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二次函数与幂函数

2009~2013 年高考真题备选题库 第二章 函数、导数及其应用 第五节 二次函数与幂函数
考点一

二次函数
)

1. (2013 浙江, 5 分) 已知 a, b, c∈R, 函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1), 则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

解析:本题主要考查二次函数的图像与性质等基础知识,意在考查考生的数形结合能力 b 以及分析问题、解决问题的能力.由 f(0)=f(4)得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x=- =2, 2a ∴4a+b=0,又 f(0)>f(1),∴f(x)先减后增,于是 a>0. 答案: A 1 2. (2012 山东,5 分)设函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x)的图像 x 与 y=g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则下列判断正确的是( A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 解析:不妨设 a<0,在同一坐标系中分别画出两个函数的图像, 1 如图所示, 其中点 A(x1, y1)关于原点的对称点 C 也在函数 y= 的图像 x 上,坐标为(-x1,-y1),而点 B 的坐标(x2,y2)在图像上也明显的显 示出来.由图可知,当 a<0 时,x2>-x1,所以 x1+x2>0,y2<-y1,所 以 y1+y2<0,同理当 a>0 时,则有 x1+x2<0,y1+y2>0. 答案:B 3. (2012 北京,5 分)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是________. 解析:当 x<1 时,g(x)<0,当 x>1 时,g(x)>0,当 x=1 时, g(x)=0.m=0 不符合要求; )

当 m>0 时,根据函数 f(x)和函数 g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使 f(x)≥0 且 g(x)≥0,故 m>0 时不符合第①条的要求;当 m<0 时,如图所示,如果符合①的要求,则 函数 f(x)的两个零点都得小于 1,如果符合第②条要求,则函数 f(x)至少有一个零点小于-4, 问题等价于函数 f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于 1,较小的零点小于-4.函数 m<0, ? ?2m<-?m+3?, f(x)的两个零点是 2m,-(m+3),故 m 满足? 2m<-4, ? ?-?m+3?<1, m<0, ? ?-?m+3?<2m, 或者? 2m<1, ? ?-?m+3?<-4,

解第一个不等式组得-4<m<-2,第二个不等式组无解,故所求 m 的取值范围是(-4, -2). 答案:(-4,-2 )

考点二
1 (2011 陕西,5 分)函数 y=x 的图像是( 3

幂函数
)

解析:显然代数表达式“-?(x)=?(-x)”,说明函数是奇函数.同时由当 0<x<1 时, 1 1 x >x,当 x>1 时,x <x. 3 3 答案:B


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