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7.1向量及其线性运算


§1 向量及其线性运算
一. 向量概念 1.向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 向量. 如位移、 加速度、 力矩等等都是向量 如位移、速度 、加速度、力、力矩等等都是向量. 两类量: 数量(标量 可用一个数值来描述的量; 标量):可用一个数值来描述的量 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(向量)既有大小又有方向的量. 向量(向量)既有大小又有方向的量. 2.向量的几何表示: 有向线段 向量的几何表示: 向量的几何表示
M2 ?

r a

有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小, ?M 1 有向线段的方向表示向量的方向. 有向线段的方向表示向量的方向 r或 M 1 M 2 以 M 1 为起点, M 2 为终点的有向线段 为起点, 为终点的有向线段. a

r 矢量的大小. 3.向量的模: 向量的模: 向量的模 矢量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
4.自由向量 与始点无关的向量 . 与始点无关的向量 向量. 5.特殊向量 . 模为1的向量. 单位向量: 模为1的向量. r 零矢量:模为0的矢量. 零矢量:模为0的矢量. 0 相等向量: 模相等且方向相同的两向量叫相等向量 相等向量: 向量

r r a 的负向量:与 a 的模相同方向相反的向 量, 记 r 为 ? a. r r a ?a

r r 记为 a = b

r r a 的单位向量:与非零向 量 a 同向的单位向量 , r r 记为 ea . 向径:空间直角坐标系 中任一点 M与原点构
成的向量 OM ,
规定:所有的零向量都相等. 规定:所有的零向量都相等. 两单位向量是否相等? 问题 两单位向量是否相等? 6.平行向量 .

r 行,记作 a∥ b .

r r r r 平行向量: 平行向量r a与 b 平行是指 a、 b所在直线平 :

零向量平行于任何向量. 规定 零向量平行于任何向量

7.共线向量 平行于同一直线的一组向量. . 平行于同一直线的一组向量. 两向量平行能否称为两向量共线? 问题 两向量平行能否称为两向量共线 零向量与任何共线的向量组共线. 零向量与任何共线的向量组共线. 平行于同一平面的一组向量. 8.共面向量 平行于同一平面的一组向量. . 零向量与任何共面的向量组共面. 零向量与任何共面的向量组共面. 一组共线向量必是共面向量; 显然 1)一组共线向量必是共面向量 一组共线向量必是共面向量 2)三向量中若有两向量是共线的 这三向量必 三向量中若有两向量是共线的,这三向量必 三向量中若有两向量是共线的 是共面的. 是共面的

应把向量与数量严格区别开来: 注 应把向量与数量严格区别开来: ①向量不能比较大小,如 AB > CD 没有意 向量不能比较大小, 义; AB 向量严禁除法运算, ②向量严禁除法运算,如 此类式子不允 CD 许出现。 许出现。

二. 向量的线性运算 1.向量的加减法 1.向量的加减法
r r r [1] 加法:a + b = c
r r a +b
A
C

r a
r b
A D
r r a +b

r b
C

r a

r b
B

r a

B

三角形法则

平行四边形法则

r r r r 交换律: (1)交换律: a + b = b + a .

r r r r 问题: a , b 共线, 则它们的和 a + b 如何确定 ? 若 向量的加法满足下面的运算规律:

r r r r r r r r r a 结合律: (2)结合律: + b + c = ( a + b ) + c = a + (b + c ). r r r r r r (3)a + ( ? a ) = 0,a + 0 = a .
有限个向量 a1 , a 2 , L a n 相加可由向量的三角形 求和 法则推广 自任意点 O 开始,依次引 OA1 = a1 , A1 A2 = a 2 , L ,

An ?1 An = a n , 由此得一折线 OA1 A2 L An , 于是向量 OA n = a就是 n 个向量 a1 , a 2 , L , a n的和,即 OA = OA1 + A1 A2 + L + An ?1 An .
A1 A2 O An-1 An A4 A3

多边形法则

r v 特别地: An与O重合时, 它们的和为向量0. 当
A1 A2 O An-1 An A4 A3

注 多边形法则的作图关键: 使前一向量的终点作为次一向量的始点, 相继作出n个向量. r r r r [2] 减法:a ? b = a + (?b ).

对任意向量 BA及点O, 总有 BA = BO + OA = OA ? OB.
O

r b

B

r r a ?b
r a
A

r r r r 向量减法 a ? b = a + (?b ) r r b a B r r r ?b r r r b a+b ?b c r r r r O a c = a + (?b ) r r =a?b

C

r r a ?b
A

r r r r a ? (?b ) = a + b

向量等式的移项法则:在向量等式中,将某一向量 向量等式的移项法则:在向量等式中, 从等号的一端移到另一端,只要改变它的符号 从等号的一端移到另一端,只要改变它的符号.

r r r r a + b 与 a ? b 的几何意义: r
r 以 a,b
为邻边的平行四边形 OACB的两 的两 条对角线向量. 条对角线向量. 注1 在解题过程中常可借鉴这种思路帮助思 考问题,如 考问题 如

r r r r r r 要使不等式 a + b > a ? b 成立 , a , b 应 满足什么条件? r r π a与b 的夹角小于 ,且都为非零向量. 2 注2 在利用矢量证明有关平行四边形的对 角线性质的命题时,用上述结论较方便. 角线性质的命题时,用上述结论较方便.

r r 对任意 a,b ,有

r r r r a ±b ≤ a + b,

推广: r 对任意ai i = 1, 3, ,n),有 ( 2, L r r r r r r a1 + a2 + L + an ≤ a1 + a2 + L + an

2.向量与数的乘法 2.向量与数的乘法
实数 λ 与向量 a 的乘积是一个向量,记 做 λ a , 它的模 : λ a = λ a ; 它的方向 :

r r (1) λ > 0, λa 与a 同向, 同向, r r r a r ( 2 ) λ = 0, λ a = 0 2a r r ( 3) λ < 0, λa 与a 反向, 反向, 特别: 特别: λ = ± 1时 , r r r r 1? a = a, (?1) ? a = ? a

1r ? a 2

数乘向量的运算律: 数乘向量的运算律:

r r r 结合律: (1)结合律:λ ( ? a ) = ? ( λ a ) = (λ? )a r r r 第一分配律: (2)第一分配律: (λ + ? )a = λ a + ? a r r r r 第二分配律: (3)第二分配律: λ ( a + b ) = λ a + λ b
两向量平行的条件

r r r r 定理1 设 a ≠ 0,则 b // a ? 存在唯一实数 λ,使

r r b = λa.

充分性显然; 证 充分性显然; r r r b 必要性 设 b‖ a 取 λ = r , a r r 取正值, 当 b 与 a 同向时 λ 取正值,

r r r r 取负值, 当 b 与 a 反向时 λ 取负值, 即有 b = λra . r r r r b r r Q 此时 b 与 λa 同向. 且 λa = λ a = r a = b . a r r r r λ 的唯一性. 设 b = λa ,又设 b = ?a , r r r 即 λ ? ? a = 0, 两式相减, 两式相减,得 ( λ ? ? )a = 0, r Q a ≠ 0, 故 λ ? ? = 0, 即 λ = ? .

r i 即可确定一条数轴Ox, 对轴上任一点P,由定理1可得 r 点P ??向量OP = xi ?? 实数x. r 故有: 轴上点P的坐标为x ??向量OP = xi .

定理1是建立数轴的理论依据.给定点O及单位向量

常用关系式: 常用关系式:

r r r r a =| a | ea

r r a r r = ea . |a |

上式表明: 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一 个与原向量同方向的单位向量. 个与原向量同方向的单位向量 例1 用向量方法证明:梯形两腰中点连线平行于 用向量方法证明: 下两底边且等于它们长度和的一半. 上、下两底边且等于它们长度和的一半. C D

证 如图 EA = ?ED

FB = ? FC
AB // DC且同向, 可设

E

F

A

B

AB = λ DC

(λ > 0),



EF = EA + AB + BF
EF = ED + DC + CF

2 EF = ( EA + AB + BF ) + ( ED + DC + CF )
= AB + DC = λ DC + DC = (1 + λ ) DC
从而, , , 三矢量共线 , 且 EF AB DC

1 1 EF = (1 + λ ) DC = (1 + λ ) DC 2 2

1 = ( DC + λ DC ) 2 1 = ( AB + DC ) 2 1 所以 EF = ( AB + CD )且 EF // AB // DC . 2 r r 例 4 已给不共线矢量 OA = a , = b , OB 求它分角线上的一个单 位矢量. r rr r r r 解 设ea , eb 分别表示与 a , 同向的单位矢量 , b

r r r r r r ( Q a , 不共线 , ∴ a ≠ 0 , b ≠ 0 ) b

r r r a rr b r ea = r , eb = r , a b
r rr r 以ea , eb 为邻边的平
行四边行是菱形,故 其对角线平分顶角,于 是

B

rr eb O r r ea

r b

r a

A

rr rr r r b a+ ab r r rr a b r c = ea + eb = r + r = r r , a b ab r r 这是与 a , 夹角平分线平行之向量 , 故 b

所求向量为

rr r ba+ r c r ec = r = r r c ba+

rr ab rr. ab

三、空间直角坐标系
r r r 取空间定点 O , 两两垂直的单位向量 i 、 j 、 k , 三条互 相垂直的数轴,它们构 成一个空间直角坐标系 , 称为 r r r Oxyz 坐标系或 [O ; i , j , k ]坐标系 .
z 竖轴

空间直角坐标系 定点 o 横轴 x
?

y 纵轴

三个坐标轴的正方向 符合右手系 右手系. 符合右手系
即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指

π 从正向 x 轴以 角 2
度转向正向 y 轴 时,大拇指的指向 轴的正向. 就是 z 轴的正向



z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限

r r 任给r , 使OM = r ,以OM为对角线, 作长方体, 则有 r r r r r = OM = OP + OQ + OR = xi + yj + zk , r r r r 即 r = OM = xi + yj + zk , r r r r xi ,yj ,zk 叫r 沿三坐标轴的分向量 . r r 的坐标分解式 z
R(0,0, z )

r r
o

?

M ( x, y, z)

Q ( 0 , y ,0 )

y

x

P ( x , 0, 0 )

r r r r 空间点M ←→ r = OM = xi + yj + zk ←→ ( x, y, z ), r r 有序数 x, y, z叫 r (或点M ) 的坐标, 记作 r = ( x, y, z ), (或M ( x, y, z )). 特殊点的表示: 特殊点的表示 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , O ( 0,0,0 ) z
R(0,0, z )

B ( 0, y , z )
?

C ( x , o, z )

M ( x, y, z)

o

Q ( 0 , y ,0 )

y

x

P ( x , 0, 0 )

A( x , y ,0)

四、利用坐标作向量的线性运算 r r 设 a = (a x , a y , a z ), b = (bx , by , bz ), r r r r r r r r 即 a = ax i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k ,

r r a + b = (ax + bx , a y + by , az + bz )

r r a ? b = ( a x ? bx , a y ? by , a z ? bz ) r r r = (a x ? bx )i + (a y ? by ) j + (a z ? bz )k ; r λa = (λa x , λa y , λa z ) r r r = (λa x )i + (λa y ) j + (λa z ) k .

r r r = (a x + bx )i + (a y + by ) j + (a z + bz )k ;

对向量进行加、减及数乘运算, 只须对其各坐标 分别进行相应的代数运算.
由定理1可得 由定理 可得: a x a y az r r r r = = a // b ( b ≠ 0) ??

bx

by

bz

(3)

注意 在(3)式中 若某个分母为零时 则应理解为相 式中,若某个分母为零时 则应理解 式中 若某个分母为零时,则应理 应的分子为零,如 应的分子为零 如

a x a y az = = ? a x = 0, a y = 0 0 0 bz

设点 A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y 2 , z 2 ), 若点 M 满足
AM = λ MB ,

则点 M 叫分有向线段 AB成定比 λ (λ ≠ ?1)的分点 , 而M的坐标为 x1 + λx2 y1 + λy 2 z1 + λz 2 OM = ( , , ). 1+ λ 1+ λ 1+ λ 当 λ = 1时, 线段 AB 的中点为 x1 + x2 y1 + y 2 z1 + z 2 M( , , ). 2 2 2

注 (1) 因点M与向径OM有相同的坐标, 故求点M的 坐标, 就是求OM的坐标. (2) 记号( x, y, z )既表示点M的坐标, 也表示OM 的
坐标, 当( x, y, z )表示向量时, 对它可进行运算 当( x, y, z ) ; 表示点时, 就不能进行运算 .
五、向量的模、方向角、投影 向量的模、方向角、
1.向量的模与两点间的距离公式 向量的模与两点间的距离公式

z
R(0,0, z )
?

r 设 r = ( x, y, z ), r 作OM = r , (如图), 有 r r = OM = OP+ OQ+ OR, x

M( x, y, z)

o
P ( x ,0 ,0 )

y
Q ( 0 , y ,0 )

由勾股定理得
r r = OM = OP + OQ + OR ,
2 2 2

故得向量模的坐标表示式 故得向量模的坐标表示式 r r = x2 + y2 + z2 .

设点 A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y 2 , z 2 ), 则 A与 B间的距离 就是 AB的模 ,由
AB = OB ? OA = ( x2 , y2 , z 2 ) ? ( x1,y1,z1 ) = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 ),

A、B两点间的距离
AB = AB = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 .

r r 例3 已知a = (2, ? 3, 6)与b = (?1,2,?2)共一起点, r r 试在沿a , b 所成的角的平分线方向上求一个长为 3 42 的向量.
r r 解 Q a = 4 + 9 + 36 = 7, b = 1 + 4 + 4 = 3, r r r s a 1 b 1 ∴ ea = r = (2,?3,6) , eb = r = (?1,2,?2), a 7 b 3

r s r r 所成的角平分线方向上一个向量. 则ea + eb是a,b 所成的角平分线方向上一个向量. r 设所求向量为 c , 则 r s 2 1 3 2 6 2 r c = λ( e a + e b ) = λ ( ? , + , ? ) 7 3 7 3 7 3

1 5 4 = λ (? , , ) , λ > 0), ( 21 21 21 r 由 c = 3 42 , 得
1 + 25 + 16 = 3 42 , λ 441 ∴ λ = 63

r 故 c = (?3, 15, 12).
2. 方向角与方向余弦

两向量的夹角: 两向量的夹角:

r b

r r 向量a 与向量 b 的夹角

r r r r a ≠ 0, b ≠ 0 ,

?

r a

r r r r ? = ∠(a, b ) = ∠(b, a), (0 ≤ ? ≤ π)
类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 向量与一轴 的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时, 特殊地,当两个向量中有一个零向量时, 规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 规定它们的夹角可在 与π 之间任意取值

r r 若 a , b 同向 , 则 ? = 0 , r r a , b 反向 , 则 ? = π , r r a // b , 则 0 < ? < π .
需熟练掌握两向量夹角的概念, 注 需熟练掌握两向量夹角的概念,因一切夹角问 题最终都归结为两向量的夹角问题.

r 方向角: 非零向量 r 的方向角: α 、β 、 γ
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 方向角

z

0 ≤ α ≤ π,
0 ≤ β ≤ π,
0 ≤ γ 向 ≤ π.

?M γ β oα

y
r x =| r | cos α r y =| r | cos β r z =| r | cos γ

量 的 方 向 余 弦

x
r 设 r = ( x, y, z ),
由图分析可知

方向余弦通常用来表示向量的方向. 方向余弦通常用来表示向量的方向.

x y z (cos α , cos β , cos γ ) = ( r , r , r ) r r r
r r 1 = r ( x,y,z) = r = er . r r

r 上式表明, 上式表明,以向量 r 的方向余弦为坐标的向 r r 量就是与 r 同方向的单位向量 er .
方向余弦的特征

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

3. 向量在轴上的投影

空间一点在轴上的投影

?

A

A′

过点 A 作轴 u 的垂 直平面, u 直平面,交点 A′ 即为 上的投 点 A 在轴 u 上的投影.

r r r 设点 O及单位向量 e 确定 u轴, 任给r , 作OM = r , r 点 M ′是点 M 在 u 轴上的投影 , 则向量 O M ′叫 r 在 u 轴上的分向量 . r r 设OM ′ = λe , 则数λ叫r 在u轴
r r 上的投影 , 记作 Pr ju r 或 (r ) u .
由此定义,若 由此定义, r a = (a x , a y , a z ) , 则有 r

r r

a x = Ρ rj x a , r a y = Ρ rj y a , r a z = Ρ rj z a .

投影的性质: 投影的性质: r r r 1) Ρrju a = a cos ? , 其中? 为 a 与 u轴的夹角;

r r r r 2) Ρrju (a + b ) = Ρrju a + Ρrju b(可推广到有限多个) ; 可推广到有限多个) r r 3) Ρrju λa = λΡrju a.

性质1)的说明: 性质1)的说明: 1)的说明 r c π (1) 0 ≤ ? < , 投影为正; 投影为正; 2 r π a ( 2) < ? ≤ π, 投影为负; 投影为负; r b 2 π ( 3) ? = , 投影为零; 投影为零; 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等; 相等向量在同一轴上投影相等;

u

r r r r∧ r r r 当a ≠ 0时, 称 b cos(a , b )为b 在a方向上的投影, 记 r r 作 Ρrja b ,即 ∧r r r r r b = b cos( a , b ) Ρrj a

r b
r r Ρrj a b

r b
r a
r r Ρ rj a b

r a

类似有

r r r∧ r r Ρrjb a = a cos( a , b )

例 4 设有向量 P1 P2 , 已知 P1 P2 = 2 , 它与 x 轴和
π π y 轴的夹角分别为 和 ,如果 P1 的坐标为 3 4 的坐标. (1,0,3) ,求 P2 的坐标



设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ

π α= , 3

1 cos α = , 2

π β= , 4

Q cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1,

2 cos β = , 2 1 ∴ cos γ = ± . 2

2π π ?γ= , γ= . 设 P2 的坐标为( x , y , z ) , 3 3 x ?1 x ?1 1 cosα = ? x = 2, ? = P1 P2 2 2

y?0 y?0 2 cos β = ? ? y = 2, = P1 P2 2 2 z?3 z?3 1 ? z = 4, z = 2, ? cos γ = =± 2 P1 P2 2

P2 的坐标为 ( 2, 2 ,4), ( 2, 2 ,2).

r r r r r r r r 例 5 设 m = i + j , n = ?2 j + k ,求以向量 m , n 为
边的平行四边形的对角线的长度. 边的平行四边形的对角线的长度

解 对角线的长为 r r r r | m + n |, | m ? n |, r r r r Q m + n = (1,?1,1), m ? n = (1,3,?1), r r r r ∴ | m + n |= 3 , | m ? n |= 11,

r n
r m

平行四边形的对角线的长度各为 3 , 11 . 练习



Ρ300 3; Ρ301 4;5;8;13;15;19. 13;15;


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