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人教版高中数学课件 第四册:空间向量基本定理


高中数学
3.空间向量基本定理

杭州实验外国语学校

一.复习平面向量的基本定理 e 如果 e , 是平面内两个不共 线向量,那么对于这一平面内 的任一向量 a ,有且只有一 对实数t1,t2使 a1 ? t1 e1 ? t 2 e 2
1
2

e2 M
a
e1

C 对向量a进行分

解:
OC ? OM ? ON

O

N

? t1 e1 ? t 2 e 2

二、空间向量的基本定理
如果三个向量 a , b , c 不共面, 那么对空间任一向量 ,存在 p 一个唯一的有序实数对 x、y、z, ? ? ? ? ? 使 p ? x a ? y b ? z c思路:作
E A
b O

p
D c B

AB // b , BD // a , BC // c
p ? OB ? BA ? OC ? OD ? OE ? xa ? yb ? zc

C

a

p
C

B

B
'

'

o
A

A

'

p

推论:设点O、A、B、C是不共面的四 点,则对空间任一点P,都存在唯一的有 序实数对 x、y、z使

OP ? x OA ? y OB ? z OC
O P

注:空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底 A 如: a , b , c
C

?

?

P

B

P

例:已知空间四边形OABC,对角线

OB、AC,M和N分别是OA、BC的中点, 点G在MN上,且使MG=2GN,试用基 底 ?OA , OB , OC ? 表示向量 OG
O
M
G

解:在△OMG中,
1

C N

OG ? OM ? MG ? OA ? MN 2 3 1 2 ? OA ? ( ON ? OM ) 2 3
? 1 6 OA ? 1 3 OB ? 1 3 OC

2

A B

练 习 ? ? ? 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底,从
? ? ? a , b , c 中选哪一个向量,一定可以与向量

? ? ? ? ? ? ? ? p?a?b, ?a?b p

构成空间的另一个基底?

? ? 2.如果向量 a , b 与任何向量都不能构成 ? ? 空间的一个基底,那么a , b 之间应有什

么关系?

???? ???? ???? 3.O、A、B、C为空间四点,且向量 OA , OB , OC

不能构成空间的一个基底,那么点O、A、
B、C是否共面?

4.已知空间四边形OABC,点M、N分别是
??? ? ???? ? ? OB 边OA、BC的中点,且 OA ? a , ? b ,
???? ? ? ? ? ? O C ? c ,用 a , b , c
????? 表示向量 M N
O

M C A N B

5.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,且
? ? ? ? ???? ? ???? ? , C ? b , ? ? c ,用a , b , c OO O ???? ???? ???? ? ? 向量:(1) OB ? , BA ? , CA ?;

??? ? ? OA ? a

表示如下

???? (2)OG (点G是侧面BB’C’C的中心)

O/

A/
?O a

? c

C/ B/ G

4 .MN ?
/

1

? b

C

A

B

? ? ? OB ? a ? b ? c ? / ? BA ? c ? b ? ? ? / CA ? a ? b ? c ? 1 ? 1 ? OG ? a ? b ? c 2 2

OB ? OC ? OA 2 2 2

1

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