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内蒙古包头第一中学2013届高三年级第一次模拟考试数学文科试卷

内蒙古包头第一中学 2013 届高三年级第一次模拟考试 数学文科试卷
选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分,把唯一正确的答案的代 码填在答题卡上)
1. A ? ? x | 设 A. a ? 2. 复数

? ?

1 ? 若 则实数 a 的取值范围是 ( ) ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? , A ? B , 2 ?
B.

1 2

a?

1 2

C. a ? 1

D. a ? 1 ( )

1 1 的虚部为 ? i ? 2 1 ? 2i 1 1 A. ? B. ? i 5 5

C.

1 5

D. i )

1 5

3.已知向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为( A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2
( ) .

4、若抛物线的焦点坐标为 (2,0) ,则抛物线的标准方程是 A. y ? 4 x
2

B. x ? 4 y
2

C. y ? 8 x
2

D. x ? 8 y
2

5.实数 x 满足 log3 x ? 1 ? sin ? ,则 | x ? 1 | ? | x ? 9 | 的值为 A.8 B. ? 8 C.0 D.10





6 . 设 a, b 是平面 ? 内两条不同的直线, l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a , l ? b ” 是“ l ? ? ” 的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 ( )

7.已知集合 A ? x | 2 x ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g
2

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ?? 3,3? 上任取一实数 x ? 3?
( )

1 1 D. 12 3 1 1 8.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间[ , ]内,那么输入实 4 2
C. 数 x 的取值范围是 A. (— ? ,—2] C.[—l,2] ( B.[—2,—1] D.[2,+ ? ) )

x ,则“ x ? A ? B ”的概率为 1 1 A. B. 4 8

第 1 页 共 9 页

9. 下图是一个几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形,侧视图 是直角边长分别为 l 与 3 的直角三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何 体的体积等于( A.
3? 6 4 3? 3


3? 3

B.

C.

D.

? 2

正视图

侧视图

俯视图

10. 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A , B 是该抛物线上的两点.若线段 AB 的中 点到 y A.2 B. 轴的距离为
5 ,则 | AF | ? | BF |? 4





5 2

C.3

D.4
( )

11.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

12.若函数 y ? f ? x ?

? x ? R ? 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x 2 ,函
,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [?5, 6] 内的零点的个数为

数 g ? x? ? ? 1 ( ) A.8

?lg x ? ?? x ?

? x ? 0? ? x ? 0?

B.9

C.10

D.13

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分,将正确答案写在题中 横线上) 2 13.设曲线 y ? ax 在点 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? .
14.已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1) ,点 N(x,y)的坐标 x、y 满足不等式组

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ???? ???? ? ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .则OM ? ON 的取值范围是 ?y ?1 ?
15. 某同学为研究函数



D

C P

F

f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x ?1)) 0?x 1

的性质, 构造了如图

A

B

E

第 2 页 共 9 页

所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是边 BC 上的一个动点, CP = x , 点 设 则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些 信息, 推知函数的极值点是 ;函数

f ( x) 的值域是

.

16.若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成 立,则称 f (x) 为 m 函数,现给出下列函数: ①y?

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是

。 (把你认为所有正确的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出必要的文字说明和解题 步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an },公差 d>0,前 n 项和为 S n ,且满足 a2 a4 ? 45, a1 ? a4 ? 14 (I)求数列{ an }的通项公式及前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn ? 前 n 项和 Tn .

Sn 1 , 若{bn } 也是等差数列时,试确定非零常数 c;并求数列 { }的 n?c bn ? bn ?1

18.(本题满分 10 分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学 生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计 表和频率分布直方图如下: (Ⅰ)求出表中 M , p 及图中 a 的值; (Ⅱ) 若该校高三学生有 240 人, 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 [10,15) 内 的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人 参加社区服务次数在区间 [25,30) 内的概率. 分组 频数 10 24 频率 0.25 a

频率/组距

[10,15)
[15, 20)

n
p
0.05
0

[20, 25) [25,30)
合计

m
2

M

1
第 3 页 共 9 页

10

15

20

25

30 次数

19. (本小题满分 12 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分 别为 DD1 、 DB 的中点. (1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: CF ? B1E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F 为圆 a 2 b2

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2 ? 1 。
(I)求椭圆方程; (II)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M( ?

5 ,证明: ,0 ) 4

MA? MB 为定值。
21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? ln x, a ? R.
2

(1)若 a ? 0, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln

1 ,求 a 的取值范围。 2

请考生在第 22 和第 23 题中任选一题作答,只能选做一道. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点, 过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , 交半圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ; A (Ⅱ)求 BC 的长.

D E C

?O

B

23.(本小题分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 轴的正半轴重合,且 长度单位相同.直线 的极坐标方程为: ??
10 ,点 ?? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

第 4 页 共 9 页

P ? 2 cos ? , 2sin ? ? 2 ? ,参数 ? ? ? 0, 2? ? .

(Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值.

数学试题 (答案)
一.选择题 题目 1 答案 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B

二.填空题 13. 1 14.

?1,6?

15.

1 2



? 5,

2 ? 1 。16.

?

② ③



18.解(Ⅰ)由分组 [10,15) 内的频数是 10 ,频率是 0.25 知, 所以 M ? 40 .

10 ? 0.25 , M
????1 分 ?????2 分 ??????3 分

因为频数之和为 40 ,所以 10 ? 24 ? m ? 2 ? 40 , m ? 4 .

p?

m 4 ? ? 0.10 . M 40

因为 a 是对应分组 [15, 20) 的频率与组距的商,所以 a ?

24 ? 0.12 .???4 分 40 ? 5

(Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组 [10,15) 内的频率是 0.25 , 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人.
第 5 页 共 9 页

???7 分

(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m ? 2 ? 6 人, 设在区间 [20, 25) 内的人为 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,在区间 [25,30) 内的人为 ?b1 , b2 ? . 则任选 2 人共有 (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1 , a4 ),(a1 , b1 ),(a1 , b2 ),(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),

(a2 , b2 ), (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ),(a3 , b2 ),(a4 , b1 ),(a4 , b2 ),(b1 , b2 ) 15 种情况,
而两人都在 [25,30) 内只能是 ? b1 , b2 ? 一种, 所以所求概率为 P ? 1 ? ?????9 分 ??????12 分

1 14 ? .(约为 0.93 ) 15 15

19. 解: (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则 ∵EF 为中位线????2 分

? EF / / D1B
而 D1 B ? 面 ABC1 D1 , EF ? 面 ABC1 D1

? EF / / 面 ABC1 D1 ????4 分
(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ? CF ? BD ①????5 分

?正方体 ABCD ? A1B1C1D1
? DD1 ? 面ABCD , CF ? 面ABCD ? DD1 ? CF ②????7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD1 B1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 ,

? CF ? B1 E ???????????????????8 分
(3)由(2)可知? CF ? 平面BDD1 B1

? CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 ????10 分

? EF ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF ? B1F ? B1E
2 2 2

即 ?EFB1 ? 90

?

第 6 页 共 9 页

∴ S ?B EF ?

1 3 2 EF ? B1 F ? ????10 分 2 2

1 3 2 1 ? 2 ? 1 ????12 分 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S?B1EF ? CF = ? 3 2 3

21. 解: (1)函数 f (x ) 的定义域为 (0,??)

a ? 0 时 f / (x ) ? ?
递增区间 (2) f (x ) ? ?
/

1 ? 2x ? 0 对 (0,??) 恒成立,所以 f (x ) 的递减区间是 (0,??) ,无 x

2x 2 ? ax ? 1 x
第 7 页 共 9 页

因 为 f (x ) 存 在 极 值 , 所 以 f (x ) ? ?
/

2x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上 有 根 即 方 程 x

2x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根.

1 ? ?x 1 x 2 ? 2 ? 0 ? 2 记方程 2x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 由韦达定理 ? , 所以方程的根必为 ?x ? x ? a 1 ? 2 2 ?
两不等正根。 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? a (x 1 ? x 2 ) ? (x 1 ? x 2 ) ? (ln x 1 ? ln x 2 )
2 2

?

a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln 所以 a 2 ? 16 满足方程 2x 2 ? ax ? 1 ? 0 判别式大于零 2 4 2 2

故所求取值范围为 (4,??)

22.解: (Ⅰ)因为

,所以



????????????2 分 因为 为半圆的切线,所以 ∥ , , 6分 四点共圆, ,所以△ ∽△ ,8 分 , ,所以 平分 .4分 ,又因为

,所以 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 连结 ,因为

所以

,所以

. 10 分

23.解:(Ⅰ) 所以点 的轨迹方程为

且参数 .

, 3分

(Ⅱ)因为

,所以



第 8 页 共 9 页

所以 法一:由(Ⅰ) 点

,所以直线 的直角坐标方程为 的轨迹方程为 ,圆心为

. 6分 ,半径为 2.

,所以点

到直线 距离的最大值

. 10 分

法二: ,即点 到直线 距离的最大值 . 10 分

,当



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