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1.1.1任意角


1.1.1 任 意 角
一、基本说明 1 教学内容所属模块: 必修 4 2 年级:高一 3 所用教材出版单位: 人民教育出版社(A 版) 4 所属的章节: 第一章第一节第 1 课时 5 学时数: 45 分钟 二、教学设计 1、 教 学 目 标 : (1) 要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,理解任意角的概念; (2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角; (3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义. 2、 内 容 分 析 : 教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义. 教学难点: “旋转”定义角; 终边相同的角的表示. 三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现 之一,是初中相关知识的自然延续.为进一步研究角的和、差、倍角、半角关系提供了条件,也为今后学 习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具. 本节课是三角函数的第一节课,学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要. 3、 学 情 分 析 : (1)初中学生已经接触到角的定义,角的范围仅限于 0°~360°; (2)学生在理解终边相同的角的表示方法上,会出现障碍,其原因是:刚刚将角的概念推广,还不 是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质; (3)学生在学习了教材例 1 后,做 P5第 4 题,仍然感到困难,其原因是:当角为负角时,在 0°~ 360°范围内找出终边相同的角,不知怎样计算,教学时应给学生介绍计算方法; (4)学生在学习了象限角的概念后,怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角(如:第一象限 角),会出现障碍,其原因是:对第一象限角是有无数个区间构成,它们的终边是“周而复始”的现象的 刻画还不了解,教师要进一步的解释 k·360°的运用特点. 4、 设 计 思 路 : (1)通过创设情境,类比初中所学的角的概念,从运动的观点阐述,进行角的概念推广,引入正角、 负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及 象限角的判定方法; (2)通过几个特殊的角,画出终边所在的位置,归纳总结出它们的关系,探索具有相同终边的角的表 示. 这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识,同时在教学中充分运用现代教育技术手 段,将抽象的数学知识形象化、直观化,帮助学生理解 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义,和 掌握终边相同的角的表示。

5 、 教学支持条件分析 借助信息技术工具(如:几何画板),制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光 盘中数学 4 的资源】 (1)角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会; (2)动态的表现角的终边旋转过程,有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系,从特殊到一般,让 学生发现并验证终边相同的角的表示方法。 三、教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

创 设 情 境

思考:你的手表慢了 5 分钟, 你是怎样 将它校准的?假如你的手表快了 1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间 校准以后,分针转了多少度? 取出一个钟表 , 实际操作 , 我们发 针对上述问题, 学生 现,校正过程中分针需要顺时针或逆 进行讨论。 时针旋转,有时转不到一周,有时转 一周以上 , 这就是说角已不仅仅局限 于 0°~360°之间,这正是我们这 节课要研究的主要内容——任意角. 1.任意角概念的引入 ⑴.问题: 过去我们是如何定义一个角 的?角的范围是什么? [展示课件]角可以看成平面内一条射 线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形.如图 1.1-1。 ⑵ . 举出不在 0 °~ 360 ° 的角的实 组 例,并加以说明。提供教材中的几个 例子。 ⑶.你认为刻画这些角的关键是什 么? 引导学生从旋转量、旋转方向这两个 方面进行思考。 引导学生通过类比正数、负数和零, 定义角的正角、负角和零角的概念。 ⑷.给出任意角的定义

学生容易回答 前面一个问题,但 在回答后面一个 问题是会发现问 题,从而引起认知 冲突。说明角的概 念扩展的必要性

回答问题

回顾已有知识

举例, 再说明所举例的 角为什么不在 0°~ 360°。 讨论

结合具体的实例, 感受角的概念推 广的必要性





观察图 1.1-3,进一 步认识正角、负角。 利用任意角的定义, 回答本节开始的“思 考”中的表的校正问 题。

让学生认识到刻 画这些角不仅要 用旋转量,还要用 旋转方向。



2.象限角 画图探究, 讨论、 交流, ⑴ . 问题 :如果把角放在直角坐标系 不难给出合理的放法。 中,那么怎样放比较方便、合理? (先让学生以同一条射线为始边作出 下列角:210°,-150°,-660°)

利用新概念重新 认识问题。 通过尝试探究,由 学生感受没有统 一标准时,角的表

⑵.给出象限角的概念 在总结分析合理放法的基础上, 给出象限角的概念,并说明在同一坐 标系下讨论角的好处。然后通过具体 例子使学生直接感受象限角的概念。 3.终边相同的角 探究:将角按照上述的方法放在直角 坐标系中后,给定一个角,就有唯一 的一条终边与之对应。反之,对于直 角坐标系内任意一条射线 OB (如图 1.1 —5),以它为终边的角是否唯一?如 果不唯一,那么终边相同的角有什么 关系? ⑴. 在直角坐标系内标出 210 °,- 150°角的终边,你有什么发现? 它们有怎样的数量关系?328°、 -32°、-392°角的终边呢? 引导学生用含有其中一个角的关系 式表示另外的角。 [ 展示课件 ] 让学生利用计算机在旋 转终边的过程中发现“终边相同”的 角的关系,并利用集合表示出来。

示不方便。

思考每组角的数量关 系。 利用计算机在旋转终 边的过程中发现 “终边 相同” 的角的关系, 并 利用集合表示出来。

探究终边相同的 角之间的关系,理 解并掌握其关系。

⑵.直角坐标系内, 角α 对应了唯一一 口答 条射线(终边),那么是否存在与角 α 终边相同的角?如果存在,如何表 示?

从具体问题入手, 了解终边相同的 角的关系。

4.巡视检查,然后请两位同学回答

完成教科书 P5 练习第 第 1~2 题,然后口答

从具体到一般,认 识终边相同的角 的关系及其表示。 由几何位置“终边 相同”探讨其代数 特征的“统一”。

例 1 在 0°~360°范围内,找出与 -950°12′角终边相同的角, 并判定 例 题 分 析 它是第几象限角. 分析、板书 例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 指出这两个集合求并集的关键是把 270°改写成 90°+180°,然后重 新组合。 自学例 2。

通过例题,进一步 理解任意角、象限 角和终边相同的 角。

例 3 写出终边直线在 y=x 上的角的集 与教师共同完成例 3, 合作交流 合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤ 注意 k 的正确取值是 β <720°的元素β 写出来. 关键。

尝 试 练 习

1.教科书练习第 3~5 题 2.补充: ①时针经过 3 小时 20 分, 则时针转 过的角度为 ,分针转过的角度 尝试独立完成练习 为 。 回答结果 ②若角α 是第二象限角, 则 180°—α 是第 象限角。 巡视,个别辅导 给出评价

通过练习,掌握象 限角的判断、终边 相同的角的表示 方法。

四、教学反思: 这堂课从实际问题引入, 引起学生的认知冲突。 说明角的概念扩展的必要性, 然后通过学生的自主探索, 得出了定义,为后面的探究打下了基础,体现了新课程理念,教学效果好,是一堂好课。由于学生的计算 机技术不高,导致教学时间过紧。


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