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求函数值域的方法

例析求函数值域的方法
函数的值域是函数三要素之一, 求函数的值域是深入学习函数的基础, 它常涉及多种知识的综合应用, 下面通过例题讲解,多方探寻值域的途径。 一、直接法: (从自变量 x 的范围出发,推出 y = f ( x) 的取值范围) 例 1.求函数 y =

x + 2 的值域。

解:因为 x ≥ 0 ,所以 x + 2 ≥ 2 , 所以函数 y =

x + 2 的值域为 [2,+∞ ) 。

2 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如 F ( x) = af ( x) + bf ( x) + c 的函数的值域问题,均可

使用配方法) 例 2.求函数 y = ? x 2 + 4 x + 2 ( x ∈ [?1,1] )的值域。 解: y = ? x 2 + 4 x + 2 = ?( x ? 2) 2 + 6 , 因为 x ∈ [?1,1] ,所以 x ? 2 ∈ [ ?3, ?1] ,所以 1 ≤ ( x ? 2) ≤ 9
2

所以 ?3 ≤ ?( x ? 2) + 6 ≤ 5 ,即 ?3 ≤ y ≤ 5
2

所以函数 y = ? x 2 + 4 x + 2 ( x ∈ [?1,1] )的值域为 [ ?3,5] 。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反 函数法)

1? x 的值域。 2x + 5 1 7 7 ? (2 x + 5) + 1? x 1 2 =? + 2 , 解:因为 y = = 2 2x + 5 2x + 5 2 2x + 5 7 1 所以 2 ≠ 0 ,所以 y ≠ ? , 2x + 5 2 1? x 1 所以函数 y = 的值域为 { y | y ≠ ? } 。 2x + 5 2
例 4.求函数 y = 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如

y = ax + b ± cx + d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ≠ 0 )的函数常用此法求解。
例 4.求函数 y = 2 x + 1 ? 2 x 的值域。 解:令 t = 1 ? 2 x ( t ≥ 0 ) ,则 x =

1? t2 , 2

所以 y = ?t 2 + t + 1 = ?(t ? ) 2 + 因为当 t =

1 2

5 4

1 3 5 ,即 x = 时, ymax = ,无最小值。 2 8 4 5 所以函数 y = 2 x + 1 ? 2 x 的值域为 ( ?∞, ] 。 4
五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形 如求函数 y = x +

k (k > 0) 的值域( 0 < x < k 时为减函数; x > k 时为增函数) ) x

例 5.求函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域。 解:因为当 x 增大时, 1 ? 2x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, 所以函数 y = x ? 1 ? 2 x 在定义域 ( ?∞, ] 上是增函数。 所以 y ≤

1 2

1 1 1 1 ? 1 ? 2 × = ,所以函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值域为 (?∞, ] 。 2 2 2 2

六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)

x2 ?1 的值域。 例 6 求函数 y = 2 x +1
解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ? 1) x 2 = ?( y + 1) ,
因为 y ≠ 1 ,所以 x 2 = ?

y +1 ( x∈ R , y ≠1) , y ?1

所以 ?

y +1 ≥ 0 ,所以 ?1 ≤ y < 1 , y ?1 x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ≤ y < 1} x2 + 1

所以函数 y =

七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值 域,是一种求值域的重要方法) 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定 通过方程有实根, 义域而得到原函数的值域) 和判别式法 (即把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y ) = 0 ,

? ≥ 0 ,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法) ,在今后的学习中,会具体讲述。


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