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2.1.1 向量的概念


张喜林制

2.1.1

向量的概念

考点知识清单
1.位移只表示质点位置的变化,起、终点间位置关系,而与 无关. 2.我们把具有___ _称为向量,本节主要学习的是____,只有____ 两个要素, 3.具有方向的线段,叫做____.____ 就是向量的直观形象.有向线段的方向表示____,线段的长度表 示____.位移的距离叫做____. 4.用有向线段表示向量时,与它的始点位置____,即同向且‘等长的有向线段表示____,或 . 5.两个向量 a 和 b 同向且等长,即 a 和 b 相等,记作____. 6.长度等于零的向量,叫做 .记作 0.零向量的方向 7.通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的 8.如果向量的基线互相平行或重合,则这些向量 行于 b,记作 .共线的向量称共线向量(或平行向量) .向量 a 平

9.任给一定点 O 和向量 a,过点 0 作有向线段 OA ? a 则点 A 相对于点 O 的位置被向量 a 唯一确定,这时 向量 OA 叫做点 A 相对于点 O 的

要点解读
1.位移的概念 在物理学中,研究物体在平面内的位置和运动规律时,一般忽略它的大小,把它看做__个质点,用点 表示它在平面的位置.如图 2 -1 -1 -1 所示,一个质点从点 A 运动到点 A’,这时点 A’相对于点 A 的位 0 置是北偏东 30 ,3 个单位.

如果我们不考虑质点运动的路线,只考虑点 A’相对点 A 的“方向”和“直线距离”,这时,我们就说 质点在平面上做了一次位移,“直线距离”叫做位移距离.
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2.向量的概念 在高中阶段,我们暂且把具有大小和方向的量称为向量,更具体些,我们先把一个向量理解为?一个位 移”或表达为“一点相对于另一点的位置”的量. 3.向量的表示方法 (1)用有向线段来表示的几何表示法①有向线段 从点 A 位移到点日,用线段 AB 的长度表示位移的距离,在点 B 处画上箭头表示位移的方向,这时我们 说线段 AB 具有从 A 到 B 的方向.具有方向的线段,叫做有向线段.点 A 叫做有向线段的始点,点 B 叫做 有向线段的终点.显然,有向线段就是向量的直观形象,有向线段的方向表示向量的方向,线段的长度表 示位移的距离,位移的距离叫做向量的长度. ②向量的几何表示法 以 A 为始点,以 B 为终点的有向线段记 : AB (如图 2 -1 -1 -2) ,应注意,始点一定要写在终点的前面,

已知 AB, AB 的长度记作 | AB | . 如果有向线段 AB 表示一个向量,通常我们就说向量 AB. (2)用字母表示向量 向量除了用上面的符号表示外,通常在印刷时,用黑体小写字母 a、b、c、?表示向量,手写时,可写 成带箭头的小写字母 a, b, c? 在图 2 -1-1-3 中,有向线段 AA 、 BB, CC , ? 都表示同一向量 a,这时可记作

M ? BB ? CC ? ? ? a.
由以上分析,一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”. 4.向量的模如果 AB ? a, 那么 AB 的长度,表示向量 a 的大小,也叫做 a 的长(或模) ,记作 | a | . 5.与向量有关的概念 (1)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 两个向量 a 和 b 同向且等长,即 a 和 b 相等,记作 a=b. (2)零向量 长度等于零的向量,叫做零向量,记作 O,零向量的方向不确定,是任意的. (3)单位向量 长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量. (4)共线向量(平行向量)通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的基线(如图 2 -1 -1 -4).

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如果向量的基线互相平行或重合, 则称这些向量共线或平行. 这就是说, 共线向量的方向相同或相反, 向量 a 平行于 b,记作 a //b. 6.用向量表示点的位置 任给一定点 0 和向量 a(如图 2 -1 -1 -5) ,过点 0 作有向线段 OA ? a 则点 A 相对于点 0 的位置被向量 a 所唯一确定,这时向量 OA, 又常叫做点 A 相对于点 0 的位置向量, 例如, 在谈到天津相对于北京的位置时 (如图 2-1-1-6) , 我们说, “天津位于北京东偏南 50 , 114 km” 点 0 表示北京的位置,点 A 表示天津的位置,那么向量 OA ? “东偏南 500,114 km”就表示了天津相对 于北京的位置,


典例分类剖析
考点 1 向量的有关概念

[例 1] 有下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功,其中 不是向量的有( ). A.l 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [试解]____. (做后再看答案,发挥母题功能)[解析] 本题主要考查向量的概念.确定一个量是不 是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向,由于速度、位移、力、加速度都是由大小 和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,不是向量. [答案] D 1.对下列各命题的真假作出判断. (1)线段不是向量,而有向线段是向量; (2)直角坐标系中的 x 轴和 y 轴都是向量; (3)温度有零上温度和零下温度,所以温度是向量. 考点 2 向量的平行相等

[例 2] (1)命题“若 a∥b,b∥c,则 a//c”( ). A.总成立 B.当 a#0 时成立 ‘C.当西≠O 时成立
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D.当 c#a 时成立

(2)下列命题中,真命题的个数为( ①若 a≠b.则 a 一定不与 b 共线:

).

②若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④两向量 a、b 相等的充要条件是的充要条件是 A 与 C 重合,B 与 D 重合. ?

?| a |?| b |, ?a // b;

⑤ AB ? CD
A.1 B.2 C.3 D.4 [试解] . (做后再看答案,发挥母题功能) [解析] (1)这里要做出正确选择,就是要探求题中命题成立的条件,注意到零向量与其他任何非零 向量都平行, 两非零向量 a、c 不平行,而 b=0 时有 a//b,b//c,但这时命题不成立,故不能选择 A, 也不能选择 B 与 D. (2)①不正确, 向量不相等,可能仅由于模不等,方向仍可能是相同的,a 与 b 有共线的可能. ②正确,? AB ? DC,? | AB |?| DC | AB // DC, 又 A、B C、D 不共线,故四边形 ABCD 是平行四边形.反 之,在 OABCD 中 ③正确. a=b, a、b 的长度相等且方向相同.又 b=c'. . .b、c 的长度相等且方向相同.a、c 的长 度相等且方向相同,即 a=c. ④不正确,当 a//b,但方向相反时,即使 lal=怕 I,也不可能得到 a=b. ⑤不正确, , AB//? DC,? AB ? DC. 因为时,应有 AB ? CD 及 A 到 B 与 C 到 D 的方 | AB |?| CD | 向相同,但不一定要 A 与 C 重合,B 与 D 重合.综上所述,答案为 B. [答案] (1)C(2)B [点拨] 解此题的关键首先是正确理解有关概念:(1)长度相等的向量,方向可以是不同的,因此它 们不一定是相等的向量,而相等的向量必须是长度相等且方向相同,即通过平移可以重合的向量; (2)用 表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时,一定要搞清字母的顺序,起点在前、终点在后;(3) 共线向量也是平行向量,这与平面几何中的相关概念有所不同;其次是充分利用图形的直观性,向量之间 的关系可通过图形的几何特征观察得到. 2.如图 2 -1 -1 -7 所示,D、E、F 分别是等腰 Rt△ABC 各边的中点, ?BAC ? 90 .
?

(1)分别写出图中 DE , FD 与向量长度相等的向量; (2)分别写出图中与向量 DE, FD ? 相等的向量; (3)分别写出图中与向量 DE , FD 共线的向量,

考点 3

向量的几何表示
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[例 3]某人从 A 点出发向西走了 150 m 到达 B 点,然后改变方向向北偏西 300 走了 150 m 到达 C 点. (1)作出向量 AB, BC, AC; (2)求 | CA | .

[解析] 依题意作出向量,运用向量的几何意义求解. (1)见图 2-1 -1-8 所示.

(2) ? ?ABC ? 120? , | AB |? | BC |,? ?ABC 为等腰三角形,取 AC 中点 D,连接 BD,则 BD ? AC .
在 Rt ?ABD 中. | AD |?| k | | cos ?BAD ?| AB | ? cos 30 ?
?

3 ? 15o(m), 2

即 | AD |? 75 3(m)

? | AC |? 2 | AD |? 150 3(m) ?

? | CA |?| AC |? 150 3(m) ?

[点拨] 利用向量的几何意义解三角形. 3.(1)如图 2 -1 -1-9,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则以图中 A、B、C、D、E 、D 七点中的任一点 为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,设与向量 OA. 相等的向量个数为 m,与向量 OA 的模 相等的向量个数为 n,则 m、n 的值分别为( ).

A.3、 11.......... ..B.3、 23.......... ...C.7、 12.......... ......D.7、 24
(2)如图 2 -1 -1 -10.存四边 AB CD 中.且 AB ? DC, | AB |?| AD | ,则四边形为

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学业水平测试
1.下列各量中不是向量的是( ). A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列四个命题: ①时间、速度、加速度都是向量②向量的模是一个正实数③相等向量一定是平行向量④共线向量一定在 同一直线上,其中真命题的个数为( ) A.O B.l C.2 D.3 3.如图 2 -1 -1 -11,在⊙0 中,向量 OB, OC, AO 是( A.有相同起点的向量 ). D.相等的向量

B.有公共点的向量 C.模相等的向量

4.如图 2 -1 -1 -12.在四边形 ABCD 中 , AB ? DC, 则相等的向量是( ).

A.AD与CB

B.OB与OD

C.AC与BD

D.AO与OC

高考能力测试 (测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分×8 =40 分)
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1.下列结论中正确的是(

).

A.若 | a |?| b | ,则 a、b 的长度相等且方向相同或相反 B.若向量 AB , CD 满足且 | AB |?| CD |, AB 与 CD 同向,则 AB ? CD C.若 a=b,则 a∥b D.由于零向量方向不定,故零向量不能与任一向量平行 2.如图 2 -1 -1 -13,0 是正六边形 ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是(

).

A.OA 与 EF 方向相反

B.OB 与 OE 模不相等

C.AE 与 DB 相等
3 . 如 图 2 -1 -1

D.BE 与 EF 不相等
-13 , 设 0 是 正 六 边 形 ABCDEF ’ 的 中 心 , 在 向 量 ).

OB 、 OC、 OD.OE, OF, AB , BC.CD, DE, EF, FA 中与 OA 共线的向 量有(
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.下列命题: ①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同; ②若非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B C、D 四点共线; ③若非零向量 a 与 b 共线,则 a=b; ④四边形 ABCD 是平行四边形,则必有 ⑤向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反, 其中真命题的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 5.下列命题中不正确的是( ). A.零向量没有方向 B.零向量只与零向量相等 C.零向量的模为 O D.零向量与任何向量共线 6.给出下列命题: ①若 a=b,b=c,则 a=c;②若 a=b,则 a∥b;③若 a∥b,则 a=b. 其中正确命题的 序号是( ). A①③ B.①② C.②③ D.③ AB ? DC; ).

7.如图 2 -1 -1 -14,设四边形 ABCD 是平行四边形,则在下列各对向量中,相等的一对向量为(

A.AB与CD

B.AD与CB

C.AC与BD

D.DA 与CB

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8. (2006 年全国卷Ⅲ)下列命题中,正确的是(

)

A. | a |?| b |? a ? b
C.a ? b ? a // b

B. | a |?| b |? a ? b D. | a |? 0 ? a ? 0

二、填空题(5 分 x4 = 20 分) 9.如图 2 -1- -1 -15,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. (1)与向量 ? EC 相等的向量有 (2)若 | AB |? 3, ED 则向量的模等于 10.如图 2 -1 -1 - 16 所示,D、E、F 分别是△ABC 的三边 AB、,BC、AC 的中点,则与向量 EF 相等的向 量为

11.设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB , BC , CD, DA 的中点,则 KL = (填“=”或“≠”) 12.判断下列各命题:①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a、b 的方向相同或相反; ③若向量 AB, CD 满足 | AB |?| CD | .且 AB 与 CD 同向,则 AB ? CD; ④若︱a︱=︱b︱,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反; ⑤由于零向量 O 的方向不确定,故 O 不能与任何向量平行.其中不正确的序号是 三、解答题(共 40 分) 13.(10 分)如图 2-1 -1 -17,四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形. (1)写出与向量 BC 相等的向量; (2)写出与向量 BC 共线的向量.

NM .

14.(15 分)如图 2-1 -1 -18,在等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 D,EF 是过点 D 且平行于 AB 的线段.
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(1)写出图中的各组共线向量; (2)写出图中的各对同向向量; (3)写出图中的各对反向向量.

15:(15 分)一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后又改变方向向北偏西 40。走了 200 km 到达 C 点,最后又改变方向向东行驶了 100 km 到达 D 点. (1)作出向量 AB BC , CD; (2)求 | AD | .

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