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2012年高考试题分项版解析数学(理科)专题05 三角函数(教师版)

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一、选择题: 1. (2012 年高考浙江卷理科 4)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像 是

2. (2012 年高考山东卷理科 7)若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? (A)

?? ? ?

3 7

,则 sin ? =

3 4 3 7 (B) (C) (D) 5 5 4 4

【答案】D 【解析】由 ? ? ? , ? 可得 2? ? [ , ? ] , 2 ?4 2?

?? ? ?

?

1 cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? , 8

sin ? ?

1 ? cos2? 3 ? ,答案应选 D. 2 4

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?? ? ? 3 7

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另解:由 ? ? ? , ? 及 sin 2? = 8 ?4 2?

可得

sin ? ? cos? ? 1 ? sin 2? ? 1 ?
?? ? ?

3 7 16 ? 6 7 9?6 7 ?7 7 3 ? ? ? ? , 8 16 16 4 4
3 7

而当 ? ? ? , ? 时 sin ? ? cos ? ,结合选项即可得 sin ? ? , cos? ? .答案应选 D. 4 4 ?4 2? 3.(2012 年高考辽宁卷理科 7)已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

4.(2012 年高考天津卷理科 2)设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函 数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.(2012 年高考天津卷理科 6)在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知

8b =5c , C =2 B ,则 cosC=

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(A)

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7 25
(D)

7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

24 25

6.(2012 年高考上海卷理科 16)在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的 形状是( ) B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

A.锐角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理,得

a b c ? sin A, ? sin B, ? sin C , 代入得到 a 2 ? b2 ? c2 , 2R 2R 2R

由余弦定理的推理得 cos C ? 故选择 A.

a 2 ? b2 ? c 2 ?0, 所以 C 为钝角, 所以该三角形为钝角三角形. 2ab

【考点定位】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构 来选择定理,如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就 选择余 弦定理.本题属于中档题. 7.(2012 年高考新课标全国卷理科 9)已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 调递减。则 ? 的取值范围是( )

?

) 在 ( , ? ) 上单 4 2

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

8. (2012 年高考江西卷理科 4)若 tan ? +

1 =4,则 sin2 ? =( tan ?



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A.

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1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

9.(2012 年高考安徽卷理科 8)在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时 针旋转

??? ?

???? 3? 后,得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( 4



( A) (? 7 2? ,

2 ( B ) (?7 2, 2) )

(C ) (?4 6, ?2)

( D) (?4 6, 2)

10. (2012 年高考湖南卷理科 6)函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6
3 ] 2

A. [ -2 ,2] 【答案 】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

【 解 析 】 f ( x ) =sin x-cos(x+

? 3 1 ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , ) ? sin x ? 6 2 2 6

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? sin( x ? ) ? ? ?1,1? ,? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6

?

? ) 【 考 点 定 位 】 利 用 三 角 恒 等 变 换 把 f ( x ) 化 成 A s i n (x ? ? 的 形 式 , 利 用
s i n (x ? ? ?)?? ?
,求得 ?1 , 1 f ( x) 的值域.

11. (2012 年高考湖南卷理科 7)在△ABC 中,AB =2,AC=3, AB?BC = 1 则 BC ? ___ . ( A. 3 )
]

??? ??? ? ?

[中

B. 7

C. 2 2

D. 23

12. (2012 年高考陕西卷理科 9) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若

a2 ? b2 ? 2c2 ,则 cos C 的最小值为(
(A)



3 2

(B)

2 2

(C)

1 2

(D) ?

1 2

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14.(2012 年高考全国卷理科 7)已知α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos2α = 3

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

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2

15. (2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 5) 设 tan ? , tan ? 是 方 程 x ? 3x ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 则

tan( ? ? ) ? 的值为
(A)-3 【答案】 A 【解析】 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2, tan(? ? ? ) ? 二、填空题: (B)-1 (C)1 (D)3

tan ? ? tan ? ? ?3 . 1 ? tan ? tan ?

? ?? 4 ? 1. (2012 年高考江苏卷 11)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 6? 5 12 ?
▲ .

2.(2012 年高考北京卷理科 11)在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ?

1 ,则 b=_______。 4

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3. (2012 年高考福建卷理科 13)已知 ?ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大 角的余弦值为_________。 【答案】 ?

2 4

【解析】设 ?ABC 三边为 a ? m, b ? 2m, c ? 2m , 则可得 ?C 所对的边最大, 且 cosC ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2. 2ab

【考点定位】本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用. 4.(2012 年高考浙江卷理科 15)在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ?AC =______________.
??? ??? ? ?

5.(2012 年高考山东卷理科 16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位 置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位 于(2,1)时, 的坐标为______________。

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6. (2012 年高考湖北卷理科 11)设△ABC 的 内角 A, C, B, 所对的边分别是 a, c.若 b, (a+b-c) (a+b+c)=ab,则角 C=______________.

[来源:Zxxk.Com]

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7. (2012 年高考湖南卷理科 15)函数 f(x)=sin ( ? x ? ? ) 的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为 图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为 图像的最低点. (1) ? ? 若

?
6

, P 的坐标为 点 (0,

3 3 )则? ? , 2

;

(2)若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一 点,则该点在△ABC 内的概率为
[来源:Zxxk.Com]

.

8.(2012 年高考上海卷理科 3)函数 f ( x) ?

2    x cos 的值域是 sin x  1 ?

.

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9.(2012 年高考全国卷理科 14)当函数 y ? sin x ? 3 cos x (0? x ? 2 )取得最大值时, ?

x?
【答案】 x ?

.

5? 6

[来源:学#科#网]

【 解 析 】 函 数 为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

) , 当 0 ? x ? 2? 时 ,

?

?
3

? x?

?
3

?

5? 以x ? . 6

5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值,所 3 3 2 6

【考点定位】本试 题主要考查了三角函数性质的运用,求解值 域的问题.首先化为单一三角 函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. 10.(2012 年 高 考 重 庆 卷 理 科 13) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 则 c ? 5 13

三、解答题: 1. (2012 年高考广东卷理科 16)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(? x ? (1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

)(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为10?

?
2

] , f (5? ?

5? 6 5? 16 ) ? ? , f (5? ? ) ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 3 5 6 17

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2. (2012 年高考江苏卷 15) (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5

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3.(2012 年高考北京卷理科 15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递增 区间。

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4. (2012 年高考湖北卷理科 17)(本小题满分 12 分)
s 已 知 向 量 a ? ( c o? x ? s ?n i x , ? x n b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设 函 数 si , )

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2
(1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图像经过点 (

?
4

, 0) ,求函数 f(x)在区间 [0,

3? ] 上的取值范围. 5

5. (2012 年高考福建卷理科 17)(本小题满分 13 分)

[来源:学科网 ZXXK]

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都 等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;
2 0 2 0 0 0

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2 0 2 0 0

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0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ; (3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin 2 (?130 ) ? cos2 480 ? sin(?18)0 cos480 ; (5) sin 2 (?250 ) ? cos2 550 ? sin(?25)0 cos550 。 (I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

6.(2012 年高考浙江卷理科 18) (本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
2 为 a,b ,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

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7.(2012 年高考山东卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2x) ( A ? 0) , 函数 f ( x) ? m ? n 的最大

2

值 为 6. (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩

??

短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 [0, 5? ]

2

24

上的值域.

8.(2012 年高考辽宁卷理科 17) (本小题满分 12 分)

[来源:学§科§网]

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列.

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(Ⅰ)求 cos B 的值;

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(Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

9.(2012 年高考新课标全国卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

10.(2012

年 高 考 天 津 卷 理 科

15) ( 本 小 题 满 分

13 分 ) 已 知 函 数

f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期;

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(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

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? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

11. (2012 年高考江西卷理科 17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。已知 A ? (1)求证: B ? C ? (2)若 a ?

?

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 4

?

?

2 ,求△ABC 的面积。

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12.(2012 年高考安徽卷理科 16) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

(I)求函 数 f ( x ) 的最小正周期;

gx (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , g ( ? ) ? ( ) 有 x 2
求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式.

?

, 且当 x ? [0,

?
2

] 时, g ( x) ?

1 ? f ( x) , 2

13. (2012 年高考四川卷理科 18) (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 6 cos
2

?x
2

?

3 cos x? ? ? ? 3(

0) 在一个周期内

的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与 x 轴的交点, 且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ )求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域;

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(Ⅱ )若 f ( x0 ) ?

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10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3 5

14. (2012 年高考陕西卷理科 16)(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 轴之间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称

? , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

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(Ⅱ)设 ? ? (0,

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?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

15.(2012 年高考全国卷理科 17)(本小题满分 10 分) ........... (注意:在试卷上作答无效)

?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2c ,
求C .

16. (2012 年高考重庆卷理科 18)(本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ? x ? ? 4 cos(? x ?

?
6

) sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

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(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域 (Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

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? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值。 , ? 2 2? ?

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