f ( x ) 的对称中心 ? ? ,4 ? ? 2 12 ?
(2) f ( x ) = 2 sin( 2 x +

k∈Z

8

π
6

)+4
9

f 1 ( x ) = 2 sin( ?2 x +

π
6

)+4 )+

f 2 ( x ) = 2 sin( ?2( x ? ?

π
4

π

π

2 π + 2kπ ≤ 2 x ? π ≤ 2kπ + 2 3 2

2 ) + 4 = ?2 sin( 2 x ? π ) + 4 6 3

10 11

7 ?π ? f 2 ( x) 的单调递减区间是 ? + kπ , π + kπ ? k ∈ Z 12 ?12 ?
16 解:函数 f ( x) = x 2 ? 2mx + 4( m ∈ R ) 的对称轴为 x = m 故 P 为真命题 ? m ≤ 2

12

………2 分 ………4 分 ………6 分 ………8 分 ………10 分 ………12 分

Q为真命题 ? ? = [4(m ? 2)]2 ? 4 × 4 × 1 < 0 ? 1 < m < 3.

Q P ∨ Q为真, P ∧ Q为假,∴ P与Q一真一假.
若 P真Q假 ,则 m ≤ 2 ,且 m ≤ 1或m ≥ 3 ,∴ m ≤ 1 若 P假Q真 ,则 m > 2 ,且 1 < m < 3 ,∴ 2 < m < 3 综上所述,m 的取值范围 m m ≤ 1或2 < m < 3

{

}

17.解: (1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA --------------------------------------------------------------------------------2 分 ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC I BC = C ∴平面 BEC //平面 PDA -------------------------------------------------------------------------------3 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA--------------------------------------------------------------4 分 (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ∵F 为 BD 的中点, ∴ NF // PD 且 NF =

1 PD ,--------------------------6 分 2 1 又 EC // PD 且 EC = PD 2 ∴ NF // EC 且 NF = EC
∴四边形 NFCE 为平行四边形-------------------------7 分

P

E N D F A B C

∴ NE // FC

DB ⊥ AC , PD ⊥ 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD ∴ AC ⊥ PD , 又 PD I BD = D ∴ NE ⊥ 面 PDB --------------------------------------------------------9 分 ∴ AC ⊥ 面 PBD
∵ [证法 2:如图以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示:设该简单组 合体的底面边长为 1, PD = a 则 B (1,1, 0), C (0,1, 0), P (0, 0, a ), E (0,1, ) , N ( , , ) --------------------------------6 分

uuur 1 1 uuu r uuu r ∴ EN = ( , ? , 0) , PB = (1,1, ? a ) , DB = (1,1, 0) 2 2 uuur uuu 1 r 1 ∵ EN ? PB = × 1 ? × 1 ? a × 0 = 0 , 2 2 uuur uuu 1 r 1 EN ? DB = × 1 ? × 1 + 0 × 0 = 0 2 2

a 2

1 1 a 2 2 2

z P

E N D y C

∴ EN ⊥ PB, EN ⊥ DB ---------------------------------8 分 ∵ PB 、 DB ? 面 PDB ,且 PB I DB = B
x

A

B

∴ NE ⊥ 面 PDB ------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)解法 1:连结 DN,由(2)知 NE ⊥ 面 PDB ∴ DN ⊥ NE , ∵

PD = 2 , DB = 2 AD ∴ PD = DB AD

∴ DN ⊥ PB

∴ DN 为平面 PBE 的法向量,设 AD = 1 ,则 N ( , ,

uuur
uuu r

1 1 2 2

2 ) 2

uuur

∴ DN = ( ,

1 1 2 , ) ---11 分 2 2 2

∵ DP 为平面 ABCD 的法向量, DP = (0, 0, 2) ,---------------------------------------------12 分

uuu r

uuur uuu r DN ? DP 1 2 uuu = r ------------------------------------------------13 分 则 cos θ = uuur = 2 | DN | ? | DP | 2
∴ θ = 45o 即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45°--------------------14 分
P

设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 θ ,

[解法 2:延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G,连结 GB, 则 GB 为平面 PBE 与 ABCD 的交线--------------------10 分 ∵ PD = 2 EC ∴ CD = CG = CB ∴D、B、G 在以 C 为圆心、以 BC 为半径的圆上, ∴ DB ⊥ BG -------------------11 分 ∵ PD ⊥ 平面 ABCD , BG ? 面 ABCD A ∴ PD ⊥ BG 且 PD I DB = D ∴ BG ⊥ 面 PDB ∴ BG ⊥ PB ∵ PB ? 面 PDB

E

D

C

G

B

∴ ∠PBD 为平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角------------------------------------13 分 ∵ PD = DB 在 Rt ?PDB 中 ∴ ∠PBD =45°即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45°------------------------14 分 18 解: (1) AM =
3x (10 ≤ x ≤ 30) . x?9

………1 分 ……3 分

F E D M P N
(第 18 题图)

MN 2 = AN 2 + AM 2 = x 2 +

9x2 . ( x ? 9) 2

C

∵ MN : NE = 16 : 9 , ∴ S = MN ? NE =

∴ NE =

9 MN . 16
2

9 9 9x MN 2 = [ x 2 + ]. 16 16 ( x ? 9) 2

……5 分

A

B

定义域为[10,30] . (3) S ′ =

…………6 分

9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] ,………9 分 [2 x + ]= × 16 ( x ? 9) 4 8 ( x ? 9)3

令 S ′ = 0 ,得 x = 0 (舍) x = 9 + 3 3 3 . ,

…………………10 分

当 10 ≤ x < 9 + 3 3 3 时, S ′ < 0, S 关于 x 为减函数; 当 9 + 3 3 3 < x ≤ 30 时, S ′ > 0, S 关于 x 为增函数;…………………12 分 ∴当 x = 9 + 3 3 3 时, S 取得最小值. …………………13 分

答:当 AN 长为 9 + 3 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.…14 分
19 解: (1)

a f (1) = a + b + c ? ,∴ 3a + 2c + 2b = 0 …………………1 分 2

Q 3a > 2c > 2b

∴ 3a > 0,2b < 0 …………………2 分

?3a > 2c = ?3a ? 2b b ? > ?3 …………………3 分 ? a ?a > 0 ?3a > 2b b 3 ? < ? a 2 ?a > 0 ∴ a > 0且 ? 3 < ?2b < 2c = ?3a ? 2b b 3 ? < ? ……………4 分 ? a 4 ?a > 0

b 3 < ? …………………5 分 a 4

(2) f (0) = c, f ( 2) = 4 a + 2b + c = a ? c …………………6 分 1 Q ○当 c > 0时, a > 0 ∴ f (0) = c > 0

f (1) = ?

a < 0 …………………7 分 2

∴函数f (x)在区间(0, 1)内至少有一个零点………………8 分
2 Q ○当 c ≤ 0时, a > 0, f (1) = ? 2 < 0, f (2) = a ? c > 0

a

∴函数f (x)在区间( )内至少有一个零点…………………10 分 1,2
(3) x1 , x 2 是函数f ( x)的两个零点, x1 + x 2 = ? ∴

b a

x1 ? x 2 =

c 3 b = ? ? ……………11 分 a 2 a

∴ x1 ? x 2 = ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =
Q ?3<

b2 3 b b ? ( - ? ) = ( + 2) 2 + 2 ……………12 分 4 2 2 a a a

b 3 <? a 4
57 4

∴ 2 ≤ x1 ? x 2 <

? 57 ? ? …………………14 分 x1 ? x2 的取值范围: ? 2 , 4 ? ? ?

20. 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,+∞ ) ,

1 1 2( x ? ) 2 + b ? b 2x ? 2x + b 2 2 ( x > 0) f ' ( x) = 2 x ? 2 + = = x x x 1 ∴ 当 b > 时, f ′( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 在定义域 (0,+∞ ) 上单调递增. 2
2

…… 1 分 …… 2 分

(2)设 G ( x ) = 2 x 2 ? 2 x + b ,若函数 f ( x ) 的有极值点,则 G(x) =0 有解

? = 4 - 8b > 0;
当b <

∴b <

1 …………………3 分 2
………4 分

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ′( x ) = 0 有两个不同解, x1 = ? , x2 = + 2 2 2 2 2

∴ i ) b ≤ 0 时, x1 =

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? ≤ 0 ? (0,+∞ ),舍去 , 而x 2 = + ≥ 1 ∈ (0,+∞ ) , …5 分 2 2 2 2

此时 f ′( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ′( x ) f ( x)

(0, x2 )

x2

( x2, ∞ ) +

?


0
极小值

+


由此表可知:Q b ≤ 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x = ii) 当0 < b <

1 1 ? 2b , + 2 2

…… 6 分

1 时,0< x1 < x 2 <1 此时, f ′( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: 2

x

(0,x1 )

x1

( x1,x2 )

x2

( x2, ∞ ) +

f ′( x ) f ( x) f ( x ) 有极大值 x1 =
综上所述: 当且仅当 b <

+


0
极大值

?


0
极小值

+


1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 和极小值点 x 2 = + ; ? 2 2 2 2

……8 分

1 时 f ( x ) 有极值点; 2 1 1 ? 2b ; + 2 2

当 b ≤ 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x =

当0 < b <

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x = ? 和一个极小值点 x = + …… 9 分 2 2 2 2 2

(3)由(2)可知当 b = ?1 时,函数 f ( x) = ( x ? 1) 2 ? ln x , 此时 f ( x ) 有惟一极小值点 x =

1 1 ? 2b 1 + 3 + = 2 2 2

x ∈ (0,

1+ 3 1+ 3 )时,f ' ( x) < 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2

1 4 1+ 3 , ≤ < 2 n 3 1 1 1 ∴ 恒有 f(1) > f (1 + ),即恒有 0 > 2 ? ln(1 + ) n n n 1 ∴当 n ≥ 3 时恒有 ln(n + 1) ? ln n > 2 成立 n
Q 当 n ≥ 3 时, < 1 < 1 + 0

令函数 h( x) = ( x ? 1) ? ln x (x > 0)

则 h' ( x) = 1 ?

1 x ?1 = x x

∴ x > 1 时,h' ( x) > 0 ,又h( x)在x = 1处连续 ∴ x ∈ [1,+∞)时h( x)为增函数 1 1 1 1 ∴ h(1 + ) > h(1) 即 ? ln(1 + ) > 0 Qn ≥ 3 时 1 < 1+ n n n n 1 1 ∴ ln(n + 1) ? ln n = ln(1 + ) < n n 1 1 综上述可知 n ≥ 3 时恒有 > ln(n + 1) ? ln n > 2 n n


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