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广东省徐闻县第一中学2014届高三数学11月月考试题 文 新人教A版

2014 届徐闻第一中学高三月测 文科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
1 参考公式:1.锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.函数 y ? 1 ? 2 x 的定义域为集合 A ,函数 y ? ln ? 2 x ? 1? 的定义域为集合 B ,则

A? B ? (
A. ? ?

) B. ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?
) D.30

D. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

开 始 T=0,i=1

2.执行如图的程序框图,则输出的 T 值等于( A.91 B. 55 C.54 3.函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x 是 ( A.奇函数且在 R 上是减函数 C.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是减函数

T=T+i2 i=i+1

) B.奇函数且在 R 上是增函数

i>5? D.偶函数且在 ? 0, ?? ? 上是增函数 ) D.54 结 束 缚




输出 T

4.已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S 9 ? ( A.15 B.24 C.27

3 5.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,则 tan(? ? ? ) 的值是 5 4 3 4 A. B. C. ? 3 4 3
6.函数 f ( x) ? x ? 5 ? 2 A. (0,1)
x ?1

D. ?

3 4

的零点所在的区间是( C. ( 2,3)

) D. (3,4)

B. (1,2)

7.若 a 、 b 为空间两条不同的直线, ? 、 ? 为空间两个不同的平面, 则 a ? ? 的一个充分条件是( A. a // ? 且 ? ? ? C. a ? b 且 b // ? ) B. a ? ? 且 ? ? ? D. a ? ? 且 ? // ?

1

8 某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵 轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 ( ) d d0 d d0 d d0 d d0

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

9.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上, SO ? 底 面 ABC , AC ? A. 4π

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是(
C. 3π D. π



B. 2π

10 有限数列 A=(a1,a2,a3??an) n 为其前 n 项和,定义: ,S

s1 ? s 2 ? s3 ?? sn 为A的 n

“四维光军和”。若有 99 项的数列(a1,a2,a3??a99)的“四维光军和”和 1000,则有 100 项的数列(1,a1,a2,??a99)的“四维光军和”是( ) A.991 B.882 C.981 D.893 二、填空题(本大题共 5 小题,第 14、15 小题任选一道作答,多选的按第 14 小题给分, 共 20 分)

? x ? 1, ? 11.已知变量 x, y 满足 ? y ? 2, 则 z ? x ? y 的最小值是__________. ? x ? y ? 0. ?
12. 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则前 6 项的和 S 6 ?
?

.

13 . 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 △ ABC 的 面 积 为

3 3 ? , a ? 3, B ? ,则 b ? 4 3



14. (坐标系与参数方程)在极坐标中,已知点 P 为方程 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 所表示的曲线 上一动点,点 Q 的坐标为 ( 2,

?
3

) ,则 PQ 的最小值为____________.
C E F

15. (几何证明选讲)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与

?ABC 的两边分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60? ,则

EF ?

. A B

第 15 题图

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最小值; (Ⅱ)若 ? 为锐角,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值.

17、 (本小题满分 12 分) 设递增等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 1 , a 4 是 a 3 和 a 7 的等比中项, (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n .

18(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 如图 5-1 所示,其三视图如图 5-2 所示,其中正视图和侧视图都是 直角三角形,俯视图是矩形. (Ⅰ)求此四棱锥的体积; (Ⅱ)若 E 是 PD 的中点,求证: AE ? 平面 PCD; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若 F 是 PC 的中点,证明:直线 AE 和直线 BF 既不平行也不异面.

19、 (本小题满分 14 分)
2

围建一个面积为 360 m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修) , 其他三面围墙要新建, 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口, 如图所示.已知旧

3

墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此 矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)

(2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.

20(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅲ) 设 g ( x) ? x ? 2 x ? 2 , 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ? ? 0, 1? , 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

21、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项的和为 S n ,点 P?n, S n ? n ? N 上. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式及 S n 的最大值; (Ⅱ)令 bn ? (Ⅲ)设 c n ?

?

? 在函数 f ?x ? ? ? x

2

? 7 x 的图象

2 an n ? N * ,求数列 ?nbn ?的前 n 项的和;

?

?

?7 ? a n ??9 ? a n ?

1

,数列 ?c n ? 的前 n 项的和为 R n ,求使不等式 Rn ?

k 对 57

一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值.
*

4

2014 届徐闻第一中学高三月测答案 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 12. 14. 3 B 63 4 C 5 D 6 C 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题: 11. _2_ 13. 三、解答题:

7

6 2

15.

2

16. 解: f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x
2

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1
π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4
┅┅┅┅┅┅ 3

(Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为

2π ?π, 2
┅┅┅┅┅┅ 7 分

函数 f ( x) 的最小值为 1 ? 2 . (Ⅱ)由 f (? ) ? 2 得 2 sin(2? ? 所以 sin(2? ? ) ? 又因为 ? ? (0, ) ,所以

π ) ?1 ? 2 . 4

π 4

2 . 2

π 2

π π 5π ,┅┅┅┅┅┅ 10 分 ? 2? ? ? 4 4 4

所以 2? ?

π π 3π . 所以 ? ? . ? 4 4 4

┅┅ 12 分

17、解:在递增等差数列 ?a n ? 中,设公差为 d ? 0 ,

?(a ? 3d ) 2 ? 1 ? (a1 ? 6d ) ?a 2 ? a3 ? a7 ?? 1 ┅┅┅┅┅┅ 4 分 ?? 4 a3 ? 1 ? a1 ? 2d ? 1 ?
?a1 ? ?3 ? ? d ?2

解得

┅┅┅┅┅┅

7分

? a n ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5

5

Sn ?

n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2
┅┅┅┅┅┅ 12 分

?所求 a n ? 2n ? 5 , S n ? n 2 ? 4n

18. 解: (Ⅰ)由题意可知,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,其面积

1 1 8 S ABCD ? 2 ? 2 ? 4 ,高 h ? 2 ,所以 VP ? ABCD ? S ABCD ? h ? ? 4 ? 2 ? 3 3 3
(Ⅱ)由三视图可知, PA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? PA ∵ ABCD 是正方形,∴ CD ? AD ∴ CD ? 平面 PAD ,

┅┅┅┅ 4 分

┅┅┅┅┅┅ 5 分

┅┅┅┅┅┅ 6 分

又 PA ? AD ? A , PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ┅┅┅┅┅┅ 7 分 ┅┅┅┅┅┅ 8 分

∵ AE ? 平面 PAD ,∴ AE ? CD

又 ?PAD 是等腰直角三角形,E 为 PD 的中点,∴ AE ? PD ┅┅┅┅┅┅ 9 分 又 PD ? CD ? D , PD ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD ∴ AE ? 平面 PCD . ┅┅┅┅┅┅ 10 分

(Ⅲ)∵ E , F 分别是 PD, PC 的中点,∴ EF // CD 且 EF ? 又∵ CD // AB 且 CD ? AB ,∴ EF // AB 且 EF ? ∴四边形 ABFE 是梯形,

1 CD 2

1 AD 2

┅┅┅┅┅┅ 13 分

AE , BF 是梯形的两腰,故 AE 与 BF 所在的直线必相交。
所以,直线 AE 和直线 BF 既不平行也不异面. ┅┅┅┅┅┅ 14 分 19.解: (1)设矩形的另一边长为 a m, 则 y=45x+180(x-2)+180*2a=225x+360a-360┅┅┅┅┅┅ 3 分

6

360 3602 , ? y ? 225 x ? ? 360 ? x ? 2 ? . ┅┅┅ 由已知 xa ? 360, 得 a ? x x

6分

3602 3602 ? 2 225 x ? ? 10800, ? 2 ?? x ? 2,? 225 x ? x x 3602 3602 ? y ? 225 x ? ? 360 ? 10440.当且仅当225 x ? 时,等号成立. x x 即当x =24m时,修建围墙的总费用最少,最少总费用是10440元.
┅┅┅┅┅┅ 14 分 20.解:(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ?
1 ( x ? 0) , x

┅┅┅┅┅┅ 1 分

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 ┅┅┅┅┅┅ 3 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??)

(Ⅱ) f '( x) ? a ?

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) . ┅┅┅┅┅┅ 8 分 a a

(Ⅲ)由已知,转化为 f ( x) max ? g ( x) max

┅┅┅┅┅┅ 9 分

g ( x) max ? 2

┅┅┅┅┅┅ 10 分

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e ) ? ae ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)
3 3

1 1 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a

7

故 f ( x) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(?a) , ?a

1 e3

┅┅┅┅┅┅ 14 分

21.解: (1)因为点 P?n, S n ? n ? N 所以 S n ? ?n ? 7 n ,
2

?

? 在函数 f ?x ? ? ? x

2

? 7 x 的图象上.

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?2n ? 8 当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 6 满足上式,所以 a n ? ?2n ? 8 .┅┅┅┅┅2 分

7? 49 ? * 又 S n ? ? n ? 7 n ? ?? n ? ? ? ,且 n ? N 2? 4 ?
2

2

所以当 n ? 3 或 4 时, S n 取得最大值 12.┅┅┅┅┅┅ 4 分

(2)由题意知 bn ?

2 ?2 n ?8 ? 2 4 ? n ┅┅┅┅┅┅ 5 分

所以数列 ?nbn ?的前 n 项的和为 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2
3 2

? n ?5

? n ? 2 ? n?4

所以 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?n ? 1? ? 2

1 2

2

?n? 4

? n ? 2 ?n?3 ,┅┅┅┅┅┅ 7 分

相减得 Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 2

1 2

?n? 4

? n ? 2 ?n?3 ,┅┅┅┅┅┅ 8 分

? ? 1 ?n ? 16 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? n ? 2 4? n ? 32 ? ?n ? 2 ? ? 2 4? n n ? N * 所以 Tn ? .┅┅┅┅┅┅ 9 分 1 1? 2

?

?

(3)由(1)得 c n ?

?7 ? a n ??9 ? a n ?

1

?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ┅┅ 10 分 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

8

所以 Rn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?? ? 2 ?1 ? 2n ? 1 ? ┅┅ 12 分 2 ?? ? ? ? ? ?? ? ?

易知 R n 在 n ? N 上单调递增,所以 R n 的最小值为 R1 ?
*

1 3

不等式 Rn ?

1 k k * 对一切 n ? N 都成立,则 ? ,即 k ? 19 .┅┅┅┅┅┅ 14 分 3 57 57

9


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