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正弦。余弦 定理 定稿


第6节 正弦定理和余弦定理

规范解答之五

正、余弦定理在解三角形中的应用

(12分)(2013· 天津高考)在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B= 2 3. (1)求b的值;
? π? (2)求sin?2B-3?的值. ? ?

【解题程序】 第一步:由条件和正弦定理,求c. 第二步:利用余弦定理,求边b. 第三步:根据倍角公式、同角关系式求cos 2B,sin 2B.
? π? 第四步:运用两角差的正弦公式计算sin?2B-3?. ? ?

【规范解答】

a b (1)由sin A=sin B,可得 bsin A=asin B.

又由 bsin A=3csin B,可得 a=3c. 由于 a=3,则 c=1. 2 依据余弦定理,且 cos B=3, 2 ∴b =a +c -2ac· cos B=3 +1 -6×3=6.
2 2 2 2 2

------------------3 分

于是 b= 6

------------------6 分

2 5 (2)由 cos B=3,0<B<π,得 sin B= 3 , 1 cos 2B=2cos B-1=-9,
2

4 5 sin 2B=2sin BcosB= 9 , 所以
? π? sin?2B-3?=sin ? ?

-------------9 分

π π 2Bcos 3-cos 2Bsin3 ----------------12 分

4 5+ 3 = 18 .

易错提示:(1)应用正、余弦定理,不会选择公式,导致 第(1)问求解复杂化,错求b值. (2)错记倍角公式,弄混两角差正弦公式的符号. 防范措施:(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切 公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数 题的基础,平时应加强训练,增强逆用公式的意识. (2)应用余弦定理时,一般选择角度已知的那一组公式.

三角形的形状判断

例1、在△ABC中,acosA=bcosB,判断三角形的形状。

思路:转化成单一的角关系或边长的关系

练习:学情自测4

正、余弦定理的综合应用
1 1.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面 积为( A.3 3 解析 ). B.2 3 C. 4 3 D. 3

1 2 2 ∵cos C=3,0<C<π,∴sin C= 3 ,

1 ∴S△ABC=2absin C 1 2 2 =2×3 2×2 3× 3 =4 3. 答案 C

【例 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角, A 其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos 2 +cos A=0.
2

(1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

A 解 (1)由 2cos +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0, 2
2

1 2π 即 cos A=-2,∵0<A<π,∴A= 3 . 2π (2)由余弦定理得,a =b +c -2bccos A,A= , 3
2 2 2

则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 1 有 12=4 -bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2
2

练习 2

(2012· 新课标全国 )已知 a , b, c 分别为△ABC 三

个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

【解析】 (1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦定理, 得 sinAcosC+ 3sinA sinC-sinB-sinC=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sinA sinC-cosA sinC-sinC=0. π 1 由于 sinC≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3

1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsinA= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

? 练习:变式训练3


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