抛物线中的定点定值问题
抛物线练习（定点定值垂直等） 例 1.已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点，且 OA ? OB ． 求证： （1）求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; （2）直线 AB 恒过定点; （3）求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; （4）求 △ AOB 面积的最小值； （5） O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程.
思考 1：若将 O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？ 思考 2：本题中， OA ? OB ，即表示 OA、OB 斜率之积为-1，若 kOA kOB=m(m 为不为零的常 数),直线 AB 是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考 3： kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗？试先举特例研究， 若 再做一般性研究；
思考 4：把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？
思考 5：上述结论在椭圆中成立吗？
抛物线专题第 1 页
例 2.在专题 7 例 1 中，椭圆上任找一点 A，作两条斜率之和为 0 的直线，分别交椭圆与另外 亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值） 试着以抛物线 y 2 ? 4 x 上点 A（4，4）,作两条斜率之和为 0 的弦 AB,AC 分别交抛物线于 B、 C 两点，证明：BC 斜率为定值。
例 3.类比于专题 7 例 4---例 6 已知抛物线 y 2 ? 4 x ， 过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 两点， B 试问 x 轴上是否存在点 P ， 使 PF 平分 ?APB ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
思考 1：若上述问题改为过求出的定点 P，做两条直线，分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0，且 A、B 不关于 x 轴对称，证明直线 AB 过定点. 思考 2：若上述问题改为过求出的定点 P，做一条直线，交抛物线于点 A,B 探究 K AF , KBF 的 关系。
抛物线专题第 2 页
思考 3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：
已知定点 H (?3, 0) ，动点 P 在
y 轴上，动点 Q 在 x 轴的正半轴上，动点 M
满足: HP ? PM
??? ???? ? ?
?0，
相交于
???? ? 3 PM ? ? MQ .设动点 M 2 A、B 两点． （1）求曲线 C 的方程；
的轨迹为曲线 C ，过定点 D(m, 0)(
m ? 0) 的直线 l 与曲线 C
（2）若点 E 的坐标为 (?m,0) ，求证： ?AED
? ?BED ；
? a 所得的弦长恒为定值？若存在求出实
（3）是否存在实数 a, 使得以 AD 为直径的圆截直线 l ? : x 数 a 的值；若不存在，请说明理由.
抛物线专题第 3 页
例 4：类比于专题 8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明： 如图：若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦， M 是 AB 的中点, l 是抛物 线的准线, MN ? l ， N 为垂足， BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足.证明： （1）AN ? BN ； 以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切． 即 （2） HF ? DF ； （3） FN ? AB ； （4）A、O、D 三点共线； （能否推广？F(a,0), l : x ? ? a ）
思考：若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦，过 A 和 B 分别做抛物线的切线，切线 交于点 M，试着猜想 M 的轨迹并证明； （参考专题 8 例 3）
抛物线专题第 4 页
抛物线练习（定点定值垂直等） 例 1.已知 A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点，且 OA ? OB ． 求证： （1）求 AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; （2）直线 AB 恒过定点; （3）求弦 AB 中点 P 的轨迹方程; （4）求 △ AOB 面积的最小值； （5） O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程.
（1）
（2）
（3）
（5） ( x ? p)2 ? y 2 ? p 2 思考 1：若将 O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？ 思考 2：本题中， OA ? OB ，即表示 OA、OB 斜率之积为-1，若 kOA kOB=m(m 为不为零的常 数),直线 AB 是否过定点， 试先举特例研究， 再做一般性研究；AB 过定点 (
2 y0 2 p ? ,? y 0 ) 。 2p m
思考 3： kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗？试先举特例研究， 若 再做一般性研究； 直线 AB 过定点 (
2 y0 2 y0 2 p ? , ? y0 ). 2p n n
思考 4：把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？
思考 5：上述结论在椭圆中成立吗？
抛物线专题第 5 页
例 2.在专题 7 例 1 中，椭圆上任找一点 A，作两条斜率之和为 0 的直线，分别交椭圆与另外 亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值） 试着以抛物线 y 2 ? 4 x 上点 A（4，4）,作两条斜率之和为 0 的弦 AB,AC 分别交抛物线于 B、 C 两点，证明：BC 斜率为定值。 ?
1 p ,一般情况下 A( x0 , y0 )，结论为 ? 2 y0
例 3.类比于专题 7 例 4---例 6 已知抛物线 y 2 ? 4 x ， 过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 两点， B 试问 x 轴上是否存在点 P ， 使 PF 平分 ?APB ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （-1，0） 思考 1：若上述问题改为过求出的定点 P，做两条直线，分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0，且 A、B 不关于 x 轴对称，证明直线 AB 过定点. 思考 2：若上述问题改为过求出的定点 P，做一条直线，交抛物线于点 A,B 探究 K AF , KBF 的 关系。 K AF ? KBF ? 0 思考 3：若将 P 改为 x 轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：
已知定点 H (?3, 0) ，动点 P 在
y 轴上，动点 Q 在 x 轴的正半轴上，动点 M
满足: HP ? PM
??? ???? ? ?
?0，
相交于
???? ? 3 PM ? ? MQ .设动点 M 2 A、B 两点． （1）求曲线 C 的方程；
的轨迹为曲线 C ，过定点 D(m, 0)(
m ? 0) 的直线 l 与曲线 C
（2）若点 E 的坐标为 (?m,0) ，求证： ?AED
? ?BED ；
? a 所得的弦长恒为定值？若存在求出实
（3）是否存在实数 a, 使得以 AD 为直径的圆截直线 l ? : x 数 a 的值；若不存在，请说明理由.
22、解： （Ⅰ）设 M ( x, y), P(0, y ?), Q( x?,0)( x? ? 0) ,
? ? ???? ? ? 3 ???? ??? ???? ? PM ? ? MQ, HP ? PM ? 0. 2 3 ? ( x, y ? y ?) ? ? ( x ? ? x, ? y ) 且 (3, y ?) ? ( x, y ? y ?) ? 0 , 2 1 1 ? x? ? x, y? ? ? y,3x ? yy? ? y?2 ? 0. 3 2
? y 2 ? 4x( x ? 0) .
………………………………………………4 分
∴动点 M 的轨迹 C 是以 O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.
抛物线专题第 6 页
…………………………………………5 分 （Ⅱ）解法一： （1）当直线 l 垂直于 x 轴时，根据抛物线的对称性，有 ?AED ? ?BED ； ……………6 分 （2）当直线 l 与 x 轴不垂直时，依题意，可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m)(k ? 0, m ? 0) ，
A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 A，B 两点的坐标满足方程组
? y ? k ( x ? m) ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
消去 x 并整理，得
y
A F H G
O?
O E B D
x
ky ? 4 y ? 4km ? 0 ,
2
? y1 ? y2 ?
4 , y1 y2 ? ?4m . k
……………7 分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ，则:
1 1 y y 2 ? y y 2 ? m( y1 ? y2 ) y1 y2 y1 ( x2 ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 1 2 4 2 1 ? ? ? k1 +k2 ＝ ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 4 4m 1 (?4m)( ) ? y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) k k ? 0 . …………………9 分 ?4 ?4 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)
? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,
? 0 ? ?AED ?
?
2 ??AED ? ?BED .
， 0 ? ?BED ?
?
2
…………………10 分
综合（1）（2）可知 ?AED ? ?BED . 、
解法二：依题意，设直线 l 的方程为 x ? ty ? m(m ? 0) ， A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 A，B 两 点的坐标满足方程组:
y
A F H G
? x ? ty ? m ? 2 ? y ? 4 x ( x ? 0)
消去 x 并整理，得 O E B
O?
D
y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , ? y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m . ……………7 分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1、k2 ，则:
x
抛物线专题第 7 页
1 1 2 y1 y2 ? y2 y12 ? m( y1 ? y2 ) y y2 y ( x ? m) ? y2 ( x1 ? m) 4 4 ? ? 1 2 k1 +k2 ＝ 1 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) x1 ? m x2 ? m ( x1 ? m)( x2 ? m) 1 1 y1 y2 ( y1 ? y2 ) ? m( y1 ? y2 ) (?4m)(4t ) ? 4mt ?4 ?4 ? 0 . …………………9 分 ( x1 ? m)( x2 ? m) ( x1 ? m)( x2 ? m)
? tan ?AED ? tan(180? ? ?BED) ? 0 ,
? tan ?AED ? tan ?BED ,
? 0 ? ?AED ?
?
……………………………………………………10 分 （Ⅲ）假设存在满足条件的直线 l ? ，其方程为 x ? a ，AD 的中点为 O? ， l ? 与 AD 为直径的 圆相交于点 F、G，FG 的中点为 H，则 O?H ? FG ， O? 点的坐标为 (
2 ??AED ? ?BED .
， 0 ? ?BED ?
?
2
x1 ? m y1 , ). 2 2
? O?F ?
1 1 1 AD ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x1 ? m) 2 ? 4 x1 , 2 2 2
O?H ? a ?
2
x1 ? m 1 ? 2a ? x1 ? m , 2 2
2 2
? FH ? O?F ? O?H ?
1 1 ?( x1 ? m) 2 ? 4 x1 ? ? (2a ? x1 ? m) 2 ? ? 4 4
…………………………12 分
? (a ? m ? 1) x1 ? a(m ? a) .
? FG ? (2 FH ) 2 ? 4 ? (a ? m ? 1) x1 ? a (m ? a ) ? ,
2
令 a ? m ? 1 ? 0 ，得 a ? m ? 1 此时， FG ? 4( m ? 1) .
2
∴当 m ? 1 ? 0 ，即 m ? 1 时， FG ? 2 m ? 1 （定值）. ∴当 m ? 1 时，满足条件的直线 l ? 存在，其方程为 x ? m ? 1 ；当 0 ? m ? 1 时，满足条件的 直线 l ? 不存在. …………………………14 分 例 4：类比于专题 8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明： 如图：若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦， M 是 AB 的中点, l 是抛物 线的准线, MN ? l ，N 为垂足，BD ? l , AH ? l , D , H 为 垂足.证明：
（1）AN ? BN ； 以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切． 即 （2） HF ? DF ； （3） FN ? AB ；
抛物线专题第 8 页
（4）A、O、D 三点共线； （能否推广） 思考 1：若 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦，过 A 和 B 分别做抛物线的切线， 切线交于点 M，试着猜想 M 的轨迹并证明； （参考专题 8 例 3）
抛物线专题第 9 页
