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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案新人教B版选修2_1201711093112全面版

2.1 曲线与方程

1.了解曲线与方程的对应关系. 2.了解两条曲线交点的求法. 3.了解用坐标法研究几何性质. 4.掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质.

1.点的轨迹方程 一般地,一条曲线可以看成 ________________的轨迹,所以曲线的方程又常称为 ____________的点的轨迹方程. 【做一做 1】到 A(2,-3)和 B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是( ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 2.曲线的方程与方程的曲线的定义 (1)在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间具有如下关系: ①__________________________________; ②__________________________________. 那么,曲线 C 叫做方程 F(x,y)=0 的曲线,方程 F(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程.

在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可,而且两者 是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集,B 是所有以方程 F(x,y)=0 的实数解为坐标的点组成的点集,则 由关系①可知 A? B,由关系②可知 B? A;若同时具有关系①和②,就有 A=B.
(2)曲线 C 用集合的特征性质描述法,可以描述为 C={M(x,y)|F(x,y)=0}. 【做一做 2】下面各对方程中,表示相同曲线的一对方程是( )
A.y= x与 x=y2 B.y=x 与xy=1
C.|y|=|x|与 x2-y2=0
D.y=lg x2 与 y=2lg x 3.两曲线的交点 已知两条曲线 C1:F(x,y)=0 和 C2:G(x,y)=0,求这两条曲线的交点坐标,只要求
方程组?????FG((xx,,yy))==00 的________就可以得到.

曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题,那么,解二元方程组的一切思路方法

和相关知识,都是求两曲线交点的基本依据和方法.

【做一做 3】曲线 y=x2+1 和 y=x+m 有两个不同的交点,则( )

A.m∈R

B.m∈???0,34???

C.m=34

D.m∈???34,+∞???

1.曲线与方程的定义的理解 剖析:(1)定义中的第①条“曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解”,阐明曲 线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹 性). (2)定义中的第②条“以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”,阐明符合条 件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性). (3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程 F(x,y)=0 的解集{(x,y)|F(x,y) =0}之间的一一对应关系,由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质, 又可以由曲线求它的方程. 2.曲线方程的求法 剖析:求曲线的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M︱p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 F(x,y)=0; (4)化方程 F(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.
题型一 曲线与方程的概念 【例 1】若曲线 C 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0,则下列说法正确的是( ) A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 反思:(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法:等价转换和特值讨论.它们使用的 依据是曲线的纯粹性和完备性. (2)处理“曲线与方程”的概念题,可采用直接法,也可采用特值法. 题型二 曲线方程的求法 【例 2】已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C 在曲线 y=3x2-1 上移动, 求△ABC 的重心 G 的轨迹方程. 分析:在这个问题中,动点 C 与点 G 之间有关系,写出 C 与 G 之间的坐标关系,并用 G 的坐标表示 C 的坐标,然后代入 C 的坐标所满足的关系式中,化简整理即得所求.
【例 3】长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动,动点 C(x,y)满足 AC = 2 CB ,求动点 C 的轨迹方程.
分析:A,B 分别在 x,y 轴上移动,可设 A(x0,0),B(0,y0),又动点 C(x,y)满足 AC =
2 CB ,代入即可得方程.
反思:求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律,并利用坐标把这种规律翻译 成代数方程.
1 方程 x2+xy=x 表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 2 已知方程 2x2-xy+1=0 表示的图形为 C,则下列点不在 C 上的为( )

A.???12,3??? C.???-2,-92???

B.(-3,5)
D.???2,92???

3 在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP · OA =4.则点 P
的轨迹方程是____________. 4 点 P(2,-3)在曲线 x2-ay2=1 上,则 a=__________.
5 已知 k∈R,则直线 y= 3x+k 与圆 x2+y2=16 无公共点时,k 的取值范围为 __________.
答案:

基础知识·梳理

1.动点依某种条件运动 满足某种条件

【做一做 1】C

2.(1)①曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解 ②以方程 F(x,y)=0 的解为坐

标的点都在曲线 C 上

【做一做 2】C

3.实数解 【做一做 3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解,即方程 x2-x+1

-m=0 的判别式大于零,即(-1)2-4(1-m)>0,解得 m>34.

典型例题·领悟

【例 1】C 方法一:上述说法写成命题的形式为“若点 M(x,y)是曲线 C 上的点,则点

M 的坐标适合方程 F(x,y)=0”.其逆否命题为:“若点 M 的坐标不适合方程 F(x,y)=0,

则点 M 不在曲线 C 上”.故选 C. 方法二:本题亦可考虑特值法,作直线 l:y=1.考查 l 与 F(x,y)=y2-1=0 的关系,

知选项 A,B,D 三种说法均不正确.故选 C.

【例 2】解:设△ABC 的重心坐标为 G(x,y),顶点 C 的坐标为(x1,y1),由重心坐标公

??x=-2+30+x1,
式得
???y=0-23+y1

??x1=3x+2,

?

?
??y1=3y+2,

代入 y1=3x21-1,得 3y+2=3(3x+2)2-1.

则有 y=9x2+12x+3,故所求轨迹方程为 y=9x2+12x+3. 【例 3】解:∵长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 分别在 x,y 轴上移动, 故可设 A(x0,0),B(0,y0).

又动点 C(x,y)满足 AC =2 CB ,

∴(x-x0,y)=2(0-x,y0-y), 即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),

∴???x-x0=-2x ??y=2y0-2y

??x0=3x, ? ???y0=32y.

又∵|AB|=3,即 x20+y20=9,

∴(3x)2+???32y???2=9. 整理得动点 C 的轨迹方程为 x2+y42=1.
随堂练习·巩固 1.C x2+xy=x 因式分解得 x(x+y)=x, 即 x(x+y-1)=0, 即 x=0 或 x+y-1=0. 2.B
3.x+2y=4 设 P(x,y),由 OP · OA =4 知 x+2y=4. 4.13 将点 P 的坐标代入方程中即可求得 a=13. 5.k>8 或 k<-8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径,即|2k|>4,∴k>8 或 k
<-8.
只要我们坚持了,就没有克服不了的困难。或许,为了将来,为了自己的发展,我们会把一件事情想得非常透彻,对自己越来越严,要求越来越高,对任何机会都不曾错过,其目的也只不过 是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时,“千里之行,始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情,让自己其中那小小的浅浅的进步,来击破打破 突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域,强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走,向前看,向前进。所有的未来,都是靠脚步去丈量。没有走,怎么知道,不可能;没有去 努力,又怎么知道不能实现?幸福都是奋斗出来的。那不如,生活中、工作中,就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵,着心、心平气和的去体验、去察觉这一 种灵魂深处的安详,侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但,这种聆听,它绝不是仅限于、执着于“我”,而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度,也就是那“幸 福都是奋斗出来的”深处又会是如何?生命不止,奋斗不息!又或者,对于很多优秀的人来说,我们奋斗了一辈子,拼搏了一辈子,也只是人家的起点。可是,这微不足道的进步,对于我们 来说,却是幸福的,也是知足的,因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么,隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中,并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力,去积极争取的! “宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局,或许,这无所皈依的心灵就有了归宿,这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。 一生有多少属于我们的时光?陌上的花,落了又开了,开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴,曾经的天真,只能在梦里回味,每回梦醒时分,总是多 了很多伤感。不知不觉中,走过了青春年少,走过了人世间风风雨雨。爱过了,恨过了,哭过了,笑过了,才渐渐明白,酸甜苦辣咸才是人生的真味!生老病死是自然规律。所以,面对生活 中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受,面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的,只要你有足够的坚强!这世上没有什么不能放下的,只要你有足够的胸 襟! 一生有多少属于我们的时光?当你为今天的落日而感伤流泪的时候,你也将错过了明日的旭日东升;当你为过去的遗憾郁郁寡欢,患得患失的时候,你也将忽略了沿途美丽的风景,淡 漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活,没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味,抑郁忧伤的人生少欢乐,风雨过后的彩虹最绚丽,历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了 各样的人生:有的轻浮,有的踏实;有的喧哗,有的落寞;有的激扬,有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦,大都是缘于生活里的际遇沉浮,走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺 得过物质生活的匮乏,却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度,一花一世界,一树一菩提,就是一粒小小的沙子,也有自己精彩的乾坤。如果 想到我们终有一天会灰飞烟灭,一切象风一样无影亦无踪,还去争个什么?还去抱怨什么?还要烦恼什么?未曾生我谁是我?生我之时我是谁?长大成人方是我,合眼朦胧又是谁?一生真的 没有多少时光,何必要和生活过不去,和自己过不去呢。你在与不在,太阳每天都会照常升起;你愁与不愁,生活都将要继续。时光不会因你而停留,你却会随着光阴而老去。 有些事情注定会发生,有的结局早已就预见,那么就改变你可以改变的,适应你必须去适应的。面对幸与不幸,换一个角度,改变一种思维,也许心空就不再布满阴霾,头上就是一片蔚蓝的 天。一生能有多少属于我们的时光,很多事情,很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来,在心中无法忘却的,一定是触动心灵,甚至是刻骨铭心的,无论是伤痛是欢愉。人生无论是得 意还是失意,都不要错过了清早的晨曦,正午的骄阳,夕阳的绚烂,暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后,你终于能懂得:谁会在乎你?你又何必要别人去在乎?生于斯世,赤条条的来, 也将身无长物的离开,你在世上得到的,失去的,最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么,所以也谈不到失去什么,因此,对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心,面对 人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受,知道人有旦夕祸福,这和命运没什么关系;有一颗平常心,面对台下的鲜花掌声和头上的光环,身上的浮名都能清醒看待。花不常开,人不常 在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候;再奢华的宴席,悠扬的乐曲,总有曲终人散的时刻。春去秋来,我们无法让季节停留;同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎 你?生养我们的父母。纵使我们有千般不是,纵使我们变成了穷光蛋,唯有父母会依然在乎!为你愁,为你笑,为你牵挂,为你满足。这风云变幻的世界,除了父母,不敢在断言还会有谁会 永远的在乎你!看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散;看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花;你落寞孤寂时,曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实, 谁会在乎你?除了父母,只有你自己。父母待你再好,总要有离开的时日;再恩爱夫妻,有时也会劳燕分飞,孩子之于你,就如同你和父母;管鲍贫交,俞伯牙和钟子期,这样的肝胆相照, 从古至今有几人?不是把世界想的太悲观,世事白云苍狗,要在纷纷扰扰的生活中,懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星,虽然灿烂,却是惊鸿一瞥;宁愿做一颗小小的暗淡的星子, 即使不能同日月争辉,也有自己无可取代的位置其实,也不该让每个人都来在乎自己,每个人的人生都是单行道,世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易,都有自己方向。相

识就是缘分吧,在一起的时候,要多想着能为身边的人做点什么,而不是想着去得到和索取。与人为善,以直报怨,我们就会内心多一份宁静,生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候,要学 会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间,已经走到了人生的分水岭,回望过去生活的点滴,路也茫茫,心也茫茫。少不更事的年龄,做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情:斜阳芳草里,故 作深沉地独对晚风夕照;风萧萧兮,渴望成为一代侠客;一遍遍地唱着罗大佑的《童年》,期待着做那个高年级的师兄;一天天地幻想,生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影,没有死去活来,青春 就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好,年华的可贵,已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此,青春就一去不回头。没有了幻想和冲动,日子就像白开水一样平淡,寂 寞地走过一天天,一年年。涉世之初,还有几分棱角,有几许豪情。在碰了壁,折了腰之后,终于明白,生活不是童话,世上本没有白雪公主和青蛙王子,原本是一张白纸似的人生,开始被 染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢,被情愿也罢,生存,就要适应身不由己,言不由衷的生活。人到中年,突然明白了许多:人生路漫漫,那是说给还不知道什么叫人生的人说的,人生其 实很短暂,百年一瞬间;世事难预料,是至理名言,这一辈子,你遇见了谁,擦肩而过了谁,谁会是你真心的良朋益友,谁会和你牵手相伴一生,都是最初估计不到的;没有跨不过去的坎, 只有走不出的心。人生天地间,渺小的如蝼蚁、草芥,即便是叱咤风云的伟人,安息之处亦不过是黄土一抔。纠结不清的是情感,放不下手的是名利,撒手西归,一切皆是过眼云烟。为情苦, 为名困,为物役,多少参不透生活的人为此劳碌一生,辛苦一世。走过了无数个平凡的日子,见惯了生离死别的怅惘,知道了“生亦何欢,死亦何惧”其实就是活着的一种最佳姿态。你无所 畏惧了,命运就该向你低头了,活着,就好好活。忧郁恼的时候听听歌,天空不会总布满阴霾,风雨之后的彩虹更美丽;心情不错的日子走一走,看看每一天的日升日落,那是自然给生命的 美好馈赠。花谢了,有再开的时候;草枯了,还有再荣的时候。青春呢?生命呢?是不是还可以再重新拥有一回?感谢爹娘,给了我生命,虽然历经了风雨,却依然能感觉到生命的厚重和珍 贵;感谢生活,尝尽了酸甜苦辣咸,仍然还会充满感动和感恩;感谢岁月,让我在红尘里褪尽铅华,返璞归真。爱惜自己,珍爱生活。对别人多一份理解和博爱,活着,就好好活。一生能有 多少属于我们的时光?在平凡的日子里,在安静的生活中,且行且珍惜吧。一个人的幸福感,不是来自丰衣足食,而是来自内心丰盈。丰衣足食,获得的是人生的踏实感;内心丰盈,获得的 是灵魂的归属感。前者让人从容赶路,后者给人在路的前方点灯。人的痛苦,有时候不是看不到,而是看到的太多了。每天挣 100 块钱的,其实并不羡慕挣 120 的。问题是,当突然看到有人 可以每天挣到上千块,便开始方寸大乱。不平衡,才是一个人内心宕动和迷乱的根本。无法安放的,永远不是身体,而是一颗野了的心大学谈恋爱,对未来的设想,不过是有一间屋子,只要 能盛得下两个人的欢愉就行。后来发现,我们需要的不只是一间屋子,而是好多房产。当我们把这些归结为生活所需的时候,其实已陷在世俗沉重的背影里了。然后,在虚荣的路上越走越远, 被虚荣长距离放逐,再被虚荣一步一个脚印地打这个世界,快乐最多的地方,不在富商大贾那里,也不在权倾一方的人那里。恰恰是这些人,阴沉着脸,个个蹙眉紧锁。他们的幸福。


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