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高中数学


经典函数测试题及答案
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴是 A. x ? 0 B. x ? ?1 C. x ? ( )

1 2

D. x ? ?

1 2
( )

2.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.函数 y ? ln x ? 2 x ? 6 的零点必定位于区间 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 4.给出四个命题:
n (1)当 n ? 0 时, y ? x 的图象是一条直线;

( )

(2)幂函数图象都经过(0,1) 、 (1,1)两点; (3)幂函数图象不可能出现在第四象限; (4)幂函数 y ? x 在第一象限为减函数,则 n ? 0 。
n

其中正确的命题个数是 A.1 B.2
x

( C.3 D.4



5.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为 A.

( )

1 2

B.2

C.4

D.

1 4
( )

6.设 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 x, 则当 x ? 0 时, f ( x) ? A. ? log2 x B. log2 (? x) C. log2 x D. ? log2 (? x)

2 7.若方程 2( m ? 1 ) x +4 mx ? 3m ? 2 ? 0 的两根同号,则 m 的取值范围为 ( )

A. ? 2 ? m ? ?1 C. m ? ?1 或 m ?

B. ? 2 ? m ? ?1 或

2 3

2 ? m ?1 3 2 D. ? 2 ? m ? ?1 或 ? m ? 1 3

8 . 已 知 f ( x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lg x. 设

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a
9.已知 0 ? x ? y ? a ? 1 ,则有

( ) D. c ? a ? b ( )
1

A. loga ( xy) ? 0

B. 0 ? loga ( xy) ? 1

C.1< loga ( xy) ? 0

D. loga ( xy) ? 2 ( )

10.已知 0 ? a ? 1 , loga m ? loga n ? 0, 则 A. 1 ? n ? m B. 1 ? m ? n C. m ? n ? 1 D. n ? m ? 1

11.设 f ( x ) ? lg

2? x ? x? ?2? , 则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 2? x ?2? ? x?
B. (?4,?1) ? (1,4) C.( ? 2,?1) ? (1,2)

( ) D.( ? 4,?2) ? (2,4)

A.( ? 4,0) ? (0,4) 12.已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( ) ? loga x, x ? 1
1 3
C. ? , ?

A.(0,1) B.(0, )

?1 1 ? ?7 3 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?7 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13.若函数 y ? loga (kx2 ? 4kx ? 3) 的定义域是 R,则 k 的取值范围是 .

14. 函数 f ( x) ? 2ax ? 2a ? 1, x ? [?1,1], 若 f ( x) 的值有正有负, 则实数 a 的取值范围为 . 15.光线透过一块玻璃板,其强度要减弱 有这样的玻璃板 16.给出下列命题:
x ①函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同;

1 1 ,要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少 3 10

, lg 3 ? 0.4771 ) 块。 (参考数据: lg 2 ? 0.3010

②函数 y ? x 与 y ? 3 的值域相同;
3 x

③函数 y ?

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与函数 y ? 均是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x

2 ④函数 y ? ( x ? 1) 与 y ? 2 x ? 1 在 R? 上都是增函数。

其中正确命题的序号是



2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 设 a ? 0 , f ( x) ? ⑴求 a 的值; ⑵证明: f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数。

ex a ? 是 R 上的偶函数。 a ex

18. (本小题满分 12 分) 记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义 x ?1

域为 B。 ⑴求 A; ⑵若 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数, 并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,f ? ? ? 1 , (1) 求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取值范围。
?

?1? ? 3?

3

20. (本小题满分 14 分) 对于二次函数 y ? ?4 x2 ? 8x ? 3 , (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)画出它的图像,并说明其图像由 y ? ?4 x 2 的图像经过怎样平移得来; (3)求函数的最大值或最小值; (4)分析函数的单调性。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x)(其中a ? 0, 且a ? 1) ⑴求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; ⑵判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并予以证明; ⑶求使 f ( x) ? g ( x) <0 成立的 x 的集合。

22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) 对任意 a, b ? R 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1, 并且当 x ? 0 时 f ( x) ? 1 。 求证:函数 f ( x) 是 R 上的增函数。

4

《初等函数测试题》参考答案 一、选择题
⒈D ⒉ A ⒊B ⒋B ⒌B ⒍A ⒎B ⒏D ⒐D ⒑A ⒒ B ⒓ C

二、填空题
⒔ ?0, ?

? 3? ? 4?

⒕a ? ?

1 4

⒖11 ⒗①③

三、解答题
⒘⑴? f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数 ? 对于任意的 x ,都有 f (? x) ? f ( x) a ex



1 1 1 e?x a ex a ? ?x ? ? x ,化简得( a ? )( e x ? x ) ? 0 ,? e x ? x ? 0 ? a ? 1 a e e a a e e
x ?x

⑵由⑴得 f ( x) ? e ? e

故任取,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

x1

? e ? x1 ? e x2 ? e ? x2
e x2 ? e x1 e x1 e x2
1 ) e e x2
x1

? (e x1 ? e x2 ) ?

? (e x1 ? e x2 )(1 ?

? x1 ? x2 ? 0 ? e x1 ? e x2 ? 1,0 ?

1 ?1 e e x2
x1

? (e x1 ? e x2 )(1 ?

1 ) >0 e e x2
x1

因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数。 ⒙⑴由 2 ?

x?3 x ?1 ? 0, 得 ? 0,? x ? ?1或x ? 1, x ?1 x ?1

( ? ?, ?1 ) ? [1, ? ?) 即 A= .
⑵由 ( x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0, 得(x ? a ? 1)(x ? 2a) ? 0.
5

? B ? A,? 2a ? 1或a ? 1 ? ?1,即a ?
? 1 ? a ? 1或a ? ?2 . 2

1 或a ? ?2, 而a ? 1, 2

故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是( ? ?,?2] ? ? ,1?. ⒚解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1) ,∴ f (1) ? 0 (2)∵ f ? ? ? 1 ∴ f ? ? ? f ( ? ) ? f ? ? ? f ? ? ? 2

?1 ? ?2 ?

?1? ? 3?

?1? ?9?

1 1 3 3

?1? ? 3?

?1? ? 3?

∴ f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? f ?x(2 ? x)? ? f ? ? ,又由 y ? f ( x) 是定义在 R 上的减函数,得:


?1? ?9?

1 ? ? x?2 ? x ? ? 9 ? ?x ? 0 ?2 ? x ? 0 ? ?


解之得: x ? ?1 ?

? ? ?

2 2 2 2? ? ,1 ? 3 3 ? ?

(1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)其图像由 y ? ?4 x 的图像向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到;
2

(3)函数的最大值为 1; (4)函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的

21.⑴由题意得: ?

?x ? 1 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0

所以所求定义域为 ?x | ?1 ? x ? 1, x ? R? ⑵令 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) 则 H( x) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x) ? log a

x ?1 1? x
?1

? x ?1 ? x ? 1? 故 H ( x ) 为奇函数,? H (? x) ? loga ? loga ? ? 1? x ?1? x ?
. ? H ( x) ? f ( x) ? g ( x)为奇函数

? ? log

x ?1 ? ? H ( x) 1? x

⑶? f ( x) ? g ( x) ? loga ( x ? 1)(1 ? x) ? loga (1 ? x 2 ) ? 0 ? loga 1
6

?当a ? 1时, 0 ? 1 ? x 2 ? 1, 故0 ? x ? 1或 ? 1 ? x ? 0,
当0 ? a ?1 时, 1 ? x 2 ? 1, 不等式无解 . 综上:?当a ? 1 时,所求x的集合为 {0 ? x ? 1或 ? 1 ? x ? 0}. 22.设任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ? 0,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? f ( x1 ? x2 ) ? 1

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ? x2 ) ? 1,即f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
所以函数 f ( x) 是 R 上的增函数.

7


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