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高一数学函数的表示法1、2


2013年6月17日星期一4时30分4秒

云在漫步

§1.2.2 函数的表示方法
第一课时
学习过程

一、复习函数的三种表示方法
问题
初中学过哪些函数的表示方法?

解析法、图象法、列表法

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问题 课本1.2.1节的三个实例分别用了哪些表示方法?能否用其
它的表示方法?其各自的优点是什么?

实例(1)中的函数是用解析法表示的,简明表示了h 与t之间的关系,也可用图象法、列表法表示,但列表 法不能全面表示变量间的关系。 实例(2)中的函数是用图象法表示的,直观形象地表 明了函数的变化趋势,此函数的解析式不易得到,列表 法也不能形象地表示其变化趋势。 实例(3)中的函数是用列表法表示的,可直接看出恩 格尔系数随年数变化的情况,也可用图象法表示,但解 析式不明确。
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三种表示方法的优点

解析法

①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求 出其对应的函数值③便于研究函数的性质。解 析法是中学研究函数的主要表达方法。 能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今后 利用数形结合思想解题的基础。 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数 的对应值,当自变量的值的个数较少时使用, 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。

图象法

列表法

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二、学习例3,掌握用三种方法表示函数
【例3 】某种笔记本的单价是5元,买x

个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}
用解析法可将函数y=f(x)表示为 用列表法可将函数表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

?x ? ?1,2,3,4,5??

y ? 5x, x ? ?1,2,3,4,5?

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用图象法可将函数表示为下图 yy
25 20
15 10 5 0

. . .
1 2 3

.
4



5

x

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问题

(1)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?
函数的定义域的函数存在的前提,再写函数 解析式的时候,一定要写出函数的定义域。 (2)用描点法画函数图象的一般步骤是什么?本题中的图象 为什么不是一条直线? 列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线) 函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、 离散的点等。

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三、学习例4,学会利用表格画出函数的图象
【例4 】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学

年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一 次 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第三次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6

王伟 张城 赵磊 班级平均分

98 90 68 88.2

表格能否直观地分析出三位同学成绩高低?如何才 能更好的比较三个人的成绩高低?

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y

100
90 80

.
班? 平 均 分




. . . .


.
■ ▲

王伟

?



? ▲
■ ■

?

? 张城

▲ ■



?

70
60 0

赵磊 1

2

3

4

5

6

x

解:将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示 出来。可以看出:王伟同学学习情况稳定且成绩优秀;张城 同学的成绩在班级平均水平上下波动,且波动幅度较大;赵 磊同学的成绩低于班级平均水平,但成绩在稳步提高。
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五、求函数的解析式

一:直接代入法?已知f ( x)求f ? g ? x ? ? ? ? ? 1 2 f ( )、 ( x 2 ? 1) 例1已知函数 f ( x) ? x ? x ?1,求 x f 解: 1 1 2 1 f ( ) ? ( ) ? ?1 x x x f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x 2 ? 1) ? 1

? x ? 3x ? 1
4 2

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二:待定系数法(已知函数类型)
例2 (1) 已知f(x)是一次函数, 且f [ f(x)]=9x+8,求f(x);

(2) 已知f(x)为二次函数,且 f(x+1)+f (x–1)= 2 x 2 ? 4 x ,求f (x).

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(1)解: 由题意令 f(x)=ax+b a ? 0 则f [ f(x)]= a x ? ab ? b.
2

则由 f [ f ( x)] ? 9 x ? 8 得 ∴ 或 b1 ? 2
a1 ? 3
a2 ? ?3 b2 ? ?4.
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a ?9
2

ab ? b ? 8.

∴ f(x)=3x+2或 f(x)=-3x-4
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(2)

解:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0),
2

? f ( x ? 1) ? ( x ?1) ? 2 x ? 4 x,
2

? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c
2 2

? 2 x ? 4 x.
2

整理得: ax ? bx ? a ? c ? x ? 2 x.
2 2

解得:

a=1 2 b=-2 ? f ( x) ? x ? 2 x ?1. c=-1. 2013年6月17日星期一4时30分4秒 云在漫步

三:换元法、配凑法 ?已知f ? g ? x ?? 求f ( x) ? ? ?

例3 (1)设f(2x–3)=4x+5, 求f(x).

t ?3 解一:令 t ? 2 x ? 3, x ? , 2

? f (2 x ? 3) ? 4 x ? 5,

t ?3 ? f (t ) ? 4 ? ? 5 ? 2t ? 11. 2 把 t 换成 x, 得 f ( x) ? 2 x ? 11.
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解二: f (2 x ? 3) ? 4 x ? 5

? 2(2 x ? 3) ? 11 ? f ( x) ? 2 x ? 11
(2)已知f ( x ? 1) ? x ? x, 求f ( x)
2

(3)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求f ( x) 1 x (4)已知f ( ) ? , 求f ( x) 2 x 1? x

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四:解方程组法
1 例4: ( x)是满足af ( x) ? f ( ) ? ax( x ? R, x ? 0) f x a为常数且a ? ?1, 求f ( x) 1 ? ?af ( x) ? f ( x ) ? ax ? 解:由题意知 ? ? af ( 1 ) ? f ( x) ? a ? x x ? a 2 a x? 解得 f ( x) ? 2 x a ?1 a 2 a x? ? f ( x) ? 2 x ( x ? 0) 2013年6月17日星期一4时30分4秒 a ? 1 云在漫步

五:赋值法
例5: f ( x)是R上的函数,且f (0) ? 1,对任意的 设 实数x, y有f ( x ? y ) ? f ( x) ? y (2 x ? y ? 1), 求f ( x)

解:令x=y则f (0) ? f ( x) ? x(2 x ? x ? 1) 又f (0) ? 1 ?1 ? f ( x) ? x ? x
2

? f ( x) ? x ? x ? 1
2

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五、学习例5,学会画分段函数的图象
【例5 】画出函数y=|x|的图象.

解:

y=

x, x≥0, -x, x<0.

y

图象如下:
5 4 3 2

-3 -2

.1 . . -1
0 1

2

3

x

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例6(1)画函数 f ( x) ? 2 x, x ? R, 且 | x |? 4 的图象.

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x 的 (2).作函数 y ? | x| 图象
? ?1,x ? (0, ?) (2) f ( x ) = ? ?? 1,x ? (??,0]

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(3)

y=

x

2

–4x+3(x?(-1,3))

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(4) y = | x – 1 | + | x + 1 |

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? x 2 ? 1,x ? R ? (5)y=?0, x?0 ? ? x 2 ? 1,x ? R ? ?

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问题 比较例5的做图方法与例3、例4有何不同?
例3、例4采用的是描点法, 例5是借助于已知函数画图象

描点法一般适用于那些复杂的函数,而对于一些结构比 较简单的函数,则通常借助于一些基本函数的图象来变换。

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课后思考:
f ( x)、f (? x)、-f ( x)、f ( x )、f ( x) 图象见的关系 提示:由一般到特殊去思考

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1、f ( x)、f ( ? x)的图象关于y轴对称 2、f ( x)、-f ( x)的图象关于x轴对称 3、f ( x)的图象保留y轴右边将右边的 对称翻折到左边得到函数f ( x )图象 4、f ( x)的图象保留x轴上方将下方的 对称翻折到上方得到函数 f ( x) 图象 5、f ( x)、-f ( ? x)的图象关于原点对称
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巩固练习
P24) 1、2、3

系统小结
1、体会函数的三种表示方法 2、通过例3、4、5,掌握描点法和利用已知函数作图 的方法、步骤,体会函数的图象(数形结合)在解决 数学问题时的直观效果。 3、掌握各种形式的函数解析式的求法。

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§1.2.2 函数的表示方法
学习目标

第二课时

1、通过实例体会分段函数的概念并了解分段函数在解 决实际问题中的应用。 2、掌握映射的概念,会判断一个对应关系是否是映射。 体会由特殊到一般的思维方法,理解函数是一种特殊的 映射。

2013年6月17日星期一4时30分4秒

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学习过程

一、复习函数的三种表示方法 三种表示方法的优点

解析法

①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求 出其对应的函数值③便于研究函数的性质。解 析法是中学研究函数的主要表达方法。 能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今 后利用数形结合思想解题的基础。 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数 的对应值,当自变量的值的个数较少时使用, 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。
2013年6月17日星期一4时30分4秒 云在漫步

图象法

列表法

?已知 一:直接代入法 f ( x)求f ? g ? x ?? ? ? ?
二:待定系数法(已知函数类型) 三:换元法、配凑法 ?已知f ? g ? x ?? 求f ( x) ? ? ? 四:解方程组法 五:赋值法

求函数解析式的几种方法:

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二、由例6引入分段函数的概念
例6 某市空调公交车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内,票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足 5公里的按5公里计算)。 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出 票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。
问题 ①自变量的范围是怎样得到的?②自变量的范围为什么分 成了四个区间?区间端点是怎样确定的?③每段上的函数 解析式是怎样求出的?
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解:设票价为y,里程为x,则根据题意,自变量x的 取值范围是(0,20]

由公交车票价的规定,可得到以下函数解析式:

y=

2, 3, 4, 5,

0<x ≤ 5 5< x ≤ 10 10<x ≤ 15 15<x ≤ 20

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根据函数解析式,可画出函数图象,如下图
y 5 4 3 2○ 1
○ ○ ○

有些函数在它的定义 域中,对于自变量的 不同取值范围,对应 关系不同,这种函数 通常称为分段函数。

0

5

10 15 20

x

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分段函数定义
若在函数的定义域中,对于 自变量的不同取值范围,以含有x 的不同式子或常数来表示对应法 则,则把这种函数叫做分段函数。
即:不同的自变量范围,函数的解 析式表达式不一样!

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注意: 1、分段函数在形式上,尽管会有多
于一个的表达式,但它仍然表示一个函数, 不能理解成几个函数的合并; 2、分段函数的图像一般由多于一段的 线段或曲线段以及点组成,同样也应该把 他们看作一个整体,而不是几个图像; 3、在求分段函数的函数值时,对给 定的自变量,首先要确定它所在的范围, 再根据该范围的函数表达式计算函数值; 4、分段函数定义域各段定义域的并 集,其值域是各段值域的并集 。
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3.如 图 在 边 长 为的 正 方 形 4 ABCD的 边 上 有 一 点, P 设 点P运 动 的 路 程 为, ?APB的 面 积 为 , 求: x y (1) y与x之 间 的 函 数 关 系 式 ; ( 2)画 出y ? f ( x )的 图 象 。
D C

沿着折线 BCDA由 点B( 起 点) 向 点A( 终 点) 运 动。

? 2 x, x ? ? 0, 4? ? y ? ?8, x ? ? 4,8? ? ?2(12 ? x), x ? ? 8,12?
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P
A B

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三、由函数的概念导出映射的概念
问题 函数是两个非空数集间是一种确定的对应关系。若将 数集扩展到任意的集合时,会得到什么结论? 阅读课本P22~23 设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中 都有惟一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。

映射

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问题 函数概念与映射概念之间有怎样的关系?有什么异同?

函数是从非空数集A到非空数集B的映射。映射 是从集合A到集合B的一种对应关系,这里的集 合A、B可以是数集,也可以是其他集合。函数 是一种特殊的映射。

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问题 如何判断一个对应关系是不是映射?

A ?? ? B ?
求正弦

30

0 0 0

1 2 2 2 3 2 1

45 60 90

0

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A ?? ? B ?
求平方

3 -3 2 -2 1 -1

9 4 1

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A ?? ? B ?
开平方

9 4 1

3 -3 2 -2 1 -1

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A ?? ? B ?
乘以2

1 2

3

1 2 3 4 5 6

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映射f:A→B,可理解为以下几点:
1、映射有三个要素:两个集合、一个对应法则, 三者缺一不可 2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应 3、A中元素与B中元素的对应关系,可以是:一 对一,多对一,但不能一对多

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四、通过例7巩固映射概念并会判断是否为映射
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f: 数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B = ?(x, y) | x ? R, y ? R? ,对应关系f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应; (3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对 应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是 新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里 的学生;

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巩固练习
P23)4

系统小结 1、函数的三种表示法及其各种的优点
2、分段函数 3、映射的概念

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