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初高中函数知识点总结大全


初高中函数知识点总结大全 正比例函数 形如 y=kx (k 为常数,k≠0)形式,y 是 x 的正比例函数。 1.定义域:R(实数集) 2.值域:R(实数集) 3.奇偶性:奇函数 4.单调性: 当 k>0 时,图像位于第一、三象限,y 随 x 的增大而增大(单调递增); 当 k<0 时,图像位于第二、四象限,y 随 x 的增大而减小(单调递减)。 一次函数 一、定义与定义式: 自变量 x 和因变量 y 有如下关系:y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函 数。 特别地,当 b=0 时,y 是 x 的正比例函数。即:y=kx (k 为常数,k ≠0) 一次函数与正比例函数的识别 方法:若 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数,特 别的,当 b=0 时,一次函数就成为 y=kx(k 是常数,k≠0),这 时, y 叫做 x 的正比例函数, 当 k=0 时, 一次函数就成为若 y=b, 这时,y 叫做常函数。 ☆A 与 B 成正比例?A=kB(k≠0) 二、一次函数的性质:
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1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例, 比值为 k, 即: y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数) 2.当 x=0 时,b 为函数在 y 轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下 3 个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以做出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次 函数的图像只需知道 2 点,并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点) 2.性质: (1)在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式:y=kx+b。 (2) 一次函数与 y 轴交点的坐标总是 (0, b), 与 x 轴总是交于 (-b/k, 0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b 与函数图像所在象限: 当 k>0 时,直线必通过一、三象限,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,直线必通过二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 当 b>0 时,直线必通过一、二象限; 当 b=0 时,直线通过原点 当 b<0 时,直线必通过三、四象限。 特别地,当 b=0 时,直线通过原点 O(0,0)表示的是正比例函数 的图像。
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这时,当 k>0 时,直线只通过一、三象限;当 k<0 时,直线只通过 二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点 A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点 A、B 的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点 P(x,y),都满足等式 y=kx+b。 所以可以列出 2 个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② (3)解这个二元一次方程,得到 k,b 的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间 t 一定,距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。 设水池中原有水量 S。g=S-ft。 六、常用公式: 1.求函数图像的 k 值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点:|y1-y2|/2 4.关于点的距离的问题 方法:点到 x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到 y 轴的距离用横 坐标的绝对值表示; 任意两点 A( xA , yA ), B( xB , yB ) 的距离为 ( xA ? xB )2 ? ( y A ? yB )2 ;
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若 AB∥x 轴,则 A( xA ,0), B( xB ,0) 的距离为 xA ? xB ; 若 AB∥y 轴,则 A(0, yA ), B(0, yB ) 的距离为 yA ? yB ; 点 A( xA , yA ) 到原点之间的距离为 xA2 ? y A2 点的坐标 方法: x 轴上的点纵坐标为 0,y 轴上的点横坐标为 0; 若两个点关于 x 轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相 反数; 若两个点关于 y 轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相 反数; 若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标 也互为相反数; ☆一次函数 y=kx+b(k≠0)中 k、b 的意义: k(称为斜率)表示直线 y=kx+b(k≠0) 的倾斜程度; b (称为截距) 表示直线 y=kx+b (k≠0) 与 y 轴交点的 也表示直线在 y 轴上的 。 ,

☆同一平面内,不重合的两直线 y=k1x+b1(k1≠0)与 y=k2x+b2(k2 ≠0)的位置关系: 当 当 时,两直线平行。当 时,两直线相交。当 时,两直线垂直。 时,两直线交于 y 轴上同一点。

☆特殊直线方程: X轴 : 直线
4

Y轴 :

直线

与 X 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 待定系数法求解析式

与 Y 轴平行的直线 二、四象限角平分线

方法:依据两个独立的条件确定 k,b 的值,即可求解出一次函数 y=kx+b(k≠0)的解析式。 ☆ 已知是直线或一次函数可以设 y=kx+b(k≠0) ; ☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 平移 方法:直线 y=kx+b 与 y 轴交点为(0,b) ,直线平移则直线上的点 (0,b)也会同样的平移,平移不改变斜率 k,则将平移后的点代入 解析式求出 b 即可。 直线 y=kx+b 向左平移 2 向上平移 3 <=> y=k(x+2)+b+3;( “左加右 减,上加下减” ) 。 交点问题及直线围成的面积问题 方法: 两直线交点坐标必满足两直线解析式, 求交点就是联立两直线解 析式求方程组的解; 复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形 (三角形) ; 往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高; 二次函数 I.定义与定义表达式
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一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大,则抛物线的开口越小。)则称 y 为 x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h) 2+k [抛物线的顶点 P(h,k)] 交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与 x 轴有交点 A(x? ,0)和 B(x ?,0)的抛物线]注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a

III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中做出二次函数 y=x2 的图像,可以看出,二次函 数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯 一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当Δ= b2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。
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|a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 a b>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 a b<0),对称轴在 y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于(0,c) 6.抛物线与 x 轴交点个数 Δ= b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ= b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ= b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c, 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax2+bx+c=0 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数 y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c(各式中, a≠0)的图像形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下 表: 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 顶点坐标 (0,0) (h,0)
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对 称 轴 x=0 x=h

y=a(x-h) 2+k y=ax2+bx+c

(h,k) (-b/2a,[4ac-b2]/4a)

x=h x=-b/2a

当 h>0 时, y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线 y=ax^2 向右平行移动 h 个 单位得到, 当 h<0 时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当 h>0,k>0 时, 将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位, 再向上移动 k 个单位,就可以得到 y=a(x-h)2 +k 的图象; 当 h>0,k<0 时, 将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位, 再向下移动 |k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 当 h<0,k>0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动 k 个 单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 当 h<0,k<0 时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个 单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象; 因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,通过配方,将一般式化 为 y=a(x-h)2+k 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体 位置就很清楚了.这给画图像提供了方便. 2.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像:当 a>0 时,开口向上,当 a<0 时开口向下, 对称轴是直线 x=-b/2a, 顶点坐标是(-b/2a, [4ac-b2]/4a). 3.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),若 a>0,当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增 大而减小; 当 x ≥ -b/2a 时, y 随 x 的增大而增大. 若 a<0, 当 x ≤ -b/2a 时,y 随 x 的增大而增大;当 x ≥ -b/2a 时,y 随 x 的增大而减小. 4.抛物线 y=ax2+bx+c 的图像与坐标轴的交点:
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(1)图像与 y 轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b2-4ac>0,图像与 x 轴交于两点 A(x?,0)和 B(x?,0),其 中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?| 当△=0.图像与 x 轴只有一个交点; 当△<0.图像与 x 轴没有交点. 当 a>0 时,图像落在 x 轴的上方,x 为任何实数时,都有 y>0; 当 a<0 时,图像落在 x 轴的下方,x 为任何实数时,都有 y<0. 5.抛物线 y=ax2+bx+c 的最值:如果 a>0(a<0),则当 x= -b/2a 时, y 最小(大)值=(4ac-b2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的 取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值 时,可设解析式为一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶 点式:y=a(x-h) 2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图像与 x 轴的两个交点坐标时,可设解析式为 两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0). 7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综 合题目。 因此, 以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题, 往往以大题形式出现.
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重要知识:(a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口方向向下。IaI 还可以决定开口大 小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。) 二次函数表达式的右边通常为二次。x 是自变量,y 是 x 的二次函数。 一元二次方程求根公式 当 b2-4ac>0 时 当 b2-4ac=0 时 x1=x2=-b/2a ①一般式折叠

y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
②顶点式折叠 [抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)2+k(a,h,k 为常数,a≠0) ③交点式折叠 [仅限于与 x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物 线]:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2 为常数,a≠0) 3 种形式的转化∶ ①一般式和顶点式 对于二次函数 y=ax2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a),即
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h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a
②一般式和交点式

x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
抛物线的性质折叠 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0,〔即 b=0〕时,P 在 y 轴上;当Δ= b2-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线开口向上;当 a<0 时,抛物线开口向下。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 a b>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 a b<0),对称轴在 y 轴右。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。
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抛物线与 y 轴交于(0,c) 6.抛物线与 x 轴交点个数

Δ= b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ= b2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。 Δ= b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。X 的取值是虚数(x= -b±√ b2-4ac /2a 乘上虚数 i,整个式子除以 2a)
当 a>0 时,函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=〔4ac-b2〕/4a; 在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向 上;函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变 当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴,这时,函数是偶函数,解析式 变形为 y=ax2+c(a≠0) 7.定义域:R 值域:(对应解析式,且只讨论 a 大于 0 的情况,a 小于 0 的情况请读 者自行推断)①[(4ac-b2)/4a,正无穷);②[k,正无穷) 8.奇偶性:非奇非偶 (当且仅当 b=0 时,函数解析式为 f(x)=ax2+c, 此 时为偶函数) 周期性:无 解析式: ①y=ax2+bx+c[一般式]
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⑴a≠0,a、b、c 为常数。 ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下; ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b2)/4a); ⑷Δ=b-4ac, Δ>0,图象与 x 轴交于两点:([-b+√Δ]/2a,0)和([-b-√Δ]/2a,0); Δ=0,图象与 x 轴交于一点:(-b/2a,0); Δ<0,图象与 x 轴无交点; ②y=a(x-h)2+k[配方式] 此时,对应极值点为(h,k),其中 h=-b/2a,k=(4ac-b2)/4a; 二次函数的性质折叠 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a≠0), 当 y=0 时,二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程), 即 ax2+bx+c=0(a≠0) 此时,函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点 的横坐标即为方程的根。 反比例函数 1. 定义:一般地,形如 y ? ( k 为常数, k ? o )的函数称为反比例 函数。 y ? 还可以写成 y ? kx ?1
k x k x

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2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k (也叫做比例系数 k ) ,分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ⑵比例系数 k ? 0 ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的 数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线)
k ? 0) y ? ( k 为常数, ⑵反比例函数的图像是双曲线, 中自变量 x ? 0 ,

k x

函数值 y ? 0 ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分 逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 y ? x 或 y ? ? x ) 。 ⑷反比例函数 y ? ( k ? 0 ) 中比例系数 k 的几何意义是: 过双曲线 y ? ( k ? 0 )上任意引 x 轴 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k 。 4.反比例函数性质如下表:
k 的取值

k x

k x

图 像 所 在 象 函数的增减性 限

k ?o

一、三象限

在每个象限内, y 值随 x 的增大而减
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k?o

二、四象限

在每个象限内, y 值随 x 的增大而增 大

5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或 图像上一个点的坐标即可求出 k ) 6. “反比例关系”与“反比例函数” : 成反比例的关系式不一定是反比例函 数,但是反比例函数 y ? 中的两个变量必成反比例关系。 7.在反比例函数 y ? 中, 当 K>0 时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数 当 K<0 时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 8.反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 9.对于双曲线 y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/ (x±m)m 为常数),就相当于将双曲线图像向左或右平移一个单位。 (加一个数时向左平移,减一个数时向右平移) 10. 反比例函数的应用 对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为 . 底 .N 的对数,记作:x ? loga N ( a ——底数,N — 真数,loga N — 对 数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○
k x k x

loga N
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3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ 指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b

底数 指数 (二)对数的运算性质
M ? 0, N ? 0, 如果 a ? 0 , 且 a ? 1, 那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○

对数

2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M ○ 注意:换底公式
loga b ? logc b logc a
(n ? R) .

M

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a b n ? n log a b ; (2) loga b ?
m

m

1 . logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .
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注意: 1 对数函数的定义与指数函数类似, 都是形式定义, 注意辨别。 ○ 如:y ? 2 log2 x ,y ? log
5

x 5

都不是对数函数, 而只能称其为对数型函数.

2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图像都过定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图像都过定点(1,0)

对数函数的一般形式为 ,它实际上就是指数函数的反函数。因此指 数函数里对于 a 的规定,同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形,因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于 0 的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1,0)这点。

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(4)a 大于 1 时,为单调递增函数,并且上凸;a 小于 1 大于 0 时, 函数为单调递减函数,并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其 中 n >1,且 n ∈ N *. 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r r ?s (1) a · a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ;

r s rs (2) (a ) ? a r r s (3) (ab) ? a a

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.
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2、指数函数的图像和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图像都过定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图像都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图像还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 指数函数的一般形式为 , 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道, 要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域, 则只有使得不同大小影响 函数图形的情况。 可以看到: (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合, 这里的前提是 a 大于 0, 对于 a 不大于 0 的情况, 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间, 因此我们不予考虑。
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(2) 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调 递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律,就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过 程中(当然不能等于 0),函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正 半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴 的负半轴的单调递增函数的位置。 其中水平直线 y=1 是从递减到递增 的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交。 (7) 函数总是通过(0,1)这点。 (8) 显然指数函数无界。 函数奇偶性 注图:(1)为奇函数(2)为偶函数 1.定义 一般地,对于函数 f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数 f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x) 同时成立, 那么函数 f(x)既是奇函数又是偶函数, 称为既奇又偶函数。
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(4)如果对于函数定义域内的任意一个 x,f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都 不能成立,那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶 函数。 说明: ①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不 关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析: 判断函数的奇偶性, 首先是检验其定义域是否关于原点对称, 然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 f(x)比较得出 结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征: 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图像关于 y 轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数的图像关于原点对称 点(x, y)→(-x,-y) 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算

(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
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(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 函数定义域 (高中函数定义) 设 A,B 是两个非空的数集, 如果按某个确定的 对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A--B 为集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y=f(x),x 属于集合 A。其中,x 叫作自变量,x 的取值范围 A 叫 作函数的定义域; 函数值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域 ,在 数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 常用的求值域的方法 (1)化归法; (2)图像法(数形结合), (3)函数单调性法, (4)配方法, (5)换元法, (6)反函数法(逆求法), (7)判别式法, (8)复合函数法,
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(9)三角代换法, (10)基本不等式法等 关于函数值域误区 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中, 实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强 化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造 成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定 义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随 时处于互相转化之中 (典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互 转化)。如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易 的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶 性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确 答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践 证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的 理解,从而深化对函数本质的认识。 “范围”与“值域”相同吗? “范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常 将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值 的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只 是满足某个条件的一些值所在的集合 (即集合中的元素不一定都满足 这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值 域”。
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