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《导数及其应用》章节测试题及答案


一、选择题
1.函数 y=x cosx 的导数为【 】A. y′ =2xcosx-x sinx B. y′ =2xcosx+x sinx 2 2 C. y′ =x cosx-2xsinx D. y′ =xcosx-x sinx 2.下列结论中正确的是 【 】 A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那 么 f ( x0 ) 是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那么 f ( x0 ) 是极小值 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 右侧 f ' ( x) ? 0 那么 f ( x0 ) 是极大值 3. 曲线 y ? cos x(0 ? x ?
2 2 2

3? ) 与坐标轴围成的面积是【 】A.4 2
A.1

4.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x3 , x ? [0,1] 的最大值是【 】

5 2 1 B. 2
B.

C.3 C.0

D.2 D.-1

5. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力 所做的功为【 】 A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 6. 给出以下命题:⑴若 为周期的函数,则 A. 1

?

b a

f ( x)dx ? 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ?
a ?T T

2? 0

sin xdx ? 4 ;⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T

?

a 0

f ( x)dx ? ?
B. 2

f ( x)dx ;其中正确命题的个数为【 】
C. 3 D. 0 】

7. 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是【 A. ( , ??)

1 3

B. (??, )

1 3

C. [ , ??)

1 3

D. (??, ]

1 3

8.设 0< a <b,且 f (x)= A.f ( a )< f (

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是【 】. x
B. f (

a?b )<f ( ab ) 2 a?b C. f ( ab )< f ( )<f ( a ) 2
9.
2

a?b )<f (b)< f ( ab ) 2 a?b D. f (b)< f ( )<f ( ab ) 2
】 D. a ? 0 且 b ? R

函数 f ( x) ? ax ? b 在区间 (??, 0) 内是减函数则 a , b 应满足【 B. a ? 0 且 b ? R C. a ? 0 且 b ? 0

A. a ? 0 且 b ? 0

10. f ( x ) 与 g ( x) 是 R 定义在上的两个可导函数,若 f ( x ) 与 g ( x) 满足 f ?( x) ? g? ( x) ,则 f ( x ) 与 g ( x) 满 足……【 】 B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数
2

A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0

11.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 , 对于任意实数 x , 有 f (x )≥ 0 ,则

f( 1 ) 的 f ?(0)

最小值为…【



A. 3 B.

5 2

C. 2

D.

3 2


12.设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜率为(
1

A. ?

1 5

B. 0

C.

1 5

D. 5

二、填空题

13.10.曲线 y=2x3-3x2 共有____个极值.

14.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2 15. 若 f ( x) ? e
? 1 x

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =_______.
___________.

,则 lim
t ?0

f (1 ? 2t ) ? f (1) ? t

16. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点(1,0) 处相切,则函数 f ( x) 的表达式为 __ __m .
2

三、解答题 17.一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度作变速直线运
动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程? 18.已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程. 19.已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ?1) x2 ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称, 试判断 f ( x) 在区间 ? ?4, 4? 上 的单调性,并证明你的结论. 20.已知函数 f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数 g ( x) ?

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式; 值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y ?

⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6

21.设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .
? ∞) 内的单调性并求极值; (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x ) ,讨论 F ( x) 在 (0,

(Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 22.已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)

F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) .

n

答案
15. ?

1-5:ABCAD

6-10:BCD B B

11—12:C B 13. 2
3 2

14. f ( x) ? x ? 1

2 ?1 (或 ? 2e ) e

16、 f ( x) ? x ? x ? 8x ? 6

2

答案

1 - 5 : ABCAD 15. ?

6 - 10 : BCD

B

B

11 — 12 : C

B

13.

2

14. f ( x) ? x ? 1 17.解:∵当 0 ≤ t ≤

2 (或 ? 2e ?1 ) e

16、 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6

3 3 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≤ 0 ; 当 ≤ t ≤ 5 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≥ 0 . 2 2

∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
3 5 9 9 29 (米) S ? ? 2 (3 ? 2t )dx ? ? 3 (2t ? 3)dx = ? (10 ? ) ? 0 4 4 2 2

18.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1,由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. ∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ? ∴直线 l 的方程为 y ? 4 ? ?



1 , 4

∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4)

1 ( x ? 1) 即 x ? 4 y ? 17 ? 0 . 4
证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称,
3

19. 解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

2 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x. ? f ?( x) ? 3x ? 48, ∴当 x ? (?4, 4) ? f ?( x) ? 0

又∵函数 f ( x) 在 ? ?4, 4? 上连续 20.解:⑴∵ f ( x) ? ln x ,

所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x)

1 1 1 ? (?1) ? . ; 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x ?x x a ∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? . x a ⑵∵由⑴知当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ? , x
∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? ∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ? a 时取等号.
∴函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 .
3

2 7 3 ? ? y ? x? x1 ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? 3 6 2 ? ,? ⑶由 ? 解得 ? 5 y2 ? ?y ? x ? 1 ? y ? 13 ? ? 2 1 ? ? 6 x ? ?
∴直线 y ?

2 7 x ? 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积 3 6

2 ? 2 7 7 1 ? S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx = ? ln 3 24 6 x ? 2? 3

21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综 合运用有关知识解决问题的能力.本小题满分 14 分. (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

?

?

2) 内是减函数,在 (2, ? ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . 故知 F ( x) 在 (0,
(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0,
所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

22.本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考 查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.满分 14 分.
x x 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .

, ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) . 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(Ⅱ)由 f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数.
4

于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 此时 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上单调递增. 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
(Ⅲ)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 , ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 F ( n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得, [ F (1) F (2) 故 F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n

F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ? N? .

5


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