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高考数学第二轮专题复习之专题7立体几何


象山县数学教研组高考资料内部交流资料

高考数学第二轮专题复习之立体几何
象山县数学教研组高考资料内部交流资料 【高考考纲解读与考点链接】 1、平面的概念及平面的表示法,理解三个公理及三个推论的内容及作用,初步掌握性质与 推论的简单应用。 2、空间两条直线的三种位置关系,并会判定。 3、平行公理、等角定理及其推论,了解它们的作用,会用它们来证明简单的几何问题,掌 握证明空间两直线平行及角相等的方法。 4、异面直线所成角的定义,异面直线垂直的概念,会用图形来表示两条异面直线,掌握异 面直线所成角的范围,会求异面直线的所成角。 5.理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理,理解 空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质, 掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. 6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵 活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图,能识别上述的三视图所 表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 7.空间平行与垂直关系的论证. 8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法,掌握三垂线定理及其逆定理,并能熟练解 决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法,熟练解决有关问题. 9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法 (如:直接法、转化法、向量法).对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向 量表示的情况)和距离公式计算距离. 【考点预测】 在 2013 年高考中立体几何命题有如下特点: 1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系. 2.多面体中线面关系论证,空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现. 3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题,填空题出现. 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在 17---22 分之间,题型一般为 1 个选择题,1 个填空题,1 个解答题. 【要点梳理】 1.三视图:正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等. 2.直观图:已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的 线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半. 3.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式: V柱 ? Sh ;锥体的体积公式: V锥 ? 台体的体积公式: V棱台 ?

1 Sh ; 3

1 4 h( S ? SS ? ? S ?) ;球的体积公式: V球 ? ? r 3 . 3 3
2

(2)球的表面积公式: S球 ? 4? R . 4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题,要抓住球的直径与这些 几何体的有关元素的关系. 5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理. 6.利用空间向量解决空间角与空间距离。

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【考点在线】 考点一 三视图

例 1.(2011 年高考海南卷文科第 8 题)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图, 则相应的侧视图可以为( )

练习 1: (2011 年高考江西卷文科 9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示, 则该几何体的左视图为( )

例 2..(2011 年高考安徽卷文科 8)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积

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(A) 48

(B)32+8 ??

(C) 48+8 ??

(D) 80 3

练习 2: (2011 年高考湖南卷文科 4)设图1是某几何体的三视图,则 该几何体的体积为( A. 9? ? 42 C. ? ? 12 考点三 ) B. 36? ? 18 D. ? ? 18 球的组合体

2 3 正视图 侧视图

9 2

9 2

例 3. (2011 年高考辽宁卷文科 10)己知球的直径 SC=4,A,B 是该
? 球球面上的两点.AB=2, ?ASC ? 45 , 则棱锥 S ? ABC 的体积为

( (A)

)

3 3

(B)

2 3 3

(C)

4 3 3

(D)

5 3 3

俯视图 图1

练习 3:2011 年高考海南卷文科 ( 16)已知两个圆锥有公共底面,且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在 同一个球面上.若圆锥底面面积 是这个球面面积的

3 ,则这两个 16

圆锥中,体积较小者的高与体积 较大者的高的比值为 考点四 .

空间中平行与垂直关系的证明

例 4. (2011 年高考山东卷文科 19)如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ? 平面

ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD , AD=A1B1 , ?BAD= 60°.
(Ⅰ)证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ)证明: CC1∥平面A1BD . 练习 4. (2011 年高考江苏卷 16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 考点五 空间角与距离的求解

P

E D A F C B

例 5. (2011 年高考浙江卷理科 20).如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC ,D 为 BC 的中

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点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2(Ⅰ)证明:AP ⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M, 使得二面角 A-MC-β 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在, 请说明理由。 练习 5. (2011 年高考全国卷理科 16)己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 【易错专区】 问题:三视图与表面积、体积 例.(2011 年高考陕西卷文科 5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( (A) 8 ? ) .

2? 3

(B) 8 ? (D)

(C) 8 ? 2? 【考题回放】

2? 3

? 3

1.(2011 年高考浙江卷理科 4)下列命题中错误的是(

)

(A)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? =l ,那么 l ? 平面? (D)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ?

2. (2011 年高考山东卷理科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如 下图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 )

3.(2011 年高考浙江卷理科 3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以 是( )

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列结论中不正确的是( ) ...

(B) AB∥平面 SCD (C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 5.(2011 年高考江西卷理科 8)已知 ?1 , ? 2 , ?3 是三个相互平行的平面.平面 ?1 , ? 2 之 间的距离为 d1 ,平面 ? 2 ,?3 之间的距离为 d2 .直线 l 与 ?1 ,? 2 ,?3 分别相交于 P , P , 1 2

P ,那么“ PP2 = P2 P ”是“ d1 ? d2 ”的( 3 1 3
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

6.(2011 年高考重庆卷理科 9)高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、 4
)

A、 C、 均在半径为 1 的同一球面上, B、 D 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( (A)

2 4

(B)

2 2

(C)1

(D) 2

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7. (2011 年高考四川卷理科 3) l1 ,2 ,3 是空间三条不同的直线, 则下列命题正确的是( l l (A) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 (C) l2 ? l3 ? l3 ? l1 , l2 , l3 共面 (B) l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 ? l3 (D) l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

)

8.(2011 年高考全国卷理科 6) 已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ?? , AC ? l , C 为垂足,

B ? ? , BD ? l , D 为垂足,若 AB ? 2, AC ? BD ? 1, 则 D 到平面 ABC 的距离等于(
(A)

)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

15. (2011 年高考全国卷理科 11)已知平面 ? 截一球面得 圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 ,二面角的平面 ? 截该球
0

面得圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为( (A) 7? ) (B) 9? (c) 11? (D) 13?

16. (2011 年高考全国新课标卷理科 15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积 为 。

17. (2011 年高考全国新课标卷理科 18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 18.(2011 年高考湖南卷理科 19)如图 5,在圆锥 PO 中,

AB 已知 PO = 2 , ⊙O 的直径 AB ? 2 , C 是 ? 的中点,D 为 AC
的中点. (Ⅰ)证明:平面 POD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值. 【高考冲策演练】 一、选择题:

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1. (2009 年高考广东卷 A 文科第 6 题)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.②和④

2. (2009 年高考湖南卷文科第 6 题)平面六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与

CC1 共面的棱的条数为(



A.3 C.5

B.4 D.6

3. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟)已知直线 l 、 m ,平面 ? 、 ? ,且 l ? ? ,

m ? ? ,则 ? //? 是 l ? m 的(
A .充要条件 C .必要不充分条件

)

B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件

4.(山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟)已知 a、b 为直线,α、β 为平面.在下列四 个命题中, ① 若 a⊥ α,b⊥ α,则 a∥ ; b ② 若 a∥ α,b ∥ α,则 a∥ b; ③ 若 a⊥ α,a⊥ β,则 α∥ β; ④ 若 α∥ b,β∥ ,则 α∥ b β. 正确命题的个数是 ( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 5. (山东省泰安市 2012 届高三上学期期末文科)设 l、m、n 为不同的直线,?、 ? 为不同 的平面,有如下四个命题:( ①若 ? ? ?,l ? ? , 则l // ? ③若 l ? m, m ? n, 则l // n ) ②若 ? ? ?,l ? ? , 则l ? ? ④若 m ? ? , n // ?且? // ?则m ? n

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A.0

B.1

C.2

D.3

6. (山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文科)已知正三棱锥 V ? ABC 的主视图、俯 视图如下图所示,其中 VA=4,AC= 2 3 ,则该三棱锥的左视图的面积 ( )

A.9 B.6

C. 3 3

D. 39

7.(山东省烟台市 2012 届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线 m, n 和两 个不同的平面 ? , ? ,则下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , 则m / / n C.若 m / /? , n / /? , 则m / / n ) B.若 ? ? ? ? m, m ? n, 则n ? ? D.若 m / /? , m ? ? ,? ? ? ? n, 则m / / n

8.(2010 年高考全国 2 卷理数 9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥 的体积最大时,它的高为( (A)1 ) (C)2 (D)3

(B) 3

9.(2010 年高考全国 2 卷理数 11)与正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的三条棱 AB 、CC1 、 A1D1 所在直线的距离相等的点( (A)有且只有 1 个 ) (B)有且只有 2 个

(C)有且只有 3 个 (D)有无数个 10. (2010 年高考重庆市理科 10)到两互相垂直的异面的距离相等的点,在过其中一条直线 且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) (A) 直线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 双曲线

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11. (2010 年全国高考宁夏卷 10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在 一个球面上,则该球的表面积为( ) (A) ? a
2

(B)

7 2 ?a 3

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a

2

12. (2010 年高考广东卷理科 6)如图 1,△ ABC 为三角形, AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥ 平面 ABC 且 3 AA? = ( )

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是 2

13.(2011 年高考上海卷理科 7)若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积 为 。 14. (2009 年高考江苏卷第 12 题)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题的序号 ... (写出所有真命题的序号).

15. (山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研文科)已知右上图是一个 空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 . 16.(2011 年高考全国卷文科 15)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 为

C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦值为
三.解答题:

.

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17.(2011 年高考山东卷理科 19)在如图所示的几何 体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90? ,E A⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥ AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C 的大小.

18.(2011 年高考辽宁卷理科 18)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA, QA=AB=

1 PD. 2

(I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.

19. (2011 年高考安徽卷理科 17)如图, ABCDEFG 为多面 体,平面 ABED 与平面 AGFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,

OA ? 1, OD ? 2, VOAB ,△ OAC ,△ ODE ,△ ODF 都是
正三角形。 (Ⅰ)证明直线 BC ∥ EF ; (II)求棱锥 F-OBED 的体积。

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20. (2011 年高考天津卷理科 17)如图,在三棱柱

ABC ? A1B1C1 中 , H 是 正 方 形 AA1B1B 的 中 心 ,

AA1 ? 2 2 , C1H ? 平面 AA1B1B ,且 C1H ? 5.
(Ⅰ )求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (Ⅱ )求二面角 A ? AC1 ? B1 的正弦值; 1 (Ⅲ)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA B1B 1 内,且 MN ? 平面 A B1C ,求线段 BM 的长. 1

21. (辽宁省沈阳市 2011 年高三第二次模拟理科)如图 4,三棱柱 ABC ?ABC 1 中,侧面 1 1 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? AC ? AC ? 2, AB ? BC ,且 AB ?BC ,O 为 AC 中点. 1 (Ⅰ )在 BC1 上确定一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ,并 A1 C1 说明理由; B1 (Ⅱ )求二面角 A ? A1B ? C1 的大小.

A

O
B

C

图4 22. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟理科)如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯 形,平面 PDCE ^ 平面 ABCD, ? BAD

? ADC

90 , AB = AD =

1 CD = a , 2

PD =

2a .

(Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC // 平面 MDE ; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.

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