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2013年无锡市高三数学一模


2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(—) 数学Ⅰ试题
2013.3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , A ? ?1,3,5? , B ? ?1,2,3,5? ,则 ? ( A ? B) ? U 2.若实数 a 满足 .

2 ? ai ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 a ? 1? i



3.已知 m 为实数,直线 l1 : mx ? y ? 3 ? 0 , l2 : (3m ? 2) x ? my ? 2 ? 0 , 则“ m ? 1 ”是“ l1 // l2 ”的 条件(请在“充要、充分不

While I ? 20

T ?1 I ?3

T ?T ? I I ? I ?2

必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空) . 4.根据右图的伪代码,输出的结果 T 为 .

End While Print T

5.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l ? ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? . 则所有正确命题的序号是 . 6.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上, 则露在外面的 6 个数字恰好是 2,0,1,3,0,3 的概率为 .

1 0 ,则 cos(30 ? 2? ) 的值为 . 3 ? ? ? ? ? ? 0 8.已知向量 a , b 的夹角为 45 ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ?
7.已知 cos(75 ? ? ) ?
0



9.设 Sn , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 , n? N * , ? Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15



10.已知 F , F2 是双曲线的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正 ?MF F2 ,若边 MF1 的中点在 1 1 此双曲线上,则此双曲线的离心率为
x



11.在平面直角坐标系 xOy 中, A(1, 0) ,函数 y ? e 的图像与 y 轴的交点为 B , P 为函数

??? ??? ? ? y ? ex 图像上的任意一点,则 OP?AB 的最小值
12.若对于给定的正实数 k ,函数 f ( x) ?



k 的图像上总存在点 C ,使得以 C 为圆心,1 为 x
1

半径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 13.已知函数 f ( x) ?

. .

5 5 x x ?1 x ? 2 x ? 3 ? ? ? ,则 f (? ? 2) ? f (? ? 2) ? 2 2 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4

14.设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ? M , ?? ? ,且 M ? 0 ,对于任意 a , b , c ? ( M , ??) , 若 a , b , c 是直角三角形的三条边长,且 f ( a ) , f (b) , f (c) 也能成为三角形的三 条边长,那么 M 的最小值为 . 二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明, 计 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A , B , C 成等差数列.

3 , b ? 3 ,求 a ? c 的值; 2 (2)求 2sin A ? sin C 的取值范围.
(1)若 BA?BC ?

??? ??? ? ?

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,已知 E ,

C1
F , G 分别为棱 AB , AC , AC1 的中点, 1

G A1 B1

?ACB ? 900 , A1F ? 平 面 ABC ,
CH ? BG , H 为垂足.求证:
(1) A E // 平面 GBC ; 1 (2) BG ? 平面 ACH .

C F A E

H B

2

17.(本小题满分 14 分) 已知实数 a ,b ,c ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 满足 f (1) ? 0 ,设 f ( x ) 的导函数 为 f ?( x ) ,满足 f ?(0) f ?(1) ? 0 . (1)求

c 的取值范围; a

(2)设 a 为常数,且 a ? 0 ,已知函数 f ( x ) 的两个极值点为 x1 , x2 , A( x1 , f ( x1 )) ,

? 2a a ? B( x2 , f ( x2 )) ,求证:直线 AB 的斜率 k ? ? ? , ? ? . 6? ? 9

18.(本小题满分 16 分) 某部门要设计一种如图所示的灯架, 用来安装球心为 O , 半径为 R(米) 的球形灯泡. 该

? 灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托 EA , ? ? ? 、圆弧 EB , EC , ED 所在圆的圆心都是 O 、半径都是 R (米)
的圆心角都是 ? (弧度) ;灯杆 EF 垂直于地面,杆顶 E 到地面的 距离为 h (米) ,且 h ? R ;灯脚 FA1 , FB1 , FC1 , FD1 是正四 棱锥 F ? A B1C1D1 的四条侧棱, 正方形 A1B1C1D1 的外接圆半径为 1

O
D

C
B
E

A

R (米) ,四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 ? (弧度) .已知 a 灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元),灯托造价是每米 (元),其中 3 R , h , a 都为常数.设该灯架的总造价为 y (元) .
(1)求 y 关于 ? 的函数关系式;

F
(2)当 ? 取何值时, y 取得最小值?

D1

C1 B1

A1

3

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右顶点分别为 A ,B , x2 ? y 2 ? 4 上有一动点 P ,P 圆 4

在 x 轴的上方, C (1, 0) ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D ,连结 DC , PB . (1)若 ?ADC ? 90 ,求 ?ADC 的面积 S ;
0

(2)设直线 PB , DC 的斜率存在且分别为 k1 , k2 ,若 k1 ? ? k2 ,求 ? 的取值范围.

y

D

P

A

O

C

B

x

4

20.(本小题满分 16 分) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 的 和 为 Sn , 对 于 任 意 正 整 数 m , n ,

Sm?n ? 2a2m (1 ? S2n ) ? 1恒成立.
(1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列.

5

2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(—) 数学 II(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内 ...... .......... 作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A. (选修 4-1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图, 已知 CB 是⊙ 的一条弦, A 是⊙ 上任意一点, O O 过点 A 作⊙ 的切线交直线 CB O 于点 P , D 为⊙ 上一点,且 ?ABD ? ?ABP . O 求证: AB ? BP ? BD .
2

A C P

· O D

B

B. (选修 4—2:矩阵与变换) (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

(第 21-A 题)

?1 a ? ? ?1? ? 的一个特征值为 ?1 ? ?1 ,其对应的一个特征向量为 ?1 ? ? 1 ? , ?c 0  ? ? ?
5

已知 ? ? ? ? ,求 A

?8? ?1?

?.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知直线 l 的参数方程 ?

? x ? 2?t ? ( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程: ? ? 2sin ? ? 0 . ? y ? 1 ? 3t ?

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在圆 C 上求一点 P ,使得点 P 到直线 l 的距离最小.

D.(选修 4—5:不等式选讲) (本小题满分 10 分) 已知 a , b , c 都是正数,且 a ? 2b ? 3c ? 6 ,求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

6

22. (本小题满分 10 分) 如图,圆锥的高 PO ? 4 ,底面半径 OB ? 2 ,D 为 PO 的中点,E 为母线 PB 的中点,

F 为底面圆周上一点,满足 EF ? DE .
(1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O ? DF ? E 的正弦值.

P

D

E

A

O F

B

23. (本小题满分 10 分) (1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的 概率都是 0.5 ,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用 ? 表示这位游客游览的景点数和 没有游览的景点数差的绝对值,求 ? 的分布列和数学期望; (2)某城市有 n ( n 为奇数, n ? 3 )个景点,一位游客游览每个景点的概率都是 0.5 , 且该游客是否游览这 n 个景点相互独立, ? 表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 用 数差的绝对值,求 ? 的分布列和数学期望.

7

答案:

8

9

10

11

12

13

14

15


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