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塘厦中学2017届高一数学暑假作业——《立体几何》答案


塘厦中学 2017 届高一数学暑假作业——《立体几何》答案
1.已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,连接 PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确 的序号是 .

①平面 PAB ? 平面 PBC ②平面 PAB ? 平面 PAD ③平面 PAB ? 平面 PCD 【答案】①② 【解析】 试题分析:易证 BC ? 平面 PAB , 则平面 PAB ? 平面 PBC ; 又 AD ∥ BC , 故 AD ? 平 面 PAB , 则平面 PAD ? 平面 PAB , 因此①②正确. 考点:线面垂直、面面垂直。 2.如图,在三棱锥 P-ABC 中,△PAC,△ABC 分别是以 A、B 为直角顶点的等腰直角三角形, AB=1.现给出三个条件:①PB= 3 ;②PB⊥BC;③平面 PAB⊥平面 ABC.试从中任意选取一 个作为已知条件,并证明:PA⊥平面 ABC;

【解析】(解法 1)选取条件①,在等腰直角三角形 ABC 中,∵AB=1,∴BC=1,AC= 2 . 又∵PA=AC,∴PA= 2 .∴在△PAB 中,AB=1,PA= 2 . 又∵PB= 3 ,∴AB +PA =PB .∴∠PAB=90°,即 PA⊥AB.
2 2 2

又∵PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC 真包含于平面 ABC,∴PA⊥平面 ABC. (解法 2)选取条件②, ∵PB⊥BC,又 AB⊥BC,且 PB∩AB=B,∴BC⊥平面 PAB. ∵PA 真包含于平面 PAB,∴BC⊥PA. 又∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C,∴PA⊥平面 ABC. (解法 3)选取条件③, 若平面 PAB⊥平面 ABC, ∵平面 PAB∩平面 ABC=AB,BC 真包含于平面 ABC,BC⊥AB,∴BC⊥平面 PAB. ∵PA 真包含于平面 PAB,∴BC⊥PA.∵PA⊥AC,且 BC∩AC=C,∴PA⊥平面 ABC. 3.如图,在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,?ACB ? 90 .以 AB , BC 为
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邻边作平行 四边形 ABCD ,连接 DA1 和 DC1 . (1)求证: A 1D

// 平面 BCC1B1 ;

(2)求证: AC ? 平面 ADA1 .
A1 C1 B1

A

B

D

C

【答案】 试题解析: (1)连接 B1C ,

三 棱 柱 ABC? A 中A 1B 1 //AB 且 A 1 B 1 C 1 1B 1 ? AB , 由 ABCD 为平行四边形得 CD //AB 且 CD ? AB

? A1B1 //CD 且 A1B1 ? CD ? 四边形 A1B1CD 为平行四边形, A1D//B1C
B1C ? 平 面BCC1B1 , A1D ? 平 面BCC1B1
A1

2分 4分 6分
C1 B1

? A1D// 平面 BCC1B1
(2) ∵平行四边形 ABCD 中, AC ? BC , ∴ AC ? AD ∵ AA1 ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC
A

7分

2分

∴ AA1 ? AC
D

B

4分
C

又∵ AD

AA1 ? A , AA1 ? 平面 ADA1 , AD ? 平面 ADA1 ,
6分

∴ AC ? 平面 ADA1 .

2

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考点:1.线面平行的证明;2.线面垂直. 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 中点.

(1)求证:AB1⊥BF; (2)求证:AE⊥BF; (3)棱 CC1 上是否存在点 F,使 BF⊥平面 AEP,若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说明理 由. 【答案】 (1)见解析(2)见解析(3)P 是 CC1 的中点. 【解析】(1)证明:连结 A1B,CD1,∵AB1⊥A1B,AB1⊥BC,A1B∩BC=B, ∴AB1⊥平面 A1BCD1,又 BF ? 平面 A1BCD1,所以 AB1⊥BF. (2)证明:取 AD 中点 M,连结 FM,BM,∴AE⊥BM, 又∵FM⊥AE,BM∩FM=M,∴AE⊥平面 BFM,又 BF ? 平面 BFM,∴AE⊥BF. (3)解:存在,P 是 CC1 的中点.易证 PE∥AB1,故 A、B1、E、P 四点共面. 由(1)(2)知 AB1⊥BF,AE⊥BF,AB1∩AE=A,∴BF⊥平面 AEB1,即 BF⊥平面 AEP. 5.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 CC1 ? 底面 ABC , ?ACB ? 90? , AB ? 2 ,

BC ? 1 , AA1 ? 3 .
A A1

C B

D B1

C1

? 平面 AB1C1 ; (1)证明: AC 1
(2)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上是否存在一点 E ,使 DE / / 平面 AB1C1 ?证明你 的结论. 【答案】 (1) 要证明线面垂直, 须证明直线与平面内的两条相交直线都垂直, 一般要遵循 “先 找再作”的原则,对图形进行细致分析是关键.注意到 ?ACB ? 90 ,得到 BC ? AC . 由侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,得到 CC1 ? BC .从而得到 BC ? 平面 ACC1 A 1 . BC ? AC 1 , 利用 BC / / B1C1 ,得到 B1C1 ? AC 1 为正方形. 1 .结合四边形 ACC1 A

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? 平面 AB1C1 . 得到 AC ? AC1 .推出 AC 1 1
(2)对于这类存在性问题,往往是先通过对图形的分析,找“特殊点” ,肯定其存在性,再 加以证明. 注意到当点 E 为棱 AB 的中点时,取

BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE ,利用三角形相

AB1C1 及 FD / / 平面 AB1C1 ,利用平面 EFD / / 平面 AB1C1 .推出 似,得到 EF / / 平面
DE / / 平面 AB1C1 .
试题解析: (1)∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? AC . ∵侧棱 CC1 ? 底面 ABC ,∴ CC1 ? BC . ∵ AC

CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 ACC1 A1 .

∵ AC ? 平面 ACC1 A1 ,∴ BC ? AC 1 , 1 ∵ BC / / B1C1 ,则 B1C1 ? AC 1 . 在 Rt?ABC 中, AB ? 2 , BC ? 1 ,∴ AC ? 3 . ∵ AA 1 为正方形. 1 ? 3 ,∴四边形 ACC1 A ∴ AC ? AC1 . 1 ∵ B1C1 6分 7分 9分 4分

? 平面 AB1C1 . AC1 ? C1 ,∴ AC 1

(2)当点 E 为棱 AB 的中点时, DE / / 平面 AB1C1 . 证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F ,连 EF 、 FD 、 DE , A A1

E C B F D B1 C1

∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点, ∴ EF / / AB1 .
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∵ AB1 ? 平面 AB1C1 , EF ? 平面 AB1C1 , ∴ EF / / 平面 AB1C1 . 同理可证 FD / / 平面 AB1C1 . ∵ EF 11 分 12 分

FD ? F ,
13 分

∴平面 EFD / / 平面 AB1C1 . ∵ DE ? 平面 EFD , ∴ DE / / 平面 AB1C1 . 考点:立体几何的平行关系与垂直关系

14 分

6.如图:正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点 M , N 分别是 A 1B 和 B1 D 1 的中点
D1 N A1 D M A B1 C C1

B

(1)求证: MN ? AB (2)求异面直线 A1 N 与 CM 所成角的余弦值。 【答案】 (1) 连接 AC 因为, 点 M , N 分别是 A 所以,MN / / BC1 。 1B 和 B1 D 1 , BC1 , 1 的中点, 因为,正方体 ABCD ? A ,从而MN ? AB。 1B 1C1D 1 中 AB ? 平面BC1 , 所以,AB ? BC1 (2) 连接 AC, 因为, A 异面直线 A1 N 与 CM 所成角即 AC , CM 所成的角。 1 N / / AC, 所以, 连接 AM,由正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点 M , N 分别是 A 1B 和 B1 D 1 的中点,知,

AC ? 2, AM ?

2 1 1 6 , CM ? ( )2 ? 1 ? ( )2 ? ,所以,在三角形 ACM 中,由余弦定 2 2 2 2
CM 2 ? AC 2 ? AM 2 3 。 ? 2CM ? AC 2

理得, 异面直线 A1 N 与 CM 所成角的余弦值为,cos ?MCA ?

考点:异面直线的垂直,异面直线所成的角,余弦定理的应用。 点评:中档题,本题充分利用正方体中的平行关系、垂直关系,应用异面直线垂直的定义及 异面直线所成角的定义,将空间问题转化成平面问题,利用勾股定理及余弦定理,使问题得

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到解决。 7.在四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?ACD ? 90? , ?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .

P

E

A B
D

C
(1)求证: PC ? AE ; (2)求证: CE // 面 PAB ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V . 【答案】 (1)证明 取 PC 中点 F ,连接 AF , EF . 在 Rt ?ABC 中, AB ? 2 , ?BAC ? 60 , 则 1分

BC ? 2 3 , AC ? 4 .
2分

而 PA ? 4 则 在等腰三角形 APC 中 PC ? AF . ① 又 在 ?PCD 中, PE ? ED, PF ? FC , 则 因 则 又 则

EF ∥ CD PA ? 面 ABCD , CD ? 面 ABCD , PA ? CD ,

3分

?ACD ? 90 ,即 CD ? AC ,
4分 5分 6分

CD ? 面 PAC , CD ? PC , 所以 EF ? PC . ②
由①②知 PC ? AE . 故

PC ? 面 AEF .

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P

F

E

A

M
B

D

C
(2) (法一)取 AD 中点 M ,连接 EM , CM . 则 在 ?PAD 中, EM ∥ PA . 又 EM ? 面 PAB , PA ? 面 PAB 则 EM ∥面 PAB , 在 Rt ?ACD 中, ?CAD ? 60 所以 ?ACM 为正三角形,
? 则 ?ACM ? 60

7分

8分

又 ?BAC ? 60

MC ∥ AB . MC ? 面 PAB , AB ? 面 PAB MC ∥面 PAB , EM MC ? M , 所以 面 EMC ∥面 PAB . 又 EC ? 面 EMC 则 EC ∥面 PAB .
则 又 则 而 (法二)延长 DC , AB 交于 N ,连接 PN .

9分 10 分 11 分 7分

在 ?AND 中, ?NAC ? ?DAC ? 60 , AC ? CD , 则 又

C 为 ND 的中点 PE ? ED

9分

所以 EC ∥ PN 又 EC ? 面 PAB , PN ? 面 PAB 则 EC ∥面 PAB . (3)由(1) (2)知 AC ? 4 , CD ? 4 3

10 分

11 分

EF ?

1 CD ? 2 3 2
7

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因 CD ? 面 PAC , EF ∥ CD 则 EF ? 面 PAC , 故 12 分 14 分

1 1 16 3 VP ? AEC ? VE ? PAC ? S Rt?PAC ? EF ? ? 8 ? 2 3 ? 3 3 3

考点:线面平行以及体积的运算 点评:主要是考查了空间中线面的位置关系的判定以及体积的求解,属于中档题。 8.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在的平面和 圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 .
C

D

B
O

M

E

A

F

(1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; 【答案(1)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB ,

平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,? CB ? 平面 ABEF ,

? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB , 2分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF 。 4分 1 1 (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN // CD ,又 AO // CD , 2 2
则 MN // AO , MNAO 为平行四边形, 6分

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ? OM // 平面 DAF 。

9分

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