内蒙古包头第一中学2013届高三年级第一次模拟考试数学理科试卷

内蒙古包头第一中学 2013 届高三年级第一次模拟考试 数学理科试卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的). 1．若集合 M ? ? y y ?

? ?

1 ? ?, P ? y y ? x ? 1 ，那么 M ? P ? （ x2?
C. (1,??) D. ?1,??) ?

?

?

）

A. (0,??)

B. ?0,??)?

2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名。现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年 级的学生中应抽取的人数为（ A．6 B．8 ） C．10 D．12

3. 若 S n 为等差数列 ? n ? 的前 n 项和，S 9 ? ?36 ， S 13 ? ?104，则 a5 与 a7 的等比中项 a 为（ ） B .

A. 4 2

?4 2

C .

?2 2

D. 32 ）

4.已知向量 a ， b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ，则向量 a ， b 夹角的余弦值为（

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

5．已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ，抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 ） （ C. ）

11 5

D.

37 16

6.下列判断错误的是（

2 2 A. “ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件

2 ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ” B.命题“ ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”的否定是“
2

C.若 p, q 均为假命题，则 p ? q 为假命题 D.若

? ~ B ? 4,0.25?

，则 D? ? 1

7. 从点 P 出发的三条射线 PA, PB, PC 两两成 60? 角，且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点，
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若球的体积为 A. 2

4? ，则 OP 两点之间的距离为( 3
B. 3 C.1.5

) D. 2

?x ? y ? 6 ? 0 ? 8、已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ，若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ，最小值为 3a ? 3 ， ?x ? 3 ?
则a的范围为 A. a ? 1 （ ） B. a ? ?1 C. ?1 ? a ? 1 ） D. D. a ? 1 或 a ? ?1

9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A. 8 ?

2? 3

B. 8 ?

? 3

C. 8 ? 2?

2? 3
(第 9 题图)后与

10.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin??x ? 原图像重合，则 ? 的最小值是（ A．

? ?

??

4? 个单位 ? ? 2 的图像向右平移 3 3?
） C.

2 3

B.

4 3

3 2

D. 3

11. 已 知 以 T ? 4 为 周 期 的 函 数 f ( x) ? ?

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? ，其中 m?0 .若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
）

3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（
A． ?

? 15 ? ? ? 3 ,3 ? ? ?

B． (

15 , 7) 3

C． ( , )

4 8 3 3

D. 2, 7

?

?

12． 若双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1 （m>b>0 ） 的离心率之积大于 1， 则以 a, b , m a2 b m b
） C 锐角三角形 D 钝角三角形

为边长的三角形一定是（ A 等腰三角形 B

直角三角形

二、填空题 （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 ． 若 (1 ? mx) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? ?a6 x , 且 a1 ? a2 ? ? ? ?a6 ? 63 ， 则 实 数 m 的 值
6 2 6

为

. ．

14. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i （ i 是虚数单位） ，则其共轭复数 z = 15.执行右边的程序框图，输出的 T= .

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开始

S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 (第 16 题图) n=n+2

输出 T 结束

T=T+n

(第 15 题图) 16.如上图，在矩形 ABDC 中， AB ? 1, AC ? 2, O 为 AC 中点，抛物线的一部分在矩形内， 点 O 为抛物线顶点，点 B, D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的 概率为 .

三、解答题（共 6 个小题，第 22 题 10 分，其余 12 分,共 70 分） 17． （本小题满分 12 分） 已知向量：

?? ? m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x),(其中? ? 0) ，
函数 f ( x) ? m ? n ，若 f ( x ) 相邻两对称轴间的距离为 ? .
2

?? ?

（Ⅰ）求 ? 的值，并求 f (x) 的最大值及相应 x 的集合； （Ⅱ）在△ABC 中， a, b, c 分别是 A， B，C 所对的边，△ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 4, f ( A) ? 1 ，求边 a 的长. 18． （本小题满分 12 分）盒子里装有 6 件包装完全相同的产品，已知其中有 2 件次品，其 余 4 件是合格品.为了找到 2 件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直 到两件次品被全部检查或推断出来为止.记 ? 表示将两件次品被全部检查或推断出来 所需检查次数. （I）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为 4 次的概率； （II）求 ? 的分布列和数学期望. 19.（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ? ABCD 中， ?ABC ? ?ACD ? 90? ，

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?BAC ? ?CAD ? 60? ， PA ? 平面 ABCD ， E 为 PD 的中点， PA ? 2 AB ? 2 ．
(Ⅰ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ； (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点，求证：平面 PAC ? 平面 AEF ； (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的大小． 20.（本题满分 12 分）已知椭圆 C1 : (第 19 题图)

? 3? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ?1, ? ，且其右焦点 2 ? 2? a b
1

与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合.（Ⅰ）求椭圆 的方程； C （II）直线 l 经过点 F 与椭圆

C1 相交于 A、B 两点，与抛物线 C2 相交于 C、D 两点．

求

| AB | 的最大值． | CD |
1 2 ax ? bx. 2

21. （本题满分 12 分）设函数 f ( x) ? ln x ? （Ⅰ）当 a ? b ?

1 时，求函数 f (x) 的最大值； 2 1 2 a (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? （ 0 ? x ? 3 ）其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ≤ 恒成立，求实数 a 的取值范围； 2 a ? 0 ， b ? ?1 ，方程 2mf ( x) ? x2 有唯一实数解，求正数 m 的值． (Ⅲ)当
22.（本题满分 10 分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正 半轴重合，且长度单位相同．圆 C 的参数方程为 ? 标为 ( 2,

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数),点 Q 的极坐 ? y ? ?1 ? 2 sin ?

7? ) .（Ⅰ）化圆 C 的参数方程为极坐标方程； 4

（Ⅱ）若点 P 是圆 C 上的任意一点, 求 P , Q 两点间距离的最小值．

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高三一模理科数学参考答案
一、 ABBBA DBCAC -i; BD 30; 1/3; 二、1 或-3；

三、解答题（共 6 个小题，第 22 题 10 分，其余 12 分,共 70 分） 17、解： （Ⅰ）? f ( x) ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? cos 2?x ? 3 sin 2?x

? 2 sin( 2?x ?

?
6

)

??????3 分

又题意可得 T ? ? ,? ? ? 1,? f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 sin( 2 x ? ? ) =1 时， f (x) 有最大值为 2， 6

?
6

)

?????4 分

? x ? {x | x ?

?

6

? k? , k ? Z }

?????6 分

（Ⅱ）? f ( A) ? 2 s i n2(A ?

?
6

) ?1

? s i n2(A ?

?
6

)?

?2A ?
S?

?
6

?

1 ? bc sin ? 5 5 2 3

5? ? ,? A ? 6 3

1 2

? 0 ? A ? ? ?7 分
????8 分

c?5

????9 分

由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos

? =21 ?a ? 21 3

???12 分

18、解： （1）检查次数为 4 次包含两类情况： ①前 3 次检查中有一个次品，第 4 次检查出次品，其概率为 P1 ?

C 21C 42 A33 1 ? ----2 分 A64 5

A 44 1 ②前 4 次检查全部是合格品，余下两件必是次品，其概率为 P2 ? 4 ? ，----2 分 A 6 15
所以所求概率为 P1 ? P2 ?

1 1 4 ? ? ,-------5 分 5 15 15

(2) ? 的可能取值为 2,3,4,5-----------6 分

P(? ? 2) ?

C 22 C 1A 2C 1 1 2 ? ,P(? ? 3) ? 4 23 2 ? , 2 15 15 C6 A6

1 A44 ? C 2C 42A33 4 P(? ? 4) ? ? , 4 15 A6

C 3C 1A 4 8 P(? ? 5) ? 4 2 4 ? . 4 15 A6
分布列如下表：

(一个 1 分)---------10 分

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?

2

3

4

5

P

1 15

2 15

4 15

8 15

所以 E ? ? 2 ?

1 2 4 8 64 ?3? ?4? ?5? ? --------12 分 15 15 15 15 15

19. 解： （Ⅰ）在 Rt ?ABC 中， AB ? 1 ， ?BAC ? 60? ，∴ BC ? 3 ， AC ? 2 1 分 在 Rt ?ACD 中， AC ? 2 ， ?CAD ? 60? ，∴ CD ? 2 3 ， AD ? 4 …………2 分

1 1 1 1 5 AB ? BC ? AC ? CD ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 …………3 分 2 2 2 2 2 1 5 5 3?2 ? 3 …………………………………………4 分 则V ? ? 3 2 3 （Ⅱ）∵ PA ? 平面 ABCD ，∴ PA ? CD …………………………5 分 又 AC ? CD ， PA ? AC ? A ， ∴ CD ? 平面 PAC ……………………6 分 ∵ E 、 F 分别为 PD 、 PC 中点， ∴ EF / / CD ∴ EF ? 平面 PAC ……………………7 分 EF ? 平面 AEF ，∴平面 PAC ? 平面 AEF …………8 分 ∵ （Ⅲ）取 AD 的中点 M ，连结 EM ，则 EM / / PA ， ∴ EM ? 平面 ACD ，过 M 作 MQ ? AC 于 Q ， 连 接 EQ ， 则 ?EQM 为 二 面 角 E ? AC ? D 的 平 面
∴ S ABCD ? 角。……………………10 分 ∵ M 为 AD 的中点， MQ ? AC ， CD ? AC ， ∴ MQ ?

1 1 EM 1 3 CD ? 3 ，又 EM ? PA ? 1 ，∴ tan ?EQM ? ， ? ? 2 2 MQ 3 3

故 ?EQM ? 30? 即二面角 E ? AC ? D 的大小为 30? …………………………12 分。 20. 解： （Ⅰ）解法 1：由抛物线方程，得焦点 F (1, 0) ，? c ? 1. ………1 分 故a ?b ? c ?1
2 2 2

①

又椭圆 C1 经过点 M (1, ) ，∴

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b

②
2

4 2 2 2 由①②消去 a 并整理，得， 4b ? 9b ? 9 ? 0 ，解得 b ? 3 ，或 b ? ?

3 （舍去） ， 4

从而 a ? 4 ． 故椭圆的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 ． 4 3

……………4 分

解法 2：由抛物线方程，得焦点 F (1, 0) ，

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3 3 ? c ? 1. ? 2a ? (1 ? 1)2 ? ( )2 ? (1 ? 1)2 ? ( ) 2 ? 4, ? a2 ? 4, b2 ? 3. 2 2
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 ． 4 3

……………4 分

（Ⅱ）①当直线 l 垂直于 x 轴时， 则 A(1, ), B(1, ? ), C (1, 2), D(1, ?2) ?

3 2

3 2

3 ? . CD 4

AB

…5 分

②当直线 l 与 x 轴不垂直，设其斜率为 k (k ? 0) ，则直线 l 的方程为

? y ? k ( x ? 1), ? y ? k( x 1 ) ? x 2 y 2 ? 由 ?1 ? ? 3 ? 4

得

( 3? 4 2 x2 ? 8 2 x? 4 2 ? 1 ? k ) k k 2

0

显然 ?1 ? 0 ，? 该方程有两个不等的实数根．设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y 2 ) .

8k 2 x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2
所以， | AB |?

4(k 2 ? 3) x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
2 8k 2 2 16(k 2? 3) 12(1 ? k ) ) ? ? . ……………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 1? k 2 ? ( ? y ? k ( x ? 1), 2 ? y ? 4x

由?

得

k 2 x2? ( 2 k 2? 4 ) x? k2 ? 0

显然 ?2 ? 0 ，? 该方程有两个不等的实数根．设 C ( x3 , y3 ) ， D( x4 , y4 ) .

? k ? 0, ? x3 ? x4 ? 2 ?

4 , k2

由抛物线的定义，得 | CD |? x3 ? x4 ? 2 ? 4 ?

4 4(1 ? k 2 ) ? . ……………10 分 k2 k2

?

AB 12(1 ? k 2 ) k2 3k 2 3 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 3 CD 3 ? 4k 4(1 ? k ) 3 ? 4k 4? 2 4 k

综上，当直线 l 垂直于 x 轴时， 21.

AB CD

取得最大值

3 . ……………………………12 分 4

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1 2 x 0 ? x 0 ) max ， x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x0 ? 1 时， ? x0 ? x0 取得最大值 ，所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解，
所以 a ≥ ( ?

因 为 h(1) ? 0 ， 所 以 方 程 （ * ） 的 解 为 x2 ? 1 ， 即

m ? m2 ? 4m ?1 ， 解 得 2

m?

1 ?????12 分 2
2 2

22.（1）圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ，展开得

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 化为极坐标方程 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0
（2） Q 的直角坐标为 ( 2 ,? 2 ) ， 点 且点 Q 在圆 C 内，（1） 由 知点 C 的直角坐标为 (1,?1) 所以 | QC |? 2 ? 2 ，所以 P, Q 两点间距离的最小值为 | PQ |? 2 ? (2 ? 2 ) ?

2

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