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【数学】2.3.1《离散型随机变量的均值》公开课教案(新人教A版选修2-3)

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 教材分析 本节课的主要学习任务是从平均的角度引入离散型随机变量均值的该念,本节课是在学 生学习完离散型随机变量及其分布列的概念基础上, 进一步研究离散型随机变量取值特征的 一个方面。 学习本节课的内容既是随机变量分布列内容的深化, 又是后续内容离散型随机变 量方差的基础,所以学好本节课是进一步学习离散型随机变量取值特征的其它方面的基础。 离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的一个数字特征, 是从一个侧 面刻画随机变量取值的特点。 学情分析: 本节课的核心是理解概念。在本节课之前,学生已有平均值、概率、离散型随机变量及其 分布列等基础知识,具备了学习本节知识的知识储备。本节课是一节概念新授课,教材从学 生熟悉的平均值出发, 从身边的实际问题中抽象出了离散型随机变量均值的概念, 这需要一 定的概括和抽象能力,鉴于学生的概括、抽象能力不是太强,因此学生对概念的形成和理解 会有一定的困难。 教学目标: 知识与技能: 了解离散型随机变量的均值或期望的意义, 会根据离散型随机变量的分布列 求出均值或期望. 过程与方法:理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,以及“若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np”.能熟 练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人 文价值。 教学重点:离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:略 教学过程: 一、1、情境引入 在一次考试后, 如果要对比两个班的成绩好坏, 我们通常会先比什么?平均数是日常生活中 常见的数字特征,我们今天这节课继续来研究平均数的问题。 问题 1:如果你期中考试各门成绩为:90、80、77、68、85、92;那你的平均成绩是多少? 问题 2:如果要统计全班 30 人的平均分,假设某次数学考试中,得 90 分的有 3 人,得 85 分的有 6 人,得 75 分的有 12 人,得 65 分的有 6 人,得 60 分的有 3 人,计算全班同学数学 成绩的平均成绩。
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此时的这种平均数,我们把它叫做加权平均。在计算加权平均数时,我们根据 每个数据所占的比重不同,在它的前面所乘的系数也不同,这个系数称为权。
师:回头看问题 1,能用类似的方法理解吗? 思考:某超市为了促销,将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理? (假设混合糖果中每一颗糖果的质量都相等) 师:因此这里的合理价格也是我们刚才所说的加权平均。 师:如果你实际去买 1kg 这种混合糖果,你要付多少钱?而你买的糖果的实际价值刚好是 23 元吗?为什么?

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2、概念形成 接下来我们就从概率的角度来理解这个平均价格。 师:刚才我们认为混合糖果的合理单价为 23 元。那么也就是说无论买多少糖果,都应该按 23 元/kg 来计算。如果我买一颗糖,那是不是也应该按 23 元/kg 来收费呢? 师:取到的这颗糖真实单价是 23 元吗? 师:你随机取的这颗糖单价是确定的吗? 师:如果设单价为随机变量 X,那么 X 可能取值是多少? 师: 这个式子中的 1/2,1/3 ,1/6 还能表示比例吗?那他的含义是什么? 师:事实上我们得到了 X 的分布列为: X P 18 1/2 24 1/3 36 1/6

师:这个分布列与刚才的定价有什么关系? 答:假设分布列为: 合理单价=18× p1 +24× p2 +36× p3 P (P1) (P2) (P3) =X1P1+X2P2+X3P3 师:这时候,由这个式子算出来的值就是离散型随机变量 X 的均值,也就是我们这节课所 要研究的主要内容。(板书课题) 师:你能给离散型随机变量的均值下一个定义吗? 1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 X ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn 18(X1) 24(X2) 36(X3)

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? 为 ξ 的均值或数学期望,简称期望. 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平 均水平
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3. 平均数均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ?

? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ?
称为平均数、均值
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1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又 n n

4. 均值或期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机 变量,它们的分布列为 ξ η P x1 x2 ? ? ? xn

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn ? ? = a( x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? pn ? ?)

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= aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5.若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np 证明如下: ∵ ∴
k k k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn pq , 0 0 n 1 1 n ?1 2 2 n?2 k k n?k E ? ? 0 × Cn p q + 1 × Cn p q + 2 × Cn p q +?+ k × Cn p q +?+ n ×

n n 0 Cn p q .

又∵

k kCn ?k?

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!



1 1 n?2 0 0 n? 1 k ?1 k ?1 ( n?1)?( k ?1) E? ? np( Cn + ? + Cn + ? + q ?1 p ?1 p q + C n ?1 p q

n ?1 n ?1 0 Cn q ) ? np( p ? q) n?1 ? np . ?1 p



若 ξ ~B(n,p),则 E? ? np.

三、讲解范例: 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ? 的期望
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例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成, 每个选择题有 4 个选项, 其中有且仅有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分 学生甲 选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学 生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
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解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ? ,? ,则 ? ~ B (20,0.9),? ~ B(20,0.25) ,

? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5

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由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5? 他们在测验中的成绩的期望分别是:

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所以,

E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 18 ? 90, E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 5 ? 25

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四.课堂练习 P64-65 练习 1,2,3,4 五、小结 :(1) 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤:①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值;

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②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ (aξ +b)= aEξ +b,以及服从二项分布的随机变量的期望 Eξ =np 六、课后作业: P69 A 组 1,2,3 七、板书设计(略) 八、教学反思:
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公式 E

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