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2018届高三数学一轮复习:课时作业50 Word版


课时作业 50

圆的方程

一、选择题 1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+y2=5 C.x2+(y+2)2=5 D.(x-1)2+y2=5 解析:因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5 的圆心(-2,0)关于 原点(0,0)对称,所以所求圆的圆心为(2,0),半径为 5,故所求圆的方 程为(x-2)2+y2=5. 答案:B 2.设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则原 点与圆的位置关系是( ) )

A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内 D.不确定 解析:将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,因 为 0<a<1 , 所 以 (0 + a)2 + (0 + 1)2 - 2a = (a - 1)2>0 , 即 ?0+a?2+?0+1?2> 2a,所以原点在圆外. 答案:B 3.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程 是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1

解析:设圆上任一点坐标为(x0,y0),
2 2 x0 +y0 =4,连线中点坐标为(x,y),

? ? ?2x=x0+4 ?x0=2x-4, 则? ?? ?2y=y0-2 ?y0=2y+2, ? ?
2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

答案:A 4.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 解析: 由于圆心在第一象限且与 x 轴相切, 故设圆心为(a,1)(a>0), |4a-3| 又由圆与直线 4x-3y=0 相切可得 5 =1,解得 a=2,故圆的标 准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:A 5. 已知圆 M 的圆心在 x 轴上, 且圆心在直线 l1: x=-2 的右侧, 若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3,且与直线 l2:2x- 5y-4=0 相 切,则圆 M 的方程为( ) )

A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4 解析:由已知,可设圆 M 的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为 r, ?a+2? +? 3? =r , ? ? 得?|2a-4| =r, ? ? 4+5
2 2 2

? ?a=-1, 解得满足条件的一组解为? 所以圆 M 的方程为(x+1)2 ?r=2, ?

+y2=4. 答案:B 2 6.圆心在曲线 y=x (x>0)上,且与直线 2x+y+1=0 相切的面积 最小的圆的方程为( )

A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 2 解析:由圆心在曲线 y=x(x>0)上, 2? ? 设圆心坐标为?a,a?,a>0.
? ?

又圆与直线 2x + y + 1 = 0 相切,所以圆心到直线的距离 d = 2 2a+a+1 5 4+1 2 = 5,当且仅当 2a=a,即 a=1 时取等号,所以圆 5



心坐标为(1,2),圆的半径的最小值为 5,则所求圆的方程为 (x-1)2 +(y-2)2=5. 答案:A 二、填空题 7.如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大 时,该圆的方程为______________. k? ? 3 解析:将圆的方程配方,得?x+2?2+(y+1)2=-4k2+1,∵r2=1
? ?

3 -4k2≤1,∴rmax=1,此时 k=0.故圆的方程为 x2+(y+1)2=1. 答案:x2+(y+1)2=1 8.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段,弧 长比为 1 ? 2,则圆 C 的方程为______________. 2π 解析: 由已知圆心在 y 轴上, 且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 3 , π π 2 设圆心(0,a),半径为 r,则 rsin3=1,rcos3=|a|,解得 r= ,即 3
? 4 3 3 3? 4 r2=3,|a|= 3 ,即 a=± 3 ,故圆 C 的方程为 x2+?y± ?2=3. 3? ? ? 3? 4 答案:x2+?y± ?2=3 3? ?

9.已知圆 O:x2+y2=1,直线 x-2y+5=0 上动点 P,过点 P → → 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则PO· PA的最小值为__________. → 5 解析:圆心 O 到直线 x-2y+5=0 的距离为 = 5,则|PO|min 5 → → → → → = 5.∵PA 与圆 O 相切,∴PA⊥OA,即PA· AO=0,∴PO· PA=(PA+ → → → → → 2 2 AO)· PA=PA =|PO| -|AO|2≥5-1=4. 答案:4 三、解答题 10.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截 距的和为 2,求此圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0,所以 y1+y2=-E.

由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0.① 又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0.② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 则 y2+2=r2,x2+3=r2. ∴y2+2=x2+3,即 y2-x2=1. ∴P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P 的坐标为(x0,y0), 则 |x0-y0| 2 = 2 ,即|x0-y0|=1. 2

∴y0-x0=± 1,即 y0=x0± 1. ①当 y0=x0+1 时, 由 r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3.
? ?x0=0, 2 2 2 2 ②当 y0=x0-1 时, 由 y0-x0=1 得(x0-1) -x0=1, ∴? ? ?y0=-1,
2 2 y0 -x0 =1

得(x0+1)

2

? ?x0=0, 2 -x0=1.∴? ? ?y0=1,



∴r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3.

综上所述,圆 P 的方程为 x2+(y± 1)2=3.

1.已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y= 2-x2相交于 A,B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取到最大值时,直线 l 的倾斜角 为( ) A.150° B.135° C.120° D.不存在 解析: 由 y= 2-x2得 x2+y2=2(y≥0), 它表示以原点 O 为圆心, 以 2为半径的圆的一部分,其图象如图所示.设过点 P(2,0)的直线为 y = k(x - 2) , 则 圆 心 到 此 直 线 的 距 离 d =
? |2k| ?2 2-? 2? =2 ? 1+k ?

|2k| , 弦 长 |AB| = 1+k2 2-2k2 1+k2

2

2-2k2 1 |2k| 所以 S△AOB=2× ×2 2, 1+k 1+k2

?2k?2+2-2k2 1 ≤ =1, 当且仅当(2k)2=2-2k2, 即 k2=3时等号成立. 由 2 2?1+k ?
? 3? 3 图可得 k=- 3 ?k= 舍去?,故直线 l 的倾斜角为 150° . 3 ? ?

答案:A 2.(2017· 邯郸模拟)若△PAB 是圆 C:(x-2)2+(y-2)2=4 的内接 三角形,且 PA=PB,∠APB=120° ,则线段 AB 的中点的轨迹方程为 ( )

A.(x-2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2 C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.x2+y2=1 解析: 设线段 AB 的中点为 D, 则由题意, PA=PB, ∠APB=120° , 所以∠ACB=120° ,因为 CB=2,所以 CD=1,所以线段 AB 的中点 的轨迹是以 C 为圆心,1 为半径的圆,所以线段 AB 的中点的轨迹方 程是:(x-2)2+(y-2)2=1. 答案:A 3.(2017· 安徽合肥第一次质检)存在实数 φ,使得圆面 x2+y2≤4
?π ? 恰好覆盖函数 y=sin? kx+φ?图象的最高点或最低点共三个,则正数 k ? ?

的取值范围是__________.
?π ? 解析:由题意,知函数 y=sin? kx+φ?图象的最高点或最低点一定 ? ? ? 1, ?y=± 在直线 y=± 1 上, 则由? 2 2 得- 3≤x≤ 3.又由题意, 得T ? ?x +y ≤4, ? 3 ? 2π = π =2k,T≤2 3<2T,解得正数 k 的取值范围为? , 3?. ? 2 ? k

答案:?

? 3 ? ? , 3 ?2 ?

4.已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且 y 轴被圆 C 截得 的弦长为 4 3,半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段 AB 为直 径的圆经过坐标原点,求直线 l 的方程.

解:(1)易得直线 PQ 的方程为 x+y-2=0.设圆心 C(a,b),半径 1 3 为 r.由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y-2=x-2,即 y=x-1, 且圆心 C 在该条直线上,所以 b=a-1.① 又因为 y 轴被圆 C 所截得的弦长为 4 3,所以 r2=(a+1)2+(b- 3)2=12+a2.② 由①②得 a=1,b=0 或 a=5,b=4. 当 a=1,b=0 时,r2=13,满足题意; 当 a=5,b=4 时,r2=37,不满足题意. 故圆 C 的方程为(x-1)2+y2=13. (2)设直线 l 的方程为 y=-x+m, A(x1,m-x1),B(x2,m-x2). → → 由题意可知 OA⊥OB,即OA· OB=0, 所以 x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 整理得 m2-m(x1+x2)+2x1x2=0. 将 y=-x+m 代入(x-1)2+y2=13, 可得 2x2-2(m+1)x+m2-12=0, m2-12 所以 x1+x2=1+m,x1x2= 2 ,Δ=-4(m2-2m-25),所以 m2-m· (1+m)+m2-12=0, 解得 m=4 或 m=-3, 经验证均满足 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=-x+4 或 y=-x-3.

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