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2012届高考考前60天冲刺--空间向量和立体几何(理数)


2012 届高考数学(理)考前 60 天冲刺【六大解答题】 空间向量与立体几何专练
1.如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, , 底面所成的角为 (I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥 ,侧棱 ,点 F 为 D C 1 的中点. ; 的体积. ,棱 AA1 与

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形

ABCD 是菱形, AC ? 6 , BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一
点. (1) 求证: AC ? DE ; (2) 当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,证明 EC ? 平面 PAB .

P

E D C

A
3.如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD,E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2. (1)求证:BC⊥PC; (2)求证:EF//平面 PDC; (3)求三棱锥 B—AEF 的体积。 4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC; D

B

E C A

·M

4 2 2 2 B 左视图 俯视图

5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,?BAC ? 30 , BM ? AC 交 AC 于点 M,
0

EA ? 平面 ABC , FC ? EA ,AC=4,EA=3,FC=1.
(I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值.

∥B ° C C, ? ? 6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P AC 中 AB A 9 PD?平面 ? BD D , 0

B? 3, B 4. A C ,A B D C? D?1, A ⑴求证: B D? P C ; ?? ? ? ?? ?? (2)设点 E 在棱 P C 上, P ? P ,若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值. E ?C
A

P E D C

AB ? EC ? 2,
AE ? BE ? 2 , O 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: EO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

B

9.在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 都是边长为 2的等边三角形,AB=2,O,D 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:OD∥平面 PAC; (2)求证:PO⊥平面 ABC; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

11 如图所示,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 2 ,平面 ABC1 ? 平面 A1 ACC1 , 又 ?AA1C1 ? ?BAC1 ? 60? , AC1 与 AC 相交于点 O . 1 (Ⅰ)求证: BO ? 平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)求 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值;
A A1 O B B1

C C
1

12.如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相垂直, F 为 BC 的中 点, ?BAC ? ?ACD ? 90? , AE ∥ CD , DC ? AC ? 2 AE ? 2 .[ (Ⅰ)求证:平面 BCD ? 平面 ABC ;来源 (Ⅱ)求证: AF ∥平面 BDE ; (Ⅲ)求四面体 B ? CDE 的体积.

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC; D

E C A

·M

4 2 2 2 B 左视图 俯视图

15.如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接 EF. (1)求证:PC⊥面 AEF; (2)若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G(图中未标出点 G),求多面体 P—AEFG 的体积。

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P
2 2 2

D
4 2 2

2 4

A B

C
4

正(主)视图

侧(左)视图

18.
P
2 2 2

D
4 2 2

2 4

A B

C
4

正(主)视图

侧(左)视图

17.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, ?PAD 是正三角形, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , E , F , G 分别是 PD, PC, BC 的中点. (I)求平面 EFG ? 平面 PAD ; (II)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.

18.如图,在梯形 ABCD 中,

AB / /CD , AD ? DC ? CB ? 2 , ?CAB ? 30 ? , 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 3 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)设点 M 为 EF 中点, 求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.

F M E

H
D
C
F

19.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ?DEF ? 900 . (Ⅰ)求证:BE//平面 ADF;

(第 20 题) (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为 何值时,三棱锥 F -BDE 的体积为 3 ?
D A B

A

B

E C

21. 已知正四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 2 .M 为线段 PC 的中点. (Ⅰ) 求证:PA∥平面 MDB; (Ⅱ) N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 MBD 所成角的正切 值. A N D

P M C

B (第 20 题)

22.如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 120 ? ,

E 为线段 CC1 的中点, F 为线段 BD1 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)当
A1

D1

C1

B1

D1 D 的比值为多少时, DF ? 平面 D1EB , AD
D A

E

F

并说明理由.
C

B

? EF ? 面D1EB, D1B ? 面D1EB, EF ? D1B ? F ,? DF ? 平面D1EB .
23.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

24.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

25.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

26. 如图:在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=3,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,过 点 A1 作 A1O⊥平面 BCD,垂足 O 恰好落在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)求直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值. 27.如图的几何体中, AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; B E (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE . A

C F 28 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示. D

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 30.如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直, AB ?

2 , AF ? 1 ,

M 是线段 EF 的中点。
(1)求异面直线 CM 与直线 AB 所成的角的大小; (2)求多面体 EFABCD 的表面积。

31.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体 积 32.如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC, AD=2BC, 沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角, 连结 PC、 PD,在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED,连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD;
?

(2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

P

A

D

A E
图2

D

B

C

B

C

33.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90°, AC ? AB ? AA1 , 中点. (Ⅰ)求异面直线 AE 与 A1C 所成的角; (Ⅱ)若 G 为 C1C 上一点,且 EG ? A1C ,求二面角 A1 ? AG ? E 的大 小. 解法一: ( Ⅰ ) ∴ 异 面 直 线 AE 与 A1C 所 成 的 角 为

E 是 BC 的

? . ……………………………6 分 3
(Ⅱ) ∴所求二面角 A1 ? AG ? E 为 ? ? arctan 5 . 34.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

35.如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩 形,PA=AB=1, AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动。 ⑴求三棱锥 E-PAD 的体积; ⑵当 E 点为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的 位置关系,并说明理由; ⑶证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF。

P

F A D

B

E

C

36.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD 上平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD =2AD =8,AB =2DC = 4 5 。 (I)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PAB 的体积


侧棱


, , ,棱 AA1 与底面所成的角为 ; 的体积. ,点 F 为 D C 1 的中点.

1. 如图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

(I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥

解:(I)?四边形 ABCD 为菱形且 AC ? BD ? O ,

?O 是 BD 的中点 .
又 点

....................2 分

F



DC1







,

?



?DBC1





OF // BC1 ,

...................................4 分

? OF ? 平 面 BCC1 B1 , BC1 ? 平 面
BCC1 B1 , ? OF // 平面 BCC1 B1 . ..........6 分
(II)?四边形 ABCD 为菱形,

? BD ? AC , 又 BD ? AA1 ,
AA1 ? AC ? A, 且 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 ,

?BD ? 平面 ACC1 A1 , ? BD ? 平面 ABCD ,

? 平面 ABCD ? 平面 ACC1 A1 .


......................8

在平面 AC1 内过 A1 作 A1M ? AC于M ,则 A1M ? 平面ABCD ,

? ?A1 AM
?A1 AM ? 60? .



A1 A

















................................10 分
?

在 Rt ?AA1M中, A1M ? A1 A ? sin 60 ? 2 3 , 故三棱锥 C1 ? BCD 底面 BCD 上的高为 2 3 ,又 S?BCD ? 所以,三棱锥 C1 ? BCD 的体积 V ?

1 BC ? CD ? sin 60 ? ? 3 , 2

1 1 S?BCD ? h ? ? 3 ? 2 3 ? 2. . 3 3 2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 , BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点. (1) 求证: AC ? DE ; P (2) 当 ?AEC 面积的最小值是 9 时, 证明 EC ? 平面 PAB .

E D
.解: (1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因 为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD 。 又因为 PD ? 平面 ABCD ,AC ? 平 面 PDB

C

A

B

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ? DE ------------------------------ 7 分 (2)连 ED .由(I),知 AC ? 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ? EF .

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ? PB . 2 1 S?ACE ? 9, ? 6 ? EF ? 9 ,解得 EF ? 3 -------------------10 分 2 由 PB ? EF 且 PB ? AC 得 PB ? 平面 AEC , 则 PB ? EC , 又由 EF ? AF ? FC ? 3 得 EC ? AE ,而 PB ? AE ? E ,故 EC ? 平面 PAB -S?ACE ?
3.如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PD⊥平面 ABCD,E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2. (1)求证:BC⊥PC; (2)求证:EF//平面 PDC; (3)求三棱锥 B—AEF 的体积。

解证:(Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形 ∴BC ? DC 又 PD ? 面 ABCD, BC ? 面 ABCD ∴BC ? PD, 又 PD ? DC=D ∴BC ? 面 PDC 从而 BC ? PC--------------------4分 (Ⅱ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则 EG // ∴四边形 EFGD 是平行四边形。 ∴EF//GD, 又 EF ? 平 PDC, 面 DG ? 平 P D C 面 ∴EF//平面 PDC.…………………---------------------8分 (Ⅲ)取 BD 中点 O,连接 EO,则EO//PD, ∵PD⊥平面 ABCD, ∴EO⊥底面 ABCD, EO ? 1

1 BC, 以 GE //DF . 所 2

1 1 1 1 ------------12 分 VB ? AEF ? VE ? ABF ? S? ? OE ? ? ? 2 2 ? 1 ? ABF 3 3 4 3
4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC;

(Ⅰ)∵EA ? 平面 ABC,∴EA ? AB,又 AB ? AC, ∴AB ? 平面 ACDE

………………6 分 1 ∵M 为 BD 的中点, ∴MG∥CD 且 MG= CD,于是 MG∥AE,且 MG=AE, 2 所以四边形 AGME 为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面 ABC 5.如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,?BAC ? 30 , BM ? AC 交 AC 于点 M,
0

EA ? 平面 ABC , FC ? EA ,AC=4,EA=3,FC=1.
(I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的二面角的余弦值.

??EMF ? 90? ,即 EM ? MF (也可由勾股定理证得). ?MF ? BM ? M , ? EM ? 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ? EM ? BF . ………………………………………………………………………………6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ? BG ,连结 FH . 由(1)知 FC ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ? FC ? BG . 而 FC ? CH ? C ,? BG ? 平面 FCH .

? FH ? 平面 FCH , ? FH ? BG , ??FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的
二面角的平面角. ……………………8 分 在 Rt ?ABC 中,? ?BAC ? 30? , AC ? 4 ,

? BM ? AB ? sin 30? ? 3 .


FC GC 1 ? ? ,得 GC ? 2 . EA GA 3

?

GC ? BM 2 ? 3 GC CH ? ? 1. ,则 CH ? ? BG BG BM 2 3

??FCH 是等腰直角三角形, ?FHC ? 45? .
?平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 . 2

∥B ° C C, ? ? 6.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P AC 中 AB A 9 PD?平面 ? BD D , 0

B? 3, B 4. A C ,A B D C? D?1, A ⑴求证: B D? P C ; ?? ? ? ?? ?? (2)设点 E 在棱 P C 上, P ? P ,若 DE ∥平面 PAB ,求 ? 的值. E ?C
A
2 (1)证明:由题意知 DC ? 2 3, 则 B B C D , C 2 DBD = ?2 D ,C ? ? B

P E D C

?DC P? D D ? ? ? P 面而 A D , B , C P D D , D B ?
? .P C ? B C面 P D ? 内 ------------- 6 分 ? 面 PB PC , D 在D D ? C .
(2) 过 D 作 D F // A B 交 B C 于 F 连结 E F , ∵ D F ∥ A B ,∴ D F ∥平面 PAB . 又∵ D E ∥平面 PAB ,∴平面 DEF ∥平面 PAB ,∴ E F ∥ A B . 又∵ A 1 ? F, DB 4 ? ? C, , B1 ∴

??? 1 ??? ? ? PE BF 1 1 ? ? , ∴ PE ? PC ,即 ? ? . PC BC 4 4 4
, ,

7.图,棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, 侧棱 (I)证明:OF//平面 (II)求三棱锥 ,棱 AA1 与底面所成的角为 ; 的体积.

,点 F 为 D C 1 的中点.

解:(I)?四边形 ABCD 为菱形且 AC ? BD ? O ,

?O 是 BD 的中点 .

....................2 分





F



DC1







,

?



?DBC1





OF // BC1 ,

...................................4 分

? OF ? 平 面 BCC1 B1 , BC1 ? 平 面
BCC1 B1 , ? OF // 平面 BCC1 B1 . ..........6 分
(II)?四边形 ABCD 为菱形,

? BD ? AC , 又 BD ? AA1 ,
AA1 ? AC ? A, 且 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A1 ,

?BD ? 平面 ACC1 A1 , ? BD ? 平面 ABCD ,

? 平面 ABCD ? 平面 ACC1 A1 .


......................8

在平面 AC1 内过 A1 作 A1M ? AC于M ,则 A1M ? 平面ABCD ,

? ?A1 AM
?A1 AM ? 60? .



A1 A

















................................10 分
?

在 Rt ?AA1M中, A1M ? A1 A ? sin 60 ? 2 3 , 故三棱锥 C1 ? BCD 底面 BCD 上的高为 2 3 ,又 S?BCD ? 所以,三棱锥 C ? BCD 的体积 1

1 BC ? CD ? sin 60 ? ? 3 , 2

1 1 V ? S?BCD ? h ? ? 3 ? 2 3 ? 2. 3 3
o

8.已知四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 60 , AB ? EC ? 2,

AE ? BE ? 2 , O 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: EO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到面 AEC 的距离.

(I)证明:连接 CO

Q AE ? EB ? 2, AB ? 2 ? AEB 为等腰直角三角形 V Q O 为 AB 的中点 ? EO ? AB, EO ? 1 ……………………2 分
又 Q AB ? BC, ?ABC ? 60 ? ACB 是等边三角形 V
o

? CO ? 3 ,………………………………4 分 又 EC ? 2, ? EC 2 ? EO 2 ? CO 2 ,即? EO ? CO ? EO ? 平面 ABCD ……………………6 分
(II)设点 D 到面 AEC 的距离为 h

Q AE ? 2, AC ? EC ? 2

? SV AEC ?

7 …………8 分 2

Q SV ADC ? 3 , E 到面 ACB 的距离 EO ? 1
Q VD ? AEC ? VE ? ADC

? SV AEC ? h ? SV ADC ? EO
?h ? 2 21 7

………………………………10 分

?点 D 到面 AEC 的距离为

2 21 7

9.在三棱锥 P-ABC 中,△PAC 和△PBC 都是边长为 2的等边三角形,AB=2,O,D 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:OD∥平面 PAC; (2)求证:PO⊥平面 ABC; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.

(1)? O, D 分别为 AB, PB 的中点,∴ OD ∥ PA

又 PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC ∴ OD ∥平面 PAC .………………………4 分 (2)如图,连结 OC

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
∴ OC ⊥ AB , OC ? 1 . 同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 .………………6 分 又 PC ?

2 ,∴ PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 ,∴ ?POC ? 90? .

∴ PO ⊥ OC .? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,

? PO ⊥平面 ABC .…………………………………………………………………8 分 (3)由(2)可知 OP 垂直平面 ABC ∴ OP 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 OP ? 1 1 1 1 1 VP ? ABC ? S? ABC ? OP ? ? ? 2 ?1?1 ? . 3 3 2 3
11 如图所示,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 2 ,平面 ABC1 ? 平面 A1 ACC1 , 又 ?AA1C1 ? ?BAC1 ? 60? , AC1 与 AC 相交于点 O . 1 (Ⅰ)求证: BO ? 平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)求 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值; 【解】(Ⅰ)由题知 AC ? AA1 ? 2 , ?AA1C1 ? 60? , 所以 ?AA1C1 为正三角形,所以 AC1 ? 2 ,………………1 分 又因为 AB ? 2 ,且 ?BAC1 ? 60? 所以 ?BAC1 为正三角形,………………………2 分 又平行四边形 A1 ACC1 的对角线相交于点 O ,所以 O 为 AC1 的中点, 所以 BO ? AC1 …………………………3 分 又平面 ABC1 ? 平面 A1 ACC1 ,且平面 ABC1 ? 平面 A1 ACC1 ? AC1 ,…………4 分 且 BO ? 平面 BAC1 ………………………………5 分 所以 BO ? 平面 A1 ACC1 …………………………6 分 (Ⅱ)〖解法一〗连结 A1B 交 AB1 于 E ,取 AO 中点 F ,连结 EF , AF , 1

则 EF ? BO ,又 BO ? 平面 A1 ACC1 所以 EF ? 平面 A1 ACC1 , EF ? AF ,……7 分 所以直线 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角为 ?EAF .…………8 分 而在等边 ?BAC1 中, AB ? 2 ,所以 BO ? 3 , EF ? 同理可知, A1O ? 3, A1 F ?

3 , 2

3 , 2

7 ………………10 分 4 10 EF 30 所以 Rt ?EFA 中, AE ? EF 2 ? AF 2 ? , sin ?EAF ? . ? 2 AE 10 30 所以 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为 .……………12 分 10
在 ?AA1 F 中, AF 2 ? AA12 ? A1 F 2 ? 2 AA1 ? A1F cos30? ? 〖解法二〗由于 BB1 ? CC1 , BB1 ? 平面 A1 ACC1 ,所以 BB1 ? 平面 A1 ACC1 ,……7 分 所以点 B1 到平面 A1 ACC1 的距离即点 B 到平面 A1 ACC1 的距离, 由 BO ? 平面 A1 ACC1 ,所以 B1 到平面 A1 ACC1 的距离即 BO ,…………………8 分 也所以 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为 sin ? ? 而在等边 ?BAC1 中, AB ? 2 ,所以 BO ? 3 , 同理可知, A1O ? 3 ? OC ,所以 BC ? BO 2 ? OC 2 ? 6 , B1C1 ? 6 ………10 分 又易证 OC1 ? 平面 BA1C ,所以 OC ? BC , 也所以 OC ? B1C1 , AB1 ? B1C12 ? AC12 ? 10 ………………………11 分 所以 sin ? ?

BO ,…………………9 分 AB1

BO 3 30 ? ? AB1 10 10

即 AB1 与平面 A1 ACC1 所成角的正弦值为

30 . 10

12.如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相垂直, F 为 BC 的中 点, ?BAC ? ?ACD ? 90? , AE ∥ CD , DC ? AC ? 2 AE ? 2 .[ (Ⅰ)求证:平面 BCD ? 平面 ABC ;来源 (Ⅱ)求证: AF ∥平面 BDE ;

(Ⅲ)求四面体 B ? CDE 的体积.

解: (Ⅰ)∵面 ABC ? 面 ACDE ,面 ABC ? 面 ACDE ? AC , CD ? AC , ?? ?? ?? 2 分 ∴ DC ? 面 ABC , 又∵ DC ? 面 BCD ,∴平面 BCD ? 平面 ABC . ?? ?? 4 分 (Ⅱ)取 BD 的中点 P ,连结 EP 、 FP ,则 FP 又∵ EA

1 DC , 2

1 DC ,∴ EA FP , ?? ?? ?? ?? ?? 6 分 2 ∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴ AF ∥ EP , 又∵ EP ? 面 BDE 且 AF ? 面 BDE ,∴ AF ∥面 BDE . ?? 8 分 (Ⅲ)∵ BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE = AC , ∴ BA ? 面 ACDE . ∴ BA 就是四面体 B ? CDE 的高,且 BA =2. ?? ?? ?? 10 分 ∵ DC = AC =2 AE =2, AE ∥ DC , 1 1 ∴ S梯形ACDE ? (1 ? 2) ? 2 ? 3, S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ∴ S?CDE ? 3 ? 1 ? 2, ∴ VE ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . 3 3
13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示。 (Ⅰ)求该几何体的体积; (Ⅱ)求证:EM∥平面 ABC;

(Ⅰ)∵EA ? 平面 ABC,∴EA ? AB,又 AB ? AC, ∴AB ? 平面 ACDE

………………6 分

1 ∵M 为 BD 的中点, ∴MG∥CD 且 MG= CD,于是 MG∥AE,且 MG=AE, 2 所以四边形AGME为平行四边形,∴EM∥AG, ∴EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 是 菱 形 ,

AB ? 2, ?BAD ? 60? .(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ;
(Ⅱ)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD. 所以BD⊥平面PAC. (Ⅱ)设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO= 3 .

如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O—xyz,则 P(0,— 3 ,2),A(0,— 3 ,0),B(1,0,0),C(0, 3 ,0). 所以 PB ? (1, 3 ,?2), AC ? (0,2 3 ,0).

设PB与AC所成角为 ? ,则

cos ?

PB ? AC | PB | ?| AC |

?

6 2 2?2 3

?

6 4

.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BC ? (?1, 3 ,0). 设P(0,- 3 ,t)(t>0),则 BP ? ( ?1,? 3 , t ) 设平面PBC的法向量 m ? ( x, y, z ) ,则 BC ? m ? 0, BP ? m ? 0

?? x ? 3 y ? 0, ? 6 6 ? m ? (3, 3 , ) ?? x ? 3 y ? tz ? 0 y ? 3 , x ? 3, z ? t . t 所以 ? 令 则 所以
6 n ? (?3, 3 , ) t

同理,平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,所以 m ? n =0,即

?6?

36 ?0 t2

解得 t ?

6 所以PA= 6

EF=

1 2 BD ? a 4 4

SE=

5 EF 10 a (10 分) sin ?ESF ? ? 2 SE 10

15.如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥面 ABCD,PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接 EF. (1)求证:PC⊥面 AEF; (2)若面 AEF 交侧棱 PD 于点 G(图中未标出点 G),求多面体 P—AEFG 的体积。

解析: (1)证明:?PA⊥面 ABCD,BC 在面内,∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面 PAB, 又∵AE 在面 PAB 内∴ BC⊥AE?AE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面 PBC 又∵PC 在面 PBC 内 ?AE⊥PC, ?AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面 AEF.………5 分 (2)PC⊥面 AEF, ∴ AG⊥PC, ?AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面 PDC, ∵GF 在面 PDC 内 ∴AG⊥GF?△AGF 是直角三角形,由(1)可知△AEF 是直角三角形, AE=AG= 2 ,EF=GF=

6 3 3 ∴ S AEF ? , S AGF ? 又 3 3 3

AF=

2 6 2 3 2 3 1 2 3 2 3 4 ? ? ,PF= ∴ S AEFG ? ,∴ VP ? AEFG ? ? 3 3 3 9 3 3 3

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , D 为侧棱 PC 上一点,它的 正(主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明: AD ? 平面 PBC ; (2)求三棱锥 D ? ABC 的体积; (3)在 ?ACB 的平分线上确定一点 Q ,使得 PQ∥平面 ABD ,并求此时 PQ 的长.
P
2 2 2

D
4 2 2

2 4

A B

C
4

正(主)视图

侧(左)视图

18.
P
2 2 2

D
4 2 2

2 4

A B

C
4

正(主)视图

侧(左)视图

解:(1)因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC , 又 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AD . 由三视图可得,在 ?PAC 中, PA ? AC ? 4 , D 为 PC 中点,所以 AD ? PC , 所以 AD ? 平面 PBC ,…………4 分

(2)由三视图可得 BC ? 4 , 由⑴知 ?ADC ? 90? , BC ? 平面 PAC , 又三棱锥 D ? ABC 的体积即为三棱锥 B ? ADC 的体积,
1 1 1 16 所以,所求三棱锥的体积 V ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? .…………8 分 3 2 2 3

(3)取 AB 的中点 O ,连接 CO 并延长至 Q ,使得 CQ ? 2CO ,点 Q 即为所求.

P D

A
O Q

C B

因为 O 为 CQ 中点,所以 PQ ∥OD , 因为 PQ ? 平面 ABD , OD ? 平面 ABD ,所以 PQ∥平面 ABD , 连接 AQ , BQ ,四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 所以 ACBQ 为平行四边形,所以 AQ ? 4 ,又 PA ? 平面 ABC , 所以在直角 ?PAD 中, PQ ? AP 2 ? AQ 2 ? 4 2 .…………12 分 17.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, ?PAD 是正三角形, 平面 PAD ⊥平面 ABCD , E , F , G 分别是 PD, PC, BC 的中点. (I)求平面 EFG ? 平面 PAD ; (II)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.

(I)证明:? AD ? CD, PD ? CD , ∴ CD ? 平面 PAD, ………(6 分) ∵EF//CD,∴ EF ? 平面 PAD, ∵ EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG ? 平面 PAD; (II)解:∵CD//EF,∴CD//平面 EFG,故 CD 上的点 M 到平 面 EFG 的距离 等于 D 到平面 EFG 的距离,∴ VM ? EFG ? V D ? EFG ,

S ?EFG ?

1 ? EF ? EH ? 2 ,平面 EFGH ? 平面 PAD 于 EH, 2

∴D 到平面 EFG 的距离即三角形 EHD 的高,等于 3

2 3 . 3 18.如图,在梯形 ABCD 中, AB / /CD , AD ? DC ? CB ? 2 , ?CAB ? 30 ? , 四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 3 . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACFE ; (Ⅱ)设点 M 为 EF 中点, 求二面角 B ? AM ? C 的余弦值.
∴ V M ?EFG ?

(1)证明: AD ? DC ? CB ? 2, ?ABC ? 60
2 2 2

?

则 AB ? 4 , AC ? 12 ,则得 AB ? AC ? BC

2

? BC ? AC ,? 面 ACEF ? 平面 ABCD ,
面 ACEF ? 平面 ABCD ? AC

? BC ? 平面 ACEF .

……7 分

(II)过 C 作 CH ? AM 交 AM 于点 H ,连 BH , 则 ?CHB 为 二 面 角 B ? AM ? C 的 平 面 角 , 在 RT?BHC 中 , CH ? 3, HB ? 13 ,

3 13 3 13 ,则二面角 B ? AM ? C 的余弦值为 . 13 13 0 19.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ?DEF ? 90 . cos ?CHB ?
(Ⅰ)求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为 何值时,三棱锥 F -BDE 的体积为 3 ? 解(Ⅰ)过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE//DF,所以四边形 CEMD 是平行四边形.可得 EM = CD 且 EM //CD, 于是四边形 BEMA 也是平行四边形,所以有 BE//AM,而直线 BE 在平面 ADF 外,所以 BE//平 面 ADF. ——————6 分
0 (Ⅱ)由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ?MFE ? 30 .

由 ?DEF ? 90 可得 FD = 4,从而得 DE = 2.————8 分
0

因为 BC ? CD , BC ? FD ,所以 BC ? 平面 CDFE. 所以, VF ? BDE ? VB ? DEF ? 因为 S?DEF ? 综上,当 BC ?

1 S?DEF ? BC . 3

————10 分

1 3 DE ? EF ? 2 3 , VF ? BDE ? 3 ,所以 BC ? . 2 2

3 时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 . 2
0

20.如图,FD 垂直于矩形 ABCD 所在平面,CE//DF, ?DEF ? 90 . (Ⅰ)求证:BE//平面 ADF; (Ⅱ)若矩形 ABCD 的一个边 AB = 3 ,EF = 2 3 ,则另一边 BC 的长为

何值时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 ? 解(Ⅰ)过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M,连接 AM. 因为 CE//DF,所以四边形 CEMD 是平行四边形.可得 EM = CD 且 EM //CD,于是四边形 BEMA 也是平行四边形,所以有 BE//AM,而直线 BE 在平面 ADF 外,所以 BE//平面 ADF. ——————6 分 (Ⅱ)由 EF = 2 3 ,EM = AB = 3 ,得 FM = 3 且 ?MFE ? 300 . 由 ?DEF ? 90 可得 FD = 4,从而得 DE = 2.————8 分
0

因为 BC ? CD , BC ? FD ,所以 BC ? 平面 CDFE. 所以, VF ? BDE ? VB ? DEF ? 因为 S?DEF ? 综上,当 BC ?

1 S?DEF ? BC . 3

————10 分

1 3 DE ? EF ? 2 3 , VF ? BDE ? 3 ,所以 BC ? . 2 2

3 时,三棱锥 F-BDE 的体积为 3 . 2

21. 已知正四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 2 .M 为线段 PC 的中点. (Ⅰ) 求证:PA∥平面 MDB; (Ⅱ) N 为 AP 的中点,求 CN 与平面 MBD 所成角的正切 值. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和推 理论证能力。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:在四棱锥 P-ABCD 中,连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OM,PO.由条件可得

PO= 2 ,AC=2 2 ,PA=PC=2,CO=AO= 2 .
因为在△PAC 中,M 为 PC 的中点,O 为 AC 的中点, 所以 OM 为△PAC 的中位线,得 OM∥AP, 又因为 AP ? 平面 MDB,OM ? 平面 MDB, 所以 PA∥平面 MDB. …………6 分 (Ⅱ) 解:设 NC∩MO=E,由题意得 BP=BC=2,且∠CPN=90°. 因为 M 为 PC 的中点,所以 PC⊥BM, 同理 PC⊥DM,故 PC⊥平面 BMD. 所以直线 CN 在平面 BMD 内的射影为直线 OM,∠MEC 为直线 CN 与平面 BMD 所成的角, 又因为 OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC. 在 Rt△CPN 中,CP=2,NP=1,所以 tan∠PNC= 故直线 CN 与平面 BMD 所成角的正切值为 2 22.如图,已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 120 ? ,

CP ?2, NP

E 为线段 CC1 的中点, F 为线段 BD1 的中点.
A1

D1

C1

B1

E

F

(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABCD ; (Ⅱ)当

D1 D 的比值为多少时, DF ? 平面 D1EB , AD

并说明理由.

(Ⅰ)证明:连接 A, C1 ,由题意可知点 F 为 AC1 的中点.? 因为点 E 为 CC1 的中点.

?在 ?ACC1 中, EF ? AC .……………………………………………………………2分
又? EF ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD ,? EF ?面ABCD .……………………6分 (Ⅱ)当

D1 D ? 3 时, DF ? 平面D1EB . ………………………………………7分 AD

?四边形 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 120? ,? BD ? 3 AD .
?四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 为直四棱柱,?四边形 DBB1 D1 为矩形.
又 DD1 ? 3 AD ,? BD ? DD1 ,

?四边形 DBB1 D1 为正方形,? DF ? D1B

……………………10 分

在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DD1 ? 底面ABCD , AC ? 面ABCD ,? AC ? DD1

?四边形 ABCD 为菱形, AC ? BD .
DD1 ? 面DBB1 D1, , ? 面DBB1 D1, ? DD1 ? D ,? AC ? 面DBB1D1 . BD BD

DF ? 面DBB1 D1 ,? AC ? DF ,又 EF ? AC ,? EF ? DF .…………………13 分 ? EF ? 面D1EB, D1B ? 面D1EB, EF ? D1B ? F ,? DF ? 平面D1EB .
23.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

解:(1)证明:因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1. 又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B,所以 B1C⊥平面 A1BC1.又 B1C?平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)设 BC1 交 B1C 于点 E, 连结 DE, DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交 则 线. 因为 A1B∥平面 B1CD, 所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点, 所以 D 为 A1C1 的中点, 即 A1D∶DC1=1. 24.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解:(1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 。 又因为 PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ? DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I),知 AC ? 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ? EF .

S?ACE ?

S?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ? PB . 2 1 ? 9, ? 6 ? EF ? 9 ,解得 EF ? 3 --------------10 分 2

由 PB ? EF 且 PB ? AC 得 PB ? 平面 AEC , 则 PB ? EC , 又由 EF ? AF ? FC ? 3 得 EC ? AE ,而 PB ? AE ? E ,故 EC ? 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ? 平面 PAB ,所以 ?GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成角. 在直角三角形 CEB 中, BC ? 6, EC ? 3 2 , EB ? 3 2

所以 ?CEB ? 45 ,设 BG ? x ,则 BH ? HG ? 由 tan ?GEH ? 2 得 EH ?

?

2 x。 2

2 x。 4

由 EH ? HB ? EB 得 x ? 4 ,即 BG ? 4 --------------14 分 25.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解:(1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 。 又因为 PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ? DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I),知 AC ? 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ? EF .

S ?ACE ?
S ?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ? PB . 2 1 ? 9, ? 6 ? EF ? 9 ,解得 EF ? 3 --------------10 分 2

由 PB ? EF 且 PB ? AC 得 PB ? 平面 AEC , 则 PB ? EC , 又由 EF ? AF ? FC ? 3 得 EC ? AE ,而 PB ? AE ? E ,故 EC ? 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ? 平面 PAB ,所以 ?GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成 角. 在直角三角形 CEB 中, BC ? 6, EC ? 3 2 , EB ? 3 2 所以 ?CEB ? 45? ,设 BG ? x ,则 BH ? HG ? 由 tan ?GEH ? 2 得 EH ?

2 x。 2

2 x。 4

由 EH ? HB ? EB 得 x ? 4 ,即 BG ? 4

26. 如图:在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=3,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,过 点 A1 作 A1O⊥平面 BCD,垂足 O 恰好落在 CD 上. (1)求证:BC⊥A1D; (2)求直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值. 解:(1)因为 A1O⊥平面 BCD,BC?平面 BCD,∴BC⊥A1O, 因为 BC⊥CD,A1O∩CD=O,∴BC⊥面 A1CD. 因为 A1D?面 A1CD,∴BC⊥A1D.(6 分) (2)连结 BO,则∠A1BO 是直线 A1B 与平面 BCD 所成的角. 因为 A1D⊥BC,A1D⊥A1B,A1B∩BC=B,∴A1D⊥面 A1BC.A1C?面 A1BC,∴A1D⊥A1C. 在 Rt△DA1C 中,A1D=3,CD=5,∴A1C=4. 1 1 12 根据 S△A1CD= A1D·A1C= A1O·CD,得到 A1O= , 2 2 5 12 A1O 5 12 在 Rt△A1OB 中,sin∠A1BO= = = . A1B 5 25 12 所以直线 A1B 与平面 BCD 所成角的正弦值为 .(12 分) 25 27.如图的几何体中, AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE .

(1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,

1 DE . 2

1 DE ,∴ GF ? AB . 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ? CD
∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ? ∵ DE ? 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ? AF . ∵ BG // AF ,∴ BG ? DE, BG ? CD 又 CD ? DE ? D , ∴ BG ? 平面 CDE . ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . 28 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论. 29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图,并求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明 你的结论.

解:(1)几何体的直观图如图. 四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1= 3,BC=1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且垂直 1 3 于底面 BB1C1C,∴其体积 V= ×1× 3× 3= 4分 2 2 (2)证明:∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC. ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面 ACC1A1, ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥A1C. ∵四边形 ACC1A1 为正方形,∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1=C1, ∴A1C⊥平面 AB1C1. (3)当 E 为棱 AB 的中点时, DE∥平面 AB1C1. 证明:如图,取 BB1 的中点 F,连结 EF,FD,DE, ∵D,E,F 分别为 CC1,AB,BB1 的中点,∴EF∥AB1. ∵AB1?平面 AB1C1,EF?平面 AB1C1, ∴EF∥平面 AB1C1. 同理可得 FD∥平面 AB1C1, 又 EF∩FD=F,∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1.

8分

12 分

30.如图,已知矩形 ACEF 的边 CE 与正方形 ABCD 所在平面垂直, AB ?

2 , AF ? 1 ,

M 是线段 EF 的中点。
(1)求异面直线 CM 与直线 AB 所成的角的大小; (2)求多面体 EFABCD 的表面积。

解:(1)因为 CD // AB ,所以 ?CMD 即为异面直线 CM 与 AB 所成的角(或其补 角),…………… 2 分 连结 MD ,在 ?CEM 中, CE ? EM ? 1, 所以 CM ? 又 DE ? DF ? 3 ,所以 DM ? …………… 5 分

2,

DF 2 ? MF 2 ? 2 ,所以 ?CDM 是等边三角形,

所以 ?CMD ? 60 ,即异面直线 CM 与 AB 所成的角为 60 ;…………… 6 分
? ?

1 (2) S?ABF ? ? 2 ? ?

1 2

2 , …………… 8 分 2

1 S?DEF ? ?2? 2 ? 2 …………… 10 分 2
S ABCD ? 2
S表 ? 4S?ABF ? 2S?DEF ? S ABCD ? 4 2 ? 2 。

31.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体 积 【解析】(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD,又 PA ? AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)解:由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD ? cos 45 ? 1,CE=CD ? sin 45 ? 1 .
? ?

又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以

1 1 5 S ABCD ? S ABCE ? S?BCD = AB ? AE ? CE ? DE = 1? 2 ? ?1?1 ? ,又 PA⊥平面 2 2 2
ABCD,PA=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积等于 S ABCD ? PA ?

1 3

1 5 5 ? ?1 ? 3 2 6

32.如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角,连结 PC、PD,在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED, 连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
?

P

P

A

D

A E

D

B

C

B

C

解:(1)证明:? AB ? PA, AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60

?

? ?PAD ? 60 ? ,又 AD=2PA ? AP ? PD
有平面图形易知:AB ? 平面 APD,又 PD ? 平面APD ,? AB ? PD ,

? AP, AB ? 平面ABP ,且 AP ? AB ? A
? PD ? 平面PAB ,又 PD ? 平面PCD ,?平面 PAB ? 平面 PCD---------7
分 (2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,?AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 VP ? ABC ? VA ? PBC ,设 PA=2

P A E B C

1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 3 = ? ? 2? 7 ? h 3 2 3 2
2 21 ?h ? ,设 PE 与平面 PBC 所成角为 ? 7

D

2 3 h 2 7 ? 7 ? ---------------14 分 ? sin ? ? PE 7 3

33.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90°, AC ? AB ? AA1 , 中点. (Ⅰ)求异面直线 AE 与 A1C 所成的角; (Ⅱ)若 G 为 C1C 上一点,且 EG ? A1C ,求二面角 A1 ? AG ? E 的大 小. 解法一: ( Ⅰ ) ∴ 异 面 直 线 AE 与 A1C 所 成 的 角 为

E 是 BC 的

? . ……………………………6 分 3

(Ⅱ) ∴所求二面角 A1 ? AG ? E 为 ? ? arctan 5 . 34.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, AC ? 6 ,

BD ? 6 3 , E 是 PB 上任意一点。 (1)求证: AC ? DE ; (2)当 ?AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G ,使 EG 与平面 PAB 所 成角的正切值为 2?若存在?求出 BG 的值,若不存在,请说明理由

解:(1)证明:连接 BD ,设 AC 与 BD 相交于点 F 。 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD 。 又因为 PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 PDB

E 为 PB 上任意一点, DE ? 平面 PBD ,所以 AC ? DE --------------7 分
(2)连 ED .由(I),知 AC ? 平面 PDB , EF ? 平面 PBD ,所以 AC ? EF .

S?ACE ? S?ACE

1 AC ? EF , 在 ?ACE 面积最小时, EF 最小,则 EF ? PB . 2 1 ? 9, ? 6 ? EF ? 9 ,解得 EF ? 3 --------------10 分 2

由 PB ? EF 且 PB ? AC 得 PB ? 平面 AEC , 则 PB ? EC , 又由 EF ? AF ? FC ? 3 得 EC ? AE ,而 PB ? AE ? E ,故 EC ? 平面 PAB 作 GH // CE 交 PB 于点 G ,则 GH ? 平面 PAB ,所以 ?GEH 就是 EG 与平面 PAB 所成 角. 在直角三角形 CEB 中, BC ? 6, EC ? 3 2 , EB ? 3 2 所以 ?CEB ? 45 ,设 BG ? x ,则 BH ? HG ? 由 tan ?GEH ? 2 得 EH ?
?

2 x。 2

2 x。 4

由 EH ? HB ? EB 得 x ? 4 ,即 BG ? 4 35.如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩 形,PA=AB=1, AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动。 ⑴求三棱锥 E-PAD 的体积;

⑵当 E 点为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的 位置关系,并说明理由; ⑶证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF。

解: (1)因为点 E 到平面 PAD 的距离即为 1,所以 VE ? PAD ?

1 1 3 ? ?1 ? 3 ?1 ? 3 2 6

····················4 分 (2)直线 EF 与平面 PAC 平行 因为 E、F 两点分别为边 PB 和 BC 的中点,所以 EF//PC,且直线 EF 不在平面 PAC 内, 直线 PC 在平面 PAC 内,所以,直线 EF//面 PAC ····················8 分 (3)因为 PA=AB 且 F 为 PB 中点,所以 AF⊥PB,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BC,由于 地面 ABCD 为矩形, 所以 BC⊥AB,所以 BC⊥面 PAB,所以 BC⊥AF,所以 AF⊥面 PBC,所以 无论点 E 在 BC 上何处时,总有 AF⊥PE。 36. 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,平面 PAD 上平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD =2AD =8,AB =2DC = 4 5 。 (I)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 C—PAB 的体积

证明: (Ⅰ)在 △ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD ? BD ? AB .故 AD ? BD .……………………………………………2 分
2 2 2

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD . …………………………………………………………………4 分 又 BD ? 平 面 M B D, 故 平 面 M B D 平 面 ? P PAD .…………………………………6 分 (Ⅱ)过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,[来所以 PO ? 平 面 ABCD . M A O D C

因此 PO 为棱锥 P-ABC 的高.………………8 分

又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ? 又 S?ABC ? S?ABD ?

3 ?4 ? 2 3 . 2

?V棱锥C - PAB ? V棱锥P - ABC

1 AD ? BD ? 16 ,………10 分 2 1 32 3 ? ?16 ? 2 3 ? . 3 3

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