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江苏省2015届高考数学解答题每日一练系列——应用题,解析几何16

江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:016

1、某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元, 从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.

2 、已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点

P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线

PA, PB ,切点为 A, B .
(1)若 ?APB ? 60 ,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为 (2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点,当 CD ? 2 时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:016

x( x ? 1) ? 4] ? 98 = ? 2 x 2 ? 40x ? 98 . 1、 (1) y ? 50 x ? [12 x ? 2
(2)解不等式 ∵ x∈N, (3)(i) ∵

? 2 x 2 ? 40x ? 98 >0,得


10 ? 51<x<10 ? 51 . 2 ? 98 ? 12

3 ≤x≤ 17.故从第 3 年工厂开始盈利.

y 98 98 ≤40 ? 2 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) x x x

当且仅当 2 x ?

98 时,即 x=7 时,等号成立. x

∴ 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元. (ii) ? y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,? 当 x=10 时,ymax=102. 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102+12=114 万元. 解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具. 2、解: (1)设 P(2m, m) ,由题可知 MP
2 2 ? 2 ,所以 (2m) ? (m ? 2) ? 4 ,解之得: m ? 0, m ? 4

5

8 4 故所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) . 5 5
(2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为

2 , 2

所以

2 ?2k ? 1 , ? 2 1? k 2
1 , 7

解得, k ? ?1 或 k ? ?

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2 所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,
(3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m, 故其方程为: ( x ? m) 2 ? ( y ? 化简得: x 故?
2

m m ? 1) 2 ? m 2 ? ( ? 1) 2 2 2

? y2 ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,
解得 ?

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0,

? x ? 0 ? x ? 1, 或? ? y ? 2 ? y ? 1.

所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .


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