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2016新课标三维人教A版数学必修2 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质


直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

预习课本 P64~66,思考并完成以下问题 1.直线与平面垂直的定义是怎样的?

2.直线与平面垂直的判定定理是什么?

3.直线与平面所成的角是怎样定义的?

4.直线与平面所成的角的范围是什么?

[新知初探]
1.直线与平面垂直的定义 (1)自然语言:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相 垂直,记作 l⊥α.直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时, 它们惟一的公共点 P 叫做垂足. (2)图形语言:如图.

画直线 l 与平面 α 垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. (3)符号语言:任意 a?α,都有 l⊥a?l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形. (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”. 2.直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)图形语言:如图所示.

(3)符号语言:a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b?l⊥α. [点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两

条直线平行,则直线与平面不一定垂直. 3.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角. (2)当直线 AP 与平面垂直时,它们所成的角是 90°. (3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是 0°. (4)线面角 θ 的范围:0°≤θ≤90°. [点睛] 把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的;②斜线在

平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线 l 垂直于平面 α, 则 l 与平面 α 内的直线可能相交, 可能异面, 也可能平行( (2)若 a∥b,a?α,l⊥α,则 l⊥b( (3)若 a⊥b,b⊥α,则 a∥α( 答案:(1)× (2)√ (3)× ) ) ) )

2.直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面 α 的位置关系是( A.平行 C.在平面 α 内 B.垂直 D.无法确定

解析:选 D 当平面 α 内的两条直线相交时,直线 l⊥平面 α,即 l 与 α 相交,当平面 α 内的两直线平行时,l?α 或 l∥α 或 l 与 α 垂直或 l 与 α 斜交. 3.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在 的直线中: (1) 与 PC 垂 直 的 直 线 有

________________________________________________________________________; (2) 与 AP 垂 直 的 直 线 有

________________________________________________________________________. 解析:(1)∵PC⊥平面 ABC,AB,AC,BC?平面 ABC. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴PC⊥AB,PC⊥AC,PC⊥BC. (2)∠BCA=90°,即 BC⊥AC,又 BC⊥PC,AC∩PC=C,∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥ AP. 答案:(1)AB,AC,BC (2)BC

对直线与平面垂直的判定定理的理解

[典例]

下列说法正确的有________(填序号).

①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂 直; ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直; ④若 l 与平面 α 不垂直,则平面 α 内一定没有直线与 l 垂直. [解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交, 可能平行, 也可能异面,

故①不正确. 由线面垂直的定义可得,故②正确. 因为这两条直线可能是平行直线,故③不正确. 如图,l 与 α 不垂直,但 a?α,l⊥a,故④不正确. [答案] ②

(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面 内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交. (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

[活学活用]
1.若三条直线 OA,OB,OC 两两垂直,则直线 OA 垂直于( A.平面 OAB C.平面 OBC B.平面 OAC D.平面 ABC )

解析:选 C ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC?平面 OBC,∴OA⊥平 面 OBC. 2.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条 直径;④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________(填序号). 解析:根据直线与平面垂直的判定定理,平面内这两条直线必须是相交的,①③④中给 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

定的两直线一定相交,能保证直线与平面垂直.而②梯形的两边可能是上、下底边,它们互 相平行,不满足定理条件.故填①③④. 答案:①③④ 线面垂直的判定

[典例]

如图,在三棱锥 SABC 中,∠ABC=90°,D 是 AC 的中

点,且 SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC. [证明] (1)因为 SA=SC,D 是 AC 的中点,

所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中,AD=BD, 由已知 SA=SB, 所以△ADS≌△BDS, 所以 SD⊥BD.又 AC∩BD=D, 所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB=BC,D 为 AC 的中点, 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD. 又因为 SD∩AC=D,所以 BD⊥平面 SAC.

利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直; (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线; (3)根据判定定理得出结论.

[活学活用]
如图,AB 为⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,M 为圆周 上任意一点,AN⊥PM,N 为垂足. (1)求证:AN⊥平面 PBM. (2)若 AQ⊥PB,垂足为 Q,求证:NQ⊥PB. 证明:(1)∵AB 为⊙O 的直径, ∴AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM,∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面 PAM.

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又 AN?平面 PAM,∴BM⊥AN. 又 AN⊥PM,且 BM∩PM=M, ∴AN⊥平面 PBM. (2)由(1)知 AN⊥平面 PBM, PB?平面 PBM,∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A, ∴PB⊥平面 ANQ. 又 NQ?平面 ANQ,∴PB⊥NQ. 直线与平面所成角 [典例] [解] SO⊥CO. ∵SA=SB=SC=a, ∴△SOA≌△SOB≌△SOC, ∴AO=BO=CO, ∴O 为△ABC 的外心. ∵△ABC 为正三角形, ∴O 为△ABC 的中心. ∵SO⊥平面 ABC, ∴∠SAO 即为 SA 与平面 ABC 所成的角. 2 3 3 在 Rt△SAO 中,SA=a,AO= × a= a, 3 2 3 AO 3 ∴cos∠SAO= = , SA 3 ∴SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为 3 . 3 三棱锥 SABC 的所有棱长都相等且为 a,求 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值.

如图,过 S 作 SO⊥平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO.则 SO⊥AO,SO⊥BO,

求斜线与平面所成的角的步骤 (1)作角:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角 (斜线与平面所成的角)转化为平面 角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时 可以是两垂足)作直线, 注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关, 才能便 于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. [活学活用] 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角的大小为________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角的大小为________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角的大小为________. 解析:(1)由线面角定义知,∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角,∠A1BA=45°. (2)如图,连接 A1D,设 A1D∩AD1=O,连接 BO,则易证 A1D⊥平面 ABC1D1,∴A1B 在平面 ABC1D1 内的射影为 OB,∴A1B 与平面 ABC1D1 所 1 成的角为∠A1BO.∵A1O= A1B,∴∠A1BO=30°. 2 (3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1, ∴A1B⊥平面 AB1C1D, 即 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角的大小为 90°. 答案:(1)45° (2)30° (3)90°

层级一
中,一定能推出 m⊥β 的是( A.α∥β,且 m?α C.m⊥n,且 n?β 解析:选 B )

学业水平达标

1.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件

B.m∥n,且 n⊥β D.m⊥n,且 n∥β

A 中,由 α∥β,且 m?α,知 m∥β;B 中,由 n⊥β,知 n 垂直于平面 β

内的任意直线,再由 m∥n,知 m 也垂直于 β 内的任意直线,所以 m⊥β,符合题意;C、D 中,m?β 或 m∥β 或 m 与 β 相交,不符合题意,故选 B. 2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( A.平行 C.异面 B.相交 D.以上皆有可能 )

解析:选 D 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1A,B1B 与底面 ABCD 所成的角相等,此 时两直线平行;A1B1,B1C1 与底面 ABCD 所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC 与底 面 ABCD 所成的角相等,此时两直线异面.故选 D. 3.下列四个命题中,正确的是( )

①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直; ②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面; ③若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直; ④若两条直线垂直,则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直.

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A.①② C.②④ 解析:选 D ①②不正确.

B.②③ D.③④

4.如图,α∩β=l,点 A,C∈α,点 B∈β,且 BA⊥α,BC⊥β,那么直线 l 与直线 AC 的关系是( A.异面 C.垂直 ) B.平行 D.不确定

解析:选 C ∵BA⊥α,α∩β=l,l?α,∴BA⊥l.同理 BC⊥l.又 BA∩BC=B,∴l⊥平 面 ABC.∵AC?平面 ABC,∴l⊥AC. 5.如图所示,若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是( A.60° C.30° ) B.45° D.120°

解析:选 A ∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角, 1 在 Rt△AOB 中,AB=2BO,所以 cos∠ABO= , 2 即∠ABO=60°. 6.已知直线 l,a,b,平面 α,若要得到结论 l⊥α,则需要在条件 a?α,b?α,l⊥a, l⊥b 中另外添加的一个条件是________. 答案:a,b 相交

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7.如图所示,三棱锥 PABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于________. 解析:因为 PA⊥平面 ABC,所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB, 所以∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角. 在△PAB 中, ∠BAP=90°, PA=AB, 所以∠PBA=45°,即直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于 45°. 答案:45° 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边形 ABCD 一定是________.

解析:如图,∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA.又 BD⊥PC,PA∩PC =P,∴BD⊥平面 PAC.又 AC?平面 PAC,∴BD⊥AC.∴平行四边形 ABCD 为菱形. 答案:菱形 9.如图,在四面体 ABCD 中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F 分别为 AD,BC 的中点,且 EF= 2. 求证:BD⊥平面 ACD. 证明:取 CD 的中点为 G,连接 EG,FG. 又∵E,F 分别为 AD,BC 的中点,∴FG∥BD,EG∥AC. ∵AC=BD=2,则 EG=FG=1. ∵EF= 2,∴EF2=EG2+FG2,∴EG⊥FG, ∴BD⊥EG. ∵∠BDC=90°,∴BD⊥CD. 又 EG∩CD=G,∴BD⊥平面 ACD. 10.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,求 直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值. 解:如图,取 CD 的中点 F,连接 EF 交平面 ABC1D1 于 O,连接 AO,B1C. 由 ABCDA1B1C1D1 为正方体,易得 B1C ⊥ BC1 , B1C ⊥ D1C1 , BC1∩D1C1=C1,BC1?平面 ABC1D1,D1C1?平面 ABC1D1,∴B1C ⊥平面 ABC1D1. ∵E, F 分别为 A1B1, CD 的中点, ∴EF∥B1C, ∴EF⊥平面 AC1,

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即∠EAO 为直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角. 1 1 2 在 Rt△EOA 中,EO= EF= B1C= , 2 2 2 AE= A1E2+AA2 1= EO 10 ∴sin∠EAO=AE= . 5 ∴直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角的正弦值为 10 . 5

?1?2+12= 5, ?2? 2

层级二
A.平面 DD1C1C C.平面 A1B1C1D1 答案:B 2.下面四个命题:

应试能力达标
( ) B.平面 A1DB1 D.平面 A1DB

1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条; ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条; ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个; ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个. 其中正确的是( A.①④ C.①② ) B.②③ D.③④

解析:选 B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故①不正确;过一点和一个平面 垂直的平面有无数个,故④不正确;易知②③均正确.故选 B. 3.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m )

解析:选 B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这 个平面,知选项 B 正确. 4.如图,四棱锥 SABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是 ( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解析:选 D 选项 A 正确,因为 SD 垂直于平面 ABCD,而 AC 在平 面 ABCD 内,所以 AC 垂直于 SD;再由 ABCD 为正方形,所以 AC 垂直 于 BD,而 BD 与 SD 相交,所以 AC 垂直于平面 SBD,进而垂直于 SB. 选项 B 正确,因为 AB 平行于 CD,而 CD 在平面 SCD 内,AB 不在平面 SCD 内,所以 AB 平行于平面 SCD. 选项 C 正确,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 SO,则 SA 与平面 SBD 所成的角就是∠ ASO,SC 与平面 SBD 所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等. 选项 D 错误,AB 与 SC 所成的角等于∠SCD,而 DC 与 SA 所成的角是∠SAB,这两个 角不相等. 5.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点, F 是 BB1 的中点,则直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正切值为________. 解析:连接 EB,由 BB1⊥平面 ABCD,知∠FEB 即

直线 EF 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△FBE 中, BF=1, BE= 5, 则 tan∠FEB= 答案: 5 5

5 . 5

6.如图所示,将平面四边形 ABCD 沿对角线 AC 折成空间四边形,当平面 四边形 ABCD 满足________时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上 你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况) 解析:在平面四边形中,设 AC 与 BD 交于 E,假设 AC⊥BD,则 AC⊥DE,AC⊥BE. 折叠后,AC 与 DE,AC 与 BE 依然垂直,所以 AC⊥平面 BDE,所 以 AC⊥BD.若四边形 ABCD 为菱形或正方形,因为它们的对角线互相垂 直,同上可证 AC⊥BD. 答案:AC⊥BD(或四边形 ABCD 为菱形、正方形等) 7.如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1. (1)求证:AB1⊥平面 A1BC1. (2)若 D 为 B1C1 的中点,求 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值. 解:(1)证明:由题意知四边形 AA1B1B 是正方形, ∴AB1⊥BA1. 由 AA1⊥平面 A1B1C1 得 AA1⊥A1C1. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

又∵A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1, ∴A1C1⊥平面 AA1B1B, 又∵AB1?平面 AA1B1B, ∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面 A1BC1. (2)连接 A1D.设 AB=AC=AA1=1, ∵AA1⊥平面 A1B1C1, ∴∠A1DA 是 AD 与平面 A1B1C1 所成的角. 在等腰直角三角形 A1B1C1 中,D 为斜边的中点, 1 2 ∴A1D= ×B1C1= . 2 2 在 Rt△A1DA 中,AD= A1D2+A1A2= ∴sin∠A1DA= A1A 6 = , AD 3 6 . 3 6 . 2

即 AD 与平面 A1B1C1 所成角的正弦值为

8.如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1 = 2,D 是 A1B1 的中点. (1)求证 C1D⊥平面 AA1B1B; (2)当点 F 在 BB1 上的什么位置时,会使得 AB1⊥平面 C1DF?并证明 你的结论. 证明:(1)∵ABCA1B1C1 是直三棱柱, ∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又 D 是 A1B1 的中点, ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面 A1B1C1,C1D?平面 A1B1C1, ∴AA1⊥C1D,又 A1B1∩C1D=D, ∴C1D⊥平面 AA1B1B. (2)作 DE⊥AB1 交 AB1 于 E,延长 DE 交 BB1 于 F,连接 C1F,则 AB1⊥平面 C1DF,点 F 为所求. ∵C1D⊥平面 AA1B1B,AB1?平面 AA1B1B,∴C1D⊥AB1. 又 AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面 C1DF.

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∵AA1=A1B1= 2,∴四边形 AA1B1B 为正方形. 又 D 为 A1B1 的中点,DF⊥AB1,∴F 为 BB1 的中点, ∴当点 F 为 BB1 的中点时,AB1⊥平面 C1DF.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

预习课本 P67~69,思考并完成以下问题 1.二面角的定义、表示分别是怎样的?

2.二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的?

3.面面垂直是怎样定义的?

4.面面垂直的判定定理的内容是什么?

[新知初探]
1.二面角 (1)定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 (如图).直线 AB 叫做二面角的棱,半平面 α 和 β 叫做二面角的面. 记法:αABβ,在 α,β 内,分别取点 P,Q 时,可记作 PABQ;当棱记为 l 时,可记 作 αlβ 或 PlQ. (2)二面角的平面角: ①定义: 在二面角 αlβ 的棱 l 上任取一点 O, 如图所示, 以点 O 为垂足, 在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构 成的∠AOB 叫做二面角的平面角. ②直二面角:平面角是直角的二面角. [点睛] 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是两条直线的夹角,因此,

二面角 θ 的取值范围是 0°≤θ≤180°. 2.平面与平面垂直

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(1)面面垂直的定义 ①定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂 直. ②画法:

记作:α⊥β. (2)两平面垂直的判定定理: ①文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. ②图形语言:如图. ③符号语言:AB⊥β,AB∩β=B,AB?α?α⊥β. [点睛] 面的垂线. 定理的关键词是“过另一面的垂线”,所以应用的关键是在平面内寻找另一个

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 l⊥α,则过 l 有无数个平面与 α 垂直( ) )

(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为 90°( 答案:(1)√ (2)√

2.在二面角 αlβ 的棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 αlβ 的平面角,则必须具 有的条件是( )

A.AO⊥BO,AO?α,BO?β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO?α,BO?β D.AO⊥l,BO⊥l,且 AO?α,BO?β 答案:D 3.对于直线 m,n 和平面 α,β,能得出 α⊥β 的一组条件是( A.m⊥n,m∥α,n∥β C.m∥n,n⊥β,m?α )

B.m⊥n,α∩β=m,n?β D.m∥n,m⊥α,n⊥β

解析:选 C A 与 D 中 α 也可与 β 平行,B 中不一定 α⊥β,故选 C.

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面面垂直的判定

[典例]

如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是

平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE =2DF,AE⊥EC. 证明:平面 AEC⊥平面 AFC. [证明] 如图,连接 BD,设 BD∩AC 于点 G,连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不

妨设 GB=1.由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC. 又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 6 . 2 2 , 2 2 . 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 可得 EF= 3 2 . 2

从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC.

(1)证明平面与平面垂直的方法: ①利用定义:证明二面角的平面角为直角; ②利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面 互相垂直. (2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角, 通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂 直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.

[活学活用]
1.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的平 面有( ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

A.1 对 C.3 对

B.2 对 D.5 对

解析:选 D ∵DA⊥AB,DA⊥PA,∴DA⊥平面 PAB.同理 BC⊥平面 PAB,又 AB⊥平 面 PAD,∴DC⊥平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 AC,平面 PAB⊥平面 AC,平面 PBC⊥平面 PAB,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PDC⊥平面 PAD,共 5 对. 2.如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形,PC⊥平面 ABCD,E 是 PA 的中点,求证:平面 BDE⊥平面 ABCD. 证明:连接 AC,设 AC∩BD=O,连接 OE. 因为 O 为 AC 中点,E 为 PA 的中点, 所以 EO 是△PAC 的中位线, 所以 EO∥PC. 因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥平面 ABCD. 又因为 EO?平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 ABCD. 二面角的求法

[典例]

(1)如图,在正方体 ABCDA′B′C′D′中:

①二面角 D′ABD 的大小为________. ②二面角 A′ABD 的大小为________.

(2)如图,已知 Rt△ABC,斜边 BC?α, 点 A?α,AO⊥α,O 为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求 二面角 ABCO 的大小. [解析] (1)①在正方体 ABCDA′B′C′D′中, AB⊥平面 AD′, 所以 AB⊥AD′, AB⊥AD,

因此∠D′AD 为二面角 D′?ABD 的平面角.在 Rt△ D′DA 中,∠D′AD=45°,所以二面角 D′?ABD 的大小为 45°. ②因为 AB⊥平面 AD′,所以 AB⊥AD,AB⊥AA′,因此∠A′AD 为二面角 A′?ABD 的平 面角,又∠A′AD=90°,所以二面角 A′?ABD 的大小为 90°. [答案] ①45° ②90°

(2)解:如图,在平面 α 内,过 O 作 OD⊥BC,垂足为点 D,连接 AD, 设 CO=a. ∵AO⊥α,BC?α,∴AO⊥BC. 又 AO∩OD=O,∴BC⊥平面 AOD. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

而 AD?平面 AOD, ∴AD⊥BC,∴∠ADO 是二面角 ABCO 的平面角. 由 AO⊥α,OB?α,OC?α,知 AO⊥OB,AO⊥OC. ∵∠ABO=30°,∠ACO=45°,CO=a, ∴AO=a,AC= 2a,AB=2a. 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∴BC= AC2+AB2= 6a, AB· AC 2a· 2a 2 3 ∴AD= BC = = a. 3 6a AO a 3 在 Rt△AOD 中,sin∠ADO=AD= = . 2 2 3 a 3 ∴∠ADO=60°,即二面角 ABCO 的大小是 60°.

(1)定义法:在二面角的棱上找一点,在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面形成交线,这 两条射线(交线)所成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法:利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角,这是最常用也是最有效的一种 方法.

[活学活用]
如图,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置, 使 CD=AC. (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC. (2)求二面角 CBDA 的余弦值. 解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OD, ∵△ABD 是等腰直角三角形, ∴DO⊥AB,且 DO= 2 AD. 2

连接 OC,同理得 CO⊥AB, 且 CO= 2 AC, 2 2 AC. 2

∵AD=AC,∴DO=CO=

∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2, ∴△CDO 为等腰直角三角形,DO⊥CO, 又 AB∩CO=O,∴DO⊥平面 ABC. 又∵DO?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 ABC. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)取 BD 的中点 E,连接 CE,OE. ∵△BCD 为等边三角形,∴CE⊥BD. 又∵△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 由(1)可证得 OC⊥平面 ABD,∴OC⊥OE. ∴△COE 为直角三角形. 设 BC=1,则 CE= 3 1 ,OE= , 2 2

OE 3 ∴cos∠OEC= CE= , 3 即二面角 CBDA 的余弦值为 3 . 3 折叠问题 [典例] 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,E 为 BC 的中点,把△ABE 和△

CDE 分别沿 AE,DE 折起,使点 B 与点 C 重合于点 P. (1)求证:平面 PDE⊥平面 PAD; (2)求二面角 PADE 的大小. [解] (1)证明:由 AB⊥BE,

得 AP⊥PE, 同理,DP⊥PE. 又∵AP∩DP=P,∴PE⊥平面 PAD. 又 PE?平面 PDE, ∴平面 PDE⊥平面 PAD. (2)如图所示,取 AD 的中点 F,连接 PF,EF,则 PF⊥AD,EF⊥AD, ∴∠PFE 就是二面角 PADE 的平面角. 又 PE⊥平面 PAD,∴PE⊥PF. ∵EF=AB= 2,PF= ? 2?2-1=1, PF 2 ∴cos∠PFE=EF= . 2 ∴二面角 PADE 的大小为 45°.

折叠问题,即由平面图形经过折叠成为立体图形,在立体图形中解决有关问题.解题过 程中,一定要抓住折叠前后的变量与不变量.

[活学活用]
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1 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB= AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 折 2

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起至△A′BE 的位置,使 A′C=A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.

证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N, 连接 A′M,A′N,MN, 则 MN∥BC. 1 ∵AB= AD,E 是 AD 的中点, 2 ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D,∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又∵MN∩A′M=M, ∴CD⊥平面 A′MN,∴CD⊥A′N. 1 ∵DE∥BC 且 DE= BC,∴BE 必与 CD 相交. 2 又∵A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面 BCDE. 又∵A′N?平面 A′BE,∴平面 A′BE⊥平面 BCDE.

层级一

学业水平达标
)

1.从空间一点 P 向二面角 αlβ 的两个面 α,β 分别作垂线 PE,PF,E,F 为垂足, 若∠EPF=60°,则二面角 αlβ 的平面角的大小是( A.60° C.60°或 120° B.120° D.不确定

解析:选 C 若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120°;若点 P 在二面角外, 则二面角的平面角为 60°. 2.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足:β∩γ=l,l∥α,m?α 和 m⊥γ,那么必有( A.α⊥γ 且 l⊥m C.m∥β 且 l⊥m B.α⊥γ 且 m∥β D.α∥β 且 α⊥γ )

解析:选 A B 错,有可能 m 与 β 相交;C 错,有可能 m 与 β 相交;D 错,有可能 α 与 β 相交. 3.已知直线 a,b 与平面 α,β,γ,下列能使 α⊥β 成立的条件是( A.α⊥γ,β⊥γ C.a∥β,a∥α B.α∩β=a,b⊥a,b?β D.a∥α,a⊥β 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

解析:选 D 由 a∥α,知 α 内必有直线 l 与 a 平行.而 a⊥β,∴l⊥β,∴α⊥β. 4.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将 △ABD 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成几何体 ABCD, 则在几何体 ABCD 中, 下列结论正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 解析:选 D 由已知得 BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 ABD, 从而 CD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC. 又 AB?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC. 5.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1BDA 的正 切值为( A. 3 2 ) B. 2 2

C. 2

D. 3

解析:选 C 如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 A1O,O 为 BD 中点, ∵A1D=A1B, ∴在△A1BD 中,A1O⊥BD. 又∵在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, ∴∠A1OA 为二面角 A1BDA 的平面角. 设 AA1=1,则 AO= ∴tan∠A1OA= 2 . 2

1 = 2. 2 2

6.如果规定:x=y,y=z,则 x=z,叫作 x,y,z 关于相等关系具有传递性,那么空 间三个平面 α,β,γ 关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________. 解析:由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理,知平面平 行具有传递性,相交、垂直都不具有传递性. 答案:平行

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7.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 CC1 的中点,则平面 EBD 与平面 AA1C1C 的位 置关系是________.(填“垂直”“不垂直”其中的一个) 解:如图,在正方体中,CC1⊥平面 ABCD,∴CC1⊥BD. 又 AC⊥BD,CC1∩AC=C, ∴BD⊥平面 AA1C1C. 又 BD?平面 EBD, ∴平面 EBD⊥平面 AA1C1C. 答案:垂直 8.若 P 是△ABC 所在平面外一点,而△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的正三角形,PA = 6,那么二面角 PBCA 的大小为________. 解析:如图,取 BC 的中点 O,连接 OA,OP,则∠POA 为二面角 PBCA 的平面角,OP=OA= 3,PA= 6,所以△POA 为直角三角形, ∠POA=90°. 答案:90° 9.如图,在圆锥 PO 中,AB 是⊙O 的直径,C 是 A B 上的点,D 为 AC 的中点.证 明:平面 POD⊥平面 PAC.

证明:如图,连接 OC,因为 OA=OC, D 是 AC 的中点,所以 AC⊥OD. 又 PO⊥底面 ABC,AC?底面 ABC,所以 AC⊥PO.因为 OD,PO 是 平面 POD 内的两条相交直线,所以 AC⊥平面 POD.又 AC?平面 PAC, 所以平面 POD⊥平面 PAC. 10.如图所示,在△ABC 中,AB⊥BC,SA⊥平面 ABC,DE 垂直 平分 SC,且分别交 AC,SC 于点 D,E,又 SA=AB,SB=BC,求 二面角 EBDC 的大小. 解:∵E 为 SC 中点,且 SB=BC, ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC,BE∩DE=E, ∴SC⊥平面 BDE,∴BD⊥SC. 又 SA⊥平面 ABC,可得 SA⊥BD. 又 SC∩SA=S, ∴BD⊥平面 SAC,从而 BD⊥AC,BD⊥DE, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴∠EDC 为二面角 EBDC 的平面角. 设 SA=AB=1. 在△ABC 中,∵AB⊥BC,∴SB=BC= 2, AC= 3,∴SC=2.在 Rt△SAC 中,∠DCS=30°, ∴∠EDC=60°,即二面角 EBDC 为 60°.

层级二
A.若 l⊥β,则 α⊥β C.若 l∥β,则 α∥β

应试能力达标
) B.若 α⊥β,则 l⊥m D.若 α∥β,则 l∥m

1. (浙江高考)设 α, β 是两个不同的平面, l, m 是两条不同的直线, 且 l?α, m?β.(

解析:选 A ∵l⊥β,l?α,∴α⊥β(面面垂直的判定定理),故 A 正确. 2.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角 的大小关系为( A.相等 C.相等或互补 ) B.互补 D.不确定

解析:选 D 反例:如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别 是 CD,C1D1 的中点,二面角 DAA1E 与二面角 B1ABD 的两个半平面就 是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补,故选 D. 3.如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°, AD∶BC∶AB=2∶ 3∶4, E, F 分别是 AB, CD 的中点, 将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折. 给 出四个结论: ①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面 DBF⊥平面 BFC;④平面 DCF⊥平面 BFC. 在翻折的过程中,可能成立的结论是( A.①③ C.②④ ) B.②③ D.③④

解析:选 B 对于①,因为 BC∥AD,AD 与 DF 相交不垂直,所以 BC 与 DF 不垂直,故①不可能成立;对于②,如图,设点 D 的在平面 BCF 上的射影为点 P, 当 BP⊥CF 时, 有 BD⊥FC, 而 AD∶BC∶AB=2∶ 3∶4 可使条件满足,故②可能成立;对于③,当点 P 落在 BF 上时,DP ?平面 BDF,从而平面 BDF⊥平面 BCF,故③可能成立;对于④,因为点 D 的射影不可 能在 FC 上,故④不可能成立.故选 B. 4.如图,在四面体 PABC 中,AB=AC,PB=PC,D,E,F 分 别是棱 AB,BC,CA 的中点,则下列结论中不一定成立的是( )

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A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDF⊥平面 ABC 解析:选 D 因为 D,F 分别为 AB,AC 的中点,则 DF 为△ABC 的中位线,则 BC∥ DF,依据线面平行的判定定理,可知 BC∥平面 PDF,A 成立.又 E 为 BC 的中点,且 PB =PC,AB=AC,则 BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知 BC⊥平面 PAE. 因为 BC∥DF, 所以 DF⊥平面 PAE, B 成立. 又 DF?平面 PDF, 则平面 PDF⊥平面 PAE, C 成立.要使平面 PDF⊥平面 ABC,已知 AE⊥DF,则必须有 AE⊥PD 或 AE⊥PF,由条 件知此垂直关系不一定成立,故选 D. 5. 正四棱锥的侧棱长为 2 3, 侧棱与底面所成角为 60°, 则该四棱锥的高为__________. 解析:如图,过点 S 作 SO⊥平面 ABCD,连接 OC,则∠SCO=60°, ∴SO=sin 60°· SC = 3 ×2 3=3. 2

答案:3 6.如图,二面角 αlβ 的大小是 60°,线段 AB?α,B∈l,AB 与 l 所成的角为 30°,则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________. 解析:如图,作 AO⊥β 于 O,AC⊥l 于 C,连接 OB,OC,则 OC AO AC AO ⊥l.设 AB 与 β 所成的角为 θ, 则∠ABO=θ, 由图得 sin θ= AB=AB· AC =sin 30°· sin 60°= 答案: 3 4 3 . 4

7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,AC∩BD=O.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使 AC=a,得到三棱锥 ABCD,如图. (1)当 a=2 时,求证:AO⊥平面 BCD. (2)当二面角 ABDC 的大小为 120°时,求二面角 ABCD 的正切值.

解:(1)证明:在△AOC 中,AC=a=2,AO=CO= 2. ∴AC2=AO2+CO2,∴AO⊥CO. ∵AO⊥BD,BD∩CO=O,∴AO⊥平面 BCD. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO,∴∠AOC 是二面角 ABDC 的平面角,即∠AOC= 120°. 在△AOC 中,AO=CO= 2, ∴AC= 6. 如图,过点 A 作 CO 的垂线交线段 CO 的延长线于点 H. ∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O, ∴BD⊥平面 AOC. ∵AH?平面 AOC,∴BD⊥AH. 又∵CO⊥AH,CO∩BD=O,∴AH⊥平面 BCD. ∴AH⊥BC. 过点 A 作 AK⊥BC,垂足为 K,连接 HK. ∵AK∩AH=A,∴BC⊥平面 AHK. ∵HK?平面 AHK,∴BC⊥HK. ∴∠AKH 为二面角 ABCD 的平面角. 在△AHO 中,AH= 6 2 ,OH= , 2 2 2 3 2 = . 2 2

∴CH=CO+OH= 2+ 在 Rt△CKH 中,HK=

2 3 CH= . 2 2

6 AH 2 6 在 Rt△AHK 中,tan∠AKH= = = . HK 3 3 2 ∴二面角 ABCD 的正切值为 6 . 3

8.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠ BAD=90°,

AD∥BC,AB=BC=1,AD=2,PA⊥底面 ABCD,PD 与底面 45°角,点 E 是 PD 的中点. (1)求证:BE⊥PD. (2)求二面角 PCDA 的余弦值. 解:(1)证明:连接 AE.



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∵PA⊥底面 ABCD,∴∠PDA 是 PD 与底 面 ABCD 所成的角, ∴∠PDA=45°.∴PA=DA. 又∵点 E 是 PD 的中点,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,AB?底面 ABCD,∴PA⊥AB. ∵∠BAD=90°,∴BA⊥DA. 又∵PA∩AD=A,∴BA⊥平面 PDA. 又∵PD?平面 PDA,∴BA⊥PD. 又∵BA∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE. ∵BE?平面 ABE,∴BE⊥PD. (2)连接 AC.在直角梯形 ABCD 中, AB=BC=1,AD=2, ∴AC=CD= 2.∵AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD. 又∵PA⊥底面 ABCD,CD?底面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC∩PA=A,∴CD⊥平面 PAC. 又∵PC?平面 PAC,∴PC⊥CD, ∴∠PCA 为二面角 PCDA 的平面角. 在 Rt△PCA 中,PC= PA2+AC2= 22+? 2?2= 6. AC 2 3 ∴cos ∠PCA=PC= = . 6 3 ∴所求的二面角的余弦值为 3 . 3

2.3.3&2.3.4

直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质

预习课本 P70~72,思考并完成以下问题 1.直线与平面垂直的性质定理是什么?

2.面面垂直的性质定理是什么?

[新知初探]
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1.直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行. (2)图形语言:

(3)符号语言: (4)作用:

? a⊥α? ??a∥b. ? b⊥α?

①线面垂直?线线平行; ②作平行线. [点睛] (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.

(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行” 关系转化的依据. 2.平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. (2)图形语言:

(3)符号语言: α⊥β a?α a⊥ l (4)作用: ①面面垂直?线面垂直; ②作面的垂线. [点睛] 对面面垂直的性质定理的理解

α∩β=l

? ? ??a⊥β. ? ?

(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直. (2)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.

[小试身手]
1.若 a,b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数为 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn ( )

①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b?b⊥α;④a⊥α,b⊥α?a ∥b. A.1 B.2 C.3 D.0

解析:选 B 由线面垂直的性质知①、④正确.②中 b 可能满足 b?α,故②错误;③ 中 b 可能与 α 相交(不垂直),也可能平行,故③不正确. 2.两个平面互相垂直,一个平面内的一条直线与另一个平面( A.垂直 C.斜交 答案:D 3.平面 α⊥平面 β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直线 m⊥α,则直线 m 与 n 的位置关系是 ________. 解析:由题意知 n⊥α,而 m⊥α,∴m∥n. 答案:平行 B.平行 D.以上都有可能 )

线面垂直性质定理的应用

[典例]

如图,已知正方体 A1C.

(1)求证:A1C⊥B1D1. (2)M,N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点,且 MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求 证:MN∥A1C. [证明] (1)如图,连接 A1C1.

∵CC1⊥平面 A1B1C1D1, B1D1?平面 A1B1C1D1, ∴CC1⊥B1D1. ∵四边形 A1B1C1D1 是正方形, ∴A1C1⊥B1D1. 又∵CC1∩A1C1=C1, ∴B1D1⊥平面 A1C1C. 又∵A1C?平面 A1C1C,∴B1D1⊥A1C. (2)如图,连接 B1A,AD1. ∵B1C1 綊 AD, ∴四边形 ADC1B1 为平行四边形, ∴C1D∥AB1. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∵MN⊥C1D,∴MN⊥AB1. 又∵MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1, ∴MN⊥平面 AB1D1. 由(1)知 A1C⊥B1D1.同理可得 A1C⊥AB1. 又∵AB1∩B1D1=B1, ∴A1C⊥平面 AB1D1. ∴A1C∥MN.

(1)若已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条直线平行, 可考虑利用线 面垂直的性质定理,证明另一条直线和这个平面垂直,证明时注意利用正方形、平行四边 形及三角形中位线的有关性质. (2)直线与平面垂直的其他性质: ①如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线和这个平面内任一条直线垂直. ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ③若 l⊥α 于 A,AP⊥l,则 AP?α. ④垂直于同一条直线的两个平面平行. ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面.

[活学活用]
如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, M 是 AB 上一点, N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点. 证明:(1)∵四边形 ADD1A1 为正方形,∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC,∴MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC, 1 1 ∴ON 綊 CD 綊 AB. 2 2 ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

∴四边形 AMNO 为平行四边形.∴ON=AM. 1 1 ∵ON= AB,∴AM= AB. 2 2 ∴M 是 AB 的中点. 面面垂直性质定理的应用

[典例]

已知 P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平

面 PAC⊥平面 PBC,求证:BC⊥AC. [证明] 如图,在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D,

∵平面 PAC⊥平面 PBC,AD?平面 PAC,且 AD⊥PC, ∴AD⊥平面 PBC, 又 BC?平面 PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC, 又 AC?平面 PAC,∴BC⊥AC.

若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂 直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理,注意三点: ①两个平面垂直是前提条件;②直 线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.

[活学活用]
如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是边长为 a 的菱形,且∠DAB=60°.侧面 PAD 为正三角形,其所在平 面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB. 证明:(1)如图,在菱形 ABCD 中, 连接 BD, 由已知∠DAB=60°, ∴△ABD 为正三角形, ∵G 是 AD 的中点,∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,

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且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BG⊥平面 PAD. (2)如图,连接 PG. ∵△PAD 是正三角形,G 是 AD 的中点, ∴PG⊥AD,由(1)知 BG⊥AD. 又∵PG∩BG=G.∴AD⊥平面 PBG. 而 PB?平面 PBG,∴AD⊥PB. 垂直关系的综合应用 [典例] 如图,在△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, AE AF ∠ADB=60°, E, F 分别是 AC, AD 上的动点, 且AC=AD=λ(0<λ<1). (1)求证:无论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)当 λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? [解] (1)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD,

∴AB⊥CD. ∵CD⊥BC,AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC. 又∵ AE AF = =λ(0<λ<1), AC AD

∴无论 λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC. 又∵EF?平面 BEF, ∴无论 λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)由(1)知 BE⊥EF, ∵平面 BEF⊥平面 ACD,平面 BEF∩平面 ACD=EF, ∴BE⊥平面 ACD. 又∵AC?平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=∠ABD=90°,∠ADB=60°, ∴BD= 2,∴AB= 2tan 60°= 6, ∴AC= AB2+BC2= 7. 由 Rt△AEB∽Rt△ABC,得 AB2=AE· AC, ∴AE= AE 6 6 ,∴λ=AC= . 7 7

6 故当 λ= 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

是相互关联的.它们之间的转化关系如下: 线线垂直 线面垂直定义 ???? 线面垂直 ???? 面面垂直 性质定理 (2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何 图形自身的特点, 如等腰(边)三角形的三线合一、 中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等. 还 可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化 思想解决问题.
判定定理 判定定理

[活学活用]
π 1 (陕西高考)如图(1),在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD 2 2 =a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与 BE 的交点.将△ABE 沿 BE 折起到图(2)中△A1BE 的位 置,得到四棱锥 A1BCDE.

(1)证明:CD⊥平面 A1OC; (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2,求 a 的值. 1 π 解:(1)证明:在图(1)中,因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,∠BAD= ,所 2 2 以 BE⊥AC. 即在图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE,所以 CD⊥平面 A1OC. (2)由已知,平面 A1BE⊥平面 BCDE, 且平面 A1BE∩平面 BCDE=BE, 又由(1)可得 A1O⊥BE,所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高. 由图(1)知,A1O= 2 2 AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BC· AB=a2, 2 2

从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 1 1 2 2 V= S· A1O= ×a2× a= a3. 3 3 2 6 由 2 3 a =36 2,得 a=6. 6

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层级一
A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β

学业水平达标
) B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

1.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面(

解析:选 B 对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对于选项 C,直线 l 可能在 β 内也可能平行于 β;对于选项 D,直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交. 2.已知平面 α,β 和直线 m,l,则下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则 l⊥β B.若 α∩β=m,l?α,l⊥m,则 l⊥β C.若 α⊥β,l?α,则 l⊥β D.若 α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,则 l⊥β 解析:选 D 选项 A 缺少了条件:l?α;选项 B 缺少了条件:α⊥β;选项 C 缺少了条 件:α∩β=m,l⊥m;选项 D 具备了面面垂直的性质定理的全条件. 3.在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,已知平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,且 AB=BC,AD =CD,则 BD 与 CC1( A.平行 C.垂直 ) B.共面 D.不垂直 )

解析:选 C 如图所示,在四边形 ABCD 中,∵AB=BC,AD= CD.∴BD⊥AC.∵平面 AA1C1C⊥平面 ABCD, 平面 AA1C1C∩平面 ABCD =AC, BD?平面 ABCD, ∴BD⊥平面 AA1C1C.又 CC1?平面 AA1C1C, ∴BD⊥CC1,故选 C. 4.如图,设平面 α∩平面 β=PQ,EG⊥平面 α,FH⊥平面 α,垂足 分别为 G,H.为使 PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( A.EF⊥平面 α B.EF⊥平面 β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 解析:选 B 因为 EG⊥平面 α,PQ?平面 α,所以 EG⊥PQ.若 EF⊥平面 β,则由 PQ ?平面 β,得 EF⊥PQ.又 EG 与 EF 为相交直线,所以 PQ⊥平面 EFHG,所以 PQ⊥GH, 故选 B. 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出如下命题: ①若 α⊥β,α∩β=m,n?α,n⊥m,则 n⊥β; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn )

②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α; ④若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β. 其中正确命题的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 B 根据平面与平面垂直的性质知①正确;②中,α,β 可能平行,也可能相 交,不正确;③中,α⊥β,m⊥β,m?α 时,只可能有 m∥α,正确;④中,m 与 β 的位置 关系可能是 m∥β 或 m?β 或 m 与 β 相交,不正确.综上,可知正确命题的个数为 2,故选 B. 6.如图,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD 是 正三角形,O 为 AB 中点,则图中直角三角形的个数为________. 解析:∵CA=CB,O 为 AB 的中点,∴CO⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 ABD,交线为 AB, ∴CO⊥平面 ABD. ∵OD?平面 ABD,∴CO⊥OD, ∴△COD 为直角三角形. 所以图中的直角三角形有△AOC, △COB, △ABC, △AOD, △BOD, △COD 共 6 个. 答案:6 7.如图,直二面角 αlβ,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD 的长为________. 解析:如图,连接 BC, ∵二角面 αlβ 为直二面角, AC?α,且 AC⊥l,∴AC⊥β. 又 BC?β,∴AC⊥BC, ∴BC2=AB2-AC2=3, 又 BD⊥CD, ∴CD= BC2-BD2= 2. 答案: 2 8.已知 m,n 是直线,α,β,γ 是平面,给出下列说法 ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; ③若 m 不垂直于 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n∥m 且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

其中正确的说法序号是________(注:把你认为正确的说法的序号都填上). 解析:①错,垂直于交线,不一定垂直平面;②对;③错,凡是平面内垂直于 m 的射 影的直线,m 都与它们垂直;④对. 答案:②④ 9.如图: 三棱锥 PABC 中, 已知△ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC=90°, △PAC 是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面 PAC⊥平面 ABC. 求证:平面 PAB⊥平面 PBC. 证明:∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PA⊥AC,∴PA⊥平面 ABC. 又 BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC,AB∩PA=A,AB?平面 PAB, PA?平面 PAB, ∴BC⊥平面 PAB.又 BC?平面 PBC, ∴平面 PAB⊥平面 PBC. 10.如图, 边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, AD 与 CE 的交点为 M,AC⊥BC,且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角正弦值. 解: (1)证明: ∵平面 ACDE⊥平面 ABC, 平面 ACDE∩平面 ABC =AC,BC⊥AC, ∴BC⊥平面 ACDE. 又 AM?平面 ACDE,∴BC⊥AM. ∵四边形 ACDE 是正方形,∴AM⊥CE. 又 BC∩CE=C,∴AM⊥平面 EBC. (2)取 AB 的中点 F,连接 CF,EF. ∵EA⊥AC, 平面 ACDE⊥平面 ABC, 平面 ACDE∩平面 ABC=AC, ∴EA⊥平面 ABC,∴EA⊥CF. 又 AC=BC,∴CF⊥AB. ∵EA∩AB=A, ∴CF⊥平面 AEB, ∴∠CEF 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角. 在 Rt△CFE 中,CF= 2,FE= 6, tan∠CEF= 2 3 = . 6 3

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层级二

应试能力达标
)

1. 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上), 过该点作另一个底面的垂线, 则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( A.相交 C.异面 解析:选 B B.平行 D.相交或平行 ∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面,所作的垂线也垂直于底面,由线面垂

直的性质定理可知,二者平行. 2.(安徽高考)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的 是( ) A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行 ,则在 α 内不存在 与 β 平行的直线 ... ... D.若 m,n 不平行 ,则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 ... ... 解析:选 D A 项,α,β 可能相交,故错误;B 项,直线 m,n 的位置关系不确定, 可能相交、平行或异面,故错误;C 项,若 m?α,α∩β=n,m∥n,则 m∥β,故错误;D 项,假设 m,n 垂直于同一平面,则必有 m∥n,所以原命题正确,故 D 项正确. 3.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 解析:选 D A 中 m,n 可能为平行、垂直、异面直线;B 中 m,n 可能为异面直线; C 中 m 应与 β 中两条相交直线垂直时结论才成立. 4.在三棱锥 PABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠PCA=90°,△ABC 是边长为 4 的 正三角形,PC=4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为( A.2 3 C.4 3 B.2 7 D.4 7 CM , 值 = ) )

解析:选 B 连接 CM,则由题意 PC⊥平面 ABC,可得 PC⊥ 所以 PM= PC2+CM2,要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小 3 2

即可, 在△ABC 中, 当 CM⊥AB 时 CM 有最小值, 此时有 CM=4× 2 3,所以 PM 的最小值为 2 7.

5.如图, 若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在的平面互相垂直,

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则 cos α∶cos β=________. 解析:由题意,两个矩形的对角线长分别为 5,2 5,所以 cos α= 2 5 = ,所以 cos α∶cos β= 5∶2. 29 答案: 5∶2 6.经过平面 α 外一点和平面 α 内一点与平面 α 垂直的平面有________个. 解析:设面外的点为 A,面内的点为 B,过点 A 作面 α 的垂线 l,若点 B 恰为垂足,则 所有过 AB 的平面均与 α 垂直,此时有无数个平面与 α 垂直;若点 B 不是垂足,则 l 与点 B 确定唯一平面 β 满足 α⊥β. 答案:1 或无数 7.如图,四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠BCD=120°, 平面 PCD⊥平面 ABCD,PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD. 证明:设 AC∩BD=O, 连接 EO,则 EO∥PC. ∵PC=CD=a,PD= 2a, ∴PC2+CD2=PD2, ∴PC⊥CD. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD,平面 PCD∩平面 ABCD=CD, ∴PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD. 又 EO?平面 EDB, 故有平面 EDB⊥平面 ABCD. 5 5 = ,cos β 29 25+4

8.如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中,底面是等腰三角形,AB= AC,D 是 BC 的中点,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC. (1)求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于点 M,若 AM=MA1, 求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)若截面 MBC1⊥平面 BB1C1C,则 AM=MA1 吗?请叙述你的判断理由. 解:(1)证明:∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. ∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C,底面 ABC∩平面 BB1C1C=BC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

又 CC1?平面 BB1C1C,∴AD⊥CC1. (2)证明:延长 B1A1 与 BM 交于点 N,连接 C1N. ∵AM=MA1, ∴NA1=A1B1. ∵A1C1=A1N=A1B1, ∴C1N⊥B1C1, ∴C1N⊥侧面 BB1C1C. ∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C; (3)结论正确.证明如下:过 M 作 ME⊥BC1 于点 E,连接 DE. ∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C, ∴ME⊥侧面 BB1C1C. 又 AD⊥侧面 BB1C1C, ∴ME∥AD,∴M,E,D,A 四点共面. ∵MA∥侧面 BB1C1C, ∴AM∥DE. ∴四边形 AMED 是平方四边形, 又 AM∥CC1,∴DE∥CC1. 1 ∵BD=CD,∴DE= CC1, 2 1 1 ∴AM= CC1= AA1. 2 2 ∴AM=MA1.

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