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【名师解析】广东省佛山市2015届高三第一次教学质量检测(一模)数学文试题


2015 年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)复数 等于( )

=

=

A. 1+2i B. 1﹣2i C. 2﹣i D. 2+i =﹣ 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的运算法则即可得出. 【解析】 : 解:原式= = =2﹣i, =﹣f(x)

=﹣



故选:C. 【点评】 : 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 M={x∈R|0<x<2},N={x∈R|x>1},则 M∩ (?RN)=( A. [1,2) B. (1,2) C. [0,1) D. (0,1] 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 交、并、补集的混合运算. 集合. 求出 N 的补集,从而求出其与 M 的交集. 解:∵集合 M={x∈R|0<x<2}=(0,2) ,N={x∈R|x>1}=(1,+∞) )

∴a=﹣1, 故选:B. 【点评】 : 本题考查了函数的奇偶性,是一道基础题.

4. (5 分)已知 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=3x+y 的最大值为(



A. 12 B. 24 C. 8 D.

∴?RN=(﹣∞,1] ∴M∩ ?RN=( (0,2)∩ [1,+∞)=(0,1] 故选:D. 【点评】 : 本题考查了集合的运算,是一道基础题.

【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的四边形 OABC 及其内部,再将目标函数 z=2x+y 对应的直线进 行平移,可得当 x=4,y=0 时,z=3x+y 取得最大值为 12. ) 【解析】 : 解:作出不等式组 表示的平面区域,

3. (5 分)若函数 y=

的图象关于原点对称,则实数 a 等于(

A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【考点】 : 函数奇偶性的性质;函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 根据函数 y= 即可. 【解析】 : 解:令 y=f(x) , ∵函数 y= 的图象关于原点对称, 的图象关于原点对称,得到函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,根据奇函数的定义求出 a 的值 得到如图的四边形 OABC 及其内部, 其中 O(0,0) ,A(4,0) ,B( , ) ,C(0,8) 设 z=F(x,y)=3x+y,将直线 l:z=3x+y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(4,0)=12 故选:A.

∴函数 y=f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=

【点评】 : 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=3x+y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和 简单的线性规划等知识,属于基础题. 5. (5 分)已知两个单位向量 A. 1 B. C. D. 2 的夹角为 45°,且满足 ⊥(λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值为( )

7. (5 分)某校高三年级学生会主席团有共有 5 名同学组成,其中有 3 名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个 不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( ) A. 0.35 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【考点】 : 互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 分别计算出从 5 名学生中选出 2 名学生进入学生会的基本事件总数和满足这两名选出的同学来自不同班级的 基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案 【解析】 : 解:来自同一班级的 3 名同学,用 1,2,3 表示,来自另两个不同班级 2 名同学用,A,B 表示, 从中随机选出两名同学参加会议,共有 12,13,1A,1B,23,2A,2B,3A,3B,AB 共 10 种, 这两名选出的同学来自不同班级,共有 1A,1B,23,2A,2B,3A,3B 共 7 种, 故这两名选出的同学来自不同班级概率 P= =0.7

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 计算题;平面向量及应用. 【分析】 : 运用向量的数量积的定义,可得两个单位向量 即可得到所求值. 【解析】 : 解:由单位向量 则 由 ? =1×1×cos45°= ﹣ ) , , 的夹角为 45°, 的数量积,再由向量垂直的条件:数量积为 0,计算

故选:D 【点评】 : 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解 答的关键.

⊥(λ

8. (5 分) 已知双曲线 ﹣ )=0,



=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双曲线的右支交于 A、 B 两点, 若|AB|=5,

可得, 即λ 则

?(λ ﹣ ﹣1=0,

=0,

则△ABF1 的周长为( ) A. 16 B. 20 C. 21 D. 26 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 根据双曲线的定义和性质,即可求出三角形的周长. 解:由双曲线的方程可知 a=4,

解得 λ= . 故选 B. 【点评】 : 本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质,考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基础题. 6. (5 分)在空间中,有如下四个命题: ① 平行于同一个平面的两条直线是平行直线; ② 垂直于同一条直线的两个平面是平行平面; ③ 若平面 α 内有不共线的三个点到平面 β 距离相等,则 α∥β; ④ 过平面 α 的一条斜线有且只有一个平面与平面 α 垂直. 其中正确的两个命题是( ) A. ① 、③ B. ② 、④ C. ① 、④ D. ② 、③ 【考点】 : 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】 : 作图题. 【分析】 : 我们可以从正方体去观察理解,① 从空间两条直线的位置关系判断.② 由线面垂直的性质定理判断;③ 从两平面 的位置关系判断;④ 由射影的条数判断. 【解析】 : 解:① 平行于同一个平面的两条直线,可能平行,相交或异面.不正确; ② 垂直于同一条直线的两个平面是平行平面,由线面垂直的性质定理知正确; ③ 若平面 α 内有不共线的三个点到平面 β 距离相等,可能平行,也可能相交,不正确; ④ 过平面 α 的一条斜线有且只有一个平面与平面 α 垂直.正确,因为一条斜线只有一条射影,只能确定一个平面. 故选 B 【点评】 : 本题主要考查了两直线的位置关系,两平面的位置关系及线面垂直的性质定理,斜线,垂线,射影等概念, 作为客观题要多借助空间几何体来判断.

则|AF1|﹣|AF2|=8,|BF1|﹣|BF2|=8, 则|AF1|+|BF1|﹣(|BF2|+|AF2|)=16, 即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+16=|AB|+16=5+16=21, 则△ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26, 故选 D. 【点评】 : 本题主要考查双曲线的定义,根据双曲线的定义得到 A,B 到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键. 9. (5 分)已知 f(x)=x﹣x ,且 a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)<f(b)”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据二次函数的性质分别判断其充分性和必要性. 【解析】 : 解:画出函数 f(x)=x﹣x 的图象, 如图示:
2 2



【解析】 : 解:∵f(2)=0, ∴f(0)=1, 即 f[f(2)]=1, 故答案为:1. 【点评】 : 本题考查了分段函数问题,考查了函数求值问题,是一道基础题.

12. (5 分)已知点 A(﹣2,0) ,B(0,4)到直线 l:x+my﹣1=0 的距离相等,则 m 的值为

或1 .

, 由图象得:f(x)在( ,+∞)递减, ∴a>b>1 时,f(a)<f(b) ,是充分条件, 反之不成立, 如 f(0)=0<f( )=1,不是必要条件, 故选:A. 【点评】 : 本题考查了二次函数的性质,考查了充分必要条件,是一道基础题. 10. (5 分)有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求 出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( ) A. 45 B. 55 C. 90 D. 100 【考点】 : 归纳推理. 【专题】 : 等差数列与等比数列;推理和证明. 【分析】 : 用特殊值法,假设每次分出一个,分别求出每一次的乘积,然后等差数列的性质相加可得答案. 【解析】 : 解:假设每次分堆时都是分出 1 个球, 第一次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣1 个,则乘积为 1×(n﹣1)=n﹣1; 第二次分完后应该一堆是 1 个球,另一堆 n﹣2 个,则乘积为 1×(n﹣2)=n﹣2; 依此类推 最后一次应该是应该一堆是 1 个球,另一堆 1 个,则乘积为 1×1=1; 设乘积的和为 Tn, 则 Tn=1+2+…+(n﹣1)= n(n﹣1) 当 n=10 时,T10= ×10×(10﹣1)=45 故选:A 【点评】 : 本题主要考查等差数列的求和.属基础题.在解答选择填空题时,特殊值法是常用方法之一.解决本题的关 键在于特殊值法的应用. 二、填空题:本大共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分. (一)必做题(11~13 题) 11. (5 分)如果 f(x)= ,那么 f[f(2)]= 1 .

【考点】 : 点到直线的距离公式. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 利用点到直线的距离公式即可得出. 【解析】 : 解:由点到直线的距离公式可得 即|4m﹣1|=3, 解得 m= 故答案为: 或 1. 或 1. = ,

【点评】 : 本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 13. (5 分)如图,为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A、B;找到一 个点 D, 从 D 点可以观察到点 A、 C; 找到一个点 E, 从 E 点可以观察到点 B、 C; 并测量得到一些数据: CD=2, CE=2 , ∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则 A、B 两点之间的距离为 . (其中 cos48.19° 取近似值 )

【考点】 : 解三角形的实际应用. 【专题】 : 应用题;解三角形. 【分析】 : 求出 AC,通过正弦定理求出 BC,然后利用余弦定理求出 AB. 【解析】 : 解:依题意知,在△ACD 中,∠A=30°由正弦定理得 AC= 在△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得 BC=
2 2 2

=2

=3

【考点】 : 函数的值. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用. 【分析】 : 根据 x 的范围,分别求出相对应的函数值,从而得到答案.

在△ABC 中,由余弦定理 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos∠ACB=10 ∴AB= . 故答案为: . 【点评】 : 本题考查三角形的面积的求法,正弦定理与余弦定理的应用,考查计算能力.

三、几何证明选讲 14. (5 分)如图,P 是圆 O 外一点,PA,PB 是圆 O 的两条切线,切点分别为 A,B,PA 中点为 M,过 M 作圆 O 的一 条割线交圆 O 于 C,D 两点,若 PB=2 ,MC=1,则 CD= 2 .

(2)在图 3 给定的平面直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[﹣ )上的单调递减区间.



]上的图象,并根据图象写出其在(﹣



【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 几何证明. 【分析】 : 由切割线定理,得 MA =MC?MD,由此能求出 CD. 【解析】 : 解:由已知得 MA= ∵MA 是切线,MCD 是割线, ∴MA =MC?MD, ∵MC=1,∴3=1×(1+CD) , 解得 CD=2. 故答案为:2. 【点评】 : 本题考查与圆有关的线段长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用. 四、坐标系与参数方程 15. (2012?湖南)在极坐标系中,曲线 C1:ρ( . cosθ+sinθ)=1 与曲线 C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=
2 2



【考点】 : 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 【专题】 : 作图题;三角函数的图像与性质. 【分析】 : (1)依题意先解得 ω=2,可得解析式 f(x)=sin(2x﹣ (2)先求范围 2x﹣ 的单调递减区间. 【解析】 : 解: (1)依题意得 ∴f(x)=sin(2x﹣ ∴f( )=sin( , , ] ], ) ,…2 分 )=sin cos ﹣cos sin = = …4 分 =π,解得 ω=2, ∈[﹣ , ) ,从而可求 f( )的值. , )上

],列表,描点,连线即可五点法作图象,并根据图象写出其在(﹣

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y 将极坐标方程化成普通方程,利用交点在极轴上进行建立等式关系,从而 求出 a 的值. 【解析】 : 解:∵曲线 C1 的极坐标方程为:ρ( cosθ+sinθ)=1, ∴曲线 C1 的普通方程是 x+y﹣1=0, ∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=a(a>0) 2 2 2 ∴曲线 C2 的普通方程是 x +y =a ∵曲线 C1:ρ( cosθ+sinθ)=1 与曲线 C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上 ∴令 y=0 则 x= 解得 a= 故答案为: 【点评】 : 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化,同时考查了计算能力和分析问题的能力,属于基 础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx﹣ (1)求 f( ) . ) (ω>0,x∈R)的最小正周期为 π. ,点( ,0)在圆 x +y =a 上
2 2 2 2 2 2

(2)∵x∈[﹣ ∴2x﹣ ∈[﹣

列表如下: 2x﹣ x ﹣ f(x) ﹣ ﹣ ﹣π ﹣ ﹣ 0 ﹣1 0 1 , ]上的图象如下: 0

画出函数 y=f(x)在区间[﹣

由图象可知函数 y=f(x)在(﹣



)上的单调递减区间为(﹣

,﹣

) , (



)…12 分

【点评】 : 本题主要考察了五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数的图象与性质,属于基础题.

17. (12 分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集 该地区近两年 11 月份(30 天)的空气质量指数(AQI) (单位:μg/m )资料如下: (图 1 和表 1) 2014 年 11 月份 AQI 数据 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI 89 55 52 87 124 72 65 26 46 48 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AQI 58 36 63 78 89 97 74 78 90 117 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 AQI 137 139 77 63 63 77 64 65 55 45 表1 2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表 分组 频数 频率 [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120) [120,140] 表2 (Ⅰ) 请填好 2014 年 11 月份 AQI 数据的频率分布表(表 2)并完成频率分布直方图(图 2) ;
3

[100,120) 1 [120,140] 3 (3 分) ; 根据频率分布表,画出频率分布直方图如下;

(6 分) (Ⅱ) 支持,理由如下: 2013 年 11 月的优良率为: 2014 年 11 月的优良率为: ∴ ,…(9 分) ;…(11 分) ,…(8 分)

∴利用数据信息得出“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”.…(12 分) 【点评】 : 本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题,是基础题目. 18. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ABC=60°的 菱形,M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证:PC⊥AD; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面?若存在,指出点 Q 的位置并证明;若不存在,请说 明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.

(Ⅱ) 该地区环保部门 2014 年 12 月 1 日发布的 11 月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”(当 AQI<100 时,空气质量为优良) .试问此人收集到的资料信息是否支持该观点? 【考点】 : 频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (Ⅰ) 根据题意,填写 2014 年 11 月份 AQI 数据的频率分布表,画出频率分布直方图; (Ⅱ)利用数据计算 2013 年与 2014 年的 11 月优良率是多少,比较数据信息得出结论. 【解析】 : 解: (Ⅰ) 根据题意,填写 2014 年 11 月份 AQI 数据的频率分布表,如下; 分组 频数 频率 [20,40) 2 [40,60) 7 [60,80) 12 [80,100) 5

【考点】 : 点、线、面间的距离计算;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (Ⅰ)法一:取 AD 中点 O,连结 OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形,从而 AD⊥平 面 POC,由此能证明 PC⊥AD. 法二:连结 AC,依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形,从而 AM⊥PC,DM⊥PC,由此能证明 PC⊥AD.

(Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时,A,Q,M,D 四点共面.取棱 PB 的中点 Q,连结 QM,QA,由已知得 QM∥BC,由 此能证明 A,Q,M,D 四点共面. (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,由已知得得 PO 为三棱锥 P﹣ACD 的体高,由 VD﹣PAC=VP﹣ ACD,能求出点 D 到平面 PAM 的距离. 【解析】 : (Ⅰ)证法一:取 AD 中点 O,连结 OP,OC,AC, 依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 所以 OC⊥AD,OP⊥AD,又 OC∩ OP=O,OC?平面 POC,OP?平面 POC, 所以 AD⊥平面 POC,又 PC?平面 POC, 所以 PC⊥AD.…(4 分) 证法二:连结 AC,依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM⊥PC,DM⊥PC, 又 AM∩ DM=M,AM?平面 AMD,DM?平面 AMD, 所以 PC⊥平面 AMD, 又 AD?平面 AMD,所以 PC⊥AD.…(4 分) (Ⅱ)解:当点 Q 为棱 PB 的中点时,A,Q,M,D 四点共面, 证明如下:…(6 分) 取棱 PB 的中点 Q,连结 QM,QA,又 M 为 PC 的中点,所以 QM∥BC, 在菱形 ABCD 中 AD∥BC,所以 QM∥AD, 所以 A,Q,M,D 四点共面.…(8 分) (Ⅲ)解:点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO⊥AD,又平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,PO?平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P﹣ACD 的体高.…(9 分) 在 Rt△POC 中, 在△PAC 中,PA=AC=2, 所以△PAC 的面积 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h, 由 VD﹣PAC=VP﹣ACD 得…(11 分) , 又 所以 解得 , .…(14 分) , ,…(13 分) , , ,边 PC 上的高 AM= ,…(10 分) ,

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 4Sn=(2n﹣1)an+1+1(n∈N) ,且 a1=1. (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:Tn< (n∈N) .

【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)由已知得 4an=(2n﹣1)an+1﹣(2n﹣3)an,从而 为 2 的等差数列. (2)由 an=2n﹣1,Sn=n+ =n ,得 bn=
2

=

,由此能证明数列{an}是首项为 1,公差

=

=

,由此利

用裂项求和法能证明 Tn< (n∈N) . 【解析】 : (1)证明:∵4Sn=(2n﹣1)an+1+1,① ∴n≥2 时,4Sn﹣1=(2n﹣3)an+1,② ① ﹣② ,得 4an=(2n﹣1)an+1﹣(2n﹣3)an,n≥2 ∴(2n+1)an=(2n﹣1)an+1, ∴ = ,

∴an=

=1×

=2n﹣1,

∴an﹣an﹣1=(2n﹣1)﹣(2n﹣3)=2, ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解:∵数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, ∴an=2n﹣1,Sn=n+ ∴bn= = = =n , = ,n≥2
2

∴Tn<(1+ = .

+

+…+



所以点 D 到平面 PAM 的距离为

∴Tn< (n∈N) . 【点评】 : 本题考查数列{an}为等差数列的证明,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意累乘法和裂项求和法的 合理运用. 20. (14 分)已知点 M(2,1) ,N(﹣2,1) ,直线 MP,NP 相交于点 P,且直线 MP 的斜率减直线 NP 的斜率的差为 1.设 点 P 的轨迹为曲线 E. (Ⅰ) 求 E 的方程;

【点评】 : 本题考查异面直线垂直的证明,考查四点共面的判断与求法,考查点到平面的距离的求法,解题时要注意空 间思维能力的培养.

(Ⅱ) 已知点 A(0,1) ,点 C 是曲线 E 上异于原点的任意一点,若以 A 为圆心,线段 AC 为半径的圆交 y 轴负半轴于 点 B,试判断直线 BC 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. 【考点】 : 圆与圆锥曲线的综合. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : (Ⅰ)设出 P 点坐标,依题意得列关于 P 点坐标的方程,化简后得答案; (Ⅱ) 证法一、设出 C 点坐标,把 c 的坐标代入 E 的轨迹方程,再求出圆 A 的方程,求出点 B 的坐标,进一步求出直 线 BC 的方程,和抛物线方程联立后由判别式等于 0 可证直线 BC 与曲线 E 相切. 证法二:设出 C 点坐标,把 c 的坐标代入 E 的轨迹方程,再求出圆 A 的方程,求出点 B 的坐标,进一步求得直线 BC 的 斜率, 然后利用导数求出抛物线在过 C 点的切线的斜率, 可得直线 BC 与曲线 x =4y 过点 C 的切线重合,即说明直线 BC 与曲线 E 相切. 【解析】 : 解: (Ⅰ)设 P(x,y) ,依题意得 化简得 x =4y(x≠±2) , 2 ∴曲线 E 的方程为 x =4y(x≠±2) ; (Ⅱ) 结论:直线 BC 与曲线 E 相切. 证法一:设 C(x0,y0) ,则 令 x=0,则 ∵y0>0,y<0,∴y=﹣y0,点 B 的坐标为(0,﹣y0) , 直线 BC 的斜率为 ,直线 BC 的方程为 ,即 , ,圆 A 的方程为 , ,
2 2

21. (14 分)设函数 f(x)=

的导函数为 f'(x) (a 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) .

(Ⅰ) 讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ) 求实数 a,使曲线 y=f(x)在点(a+2,f(a+2) )处的切线斜率为﹣ (Ⅲ) 当 x≠a 时,若不等式| |+k|x﹣a|≥1 恒成立,求实数 k 的取值范围. ;



【考点】 : 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (Ⅰ)根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间; (Ⅱ)根据导数的几何意义,令 a+2=t,则有 e +t ﹣1=0,构造函数,利用导数求出即可; (Ⅲ)原不等式可化为 ,在分类讨论,继而求出实数 k 的取值范围.
t 3

【解析】 : 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(﹣∞,a)∪(a,+∞) ,…(1 分) 对 f(x)求导得: ,…(2 分)

由 f'(x)>0 得 x>a+1;由 f'(x)<0 得 x<a 或 a<x<a+1,…(4 分) 所以 f(x)在(﹣∞,a) , (a,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.…(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 令 得 e
t 3 a+2

…(6 分) +a +6a +12a+7=0…①
3 2

代入 x =4y 得,

2

,即



, ∴直线 BC 与曲线 E 相切. 证法二:设 C(x0,y0) ,则 令 x=0,则 ∵y0>0,y<0,∴y=﹣y0,点 B 的坐标为(0,﹣y0) , 直线 BC 的斜率为
2

令 a+2=t,则有 e +t ﹣1=0,…(8 分) t 3 t 2 令 h(t)=e +t ﹣1,则 h'(t)=e +3t >0,…(9 分) 故 h(t)是 R 上的增函数,又 h(0)=0,因此 0 是 h(t)的唯一零点,即﹣2 是方程① 的唯一实数解, 故存在唯一实数 a=﹣2 满足题设条件.…(10 分) (Ⅲ)因为 ,故不等式 且有 ,此时 k≥0; ,此时 k≥1; ,此时 k≥1. …(12 分) 可化为 , , 令 x﹣a=t,则 t≠0,…(11 分)

,圆 A 的方程为 ,

① 若 t<0,则 ② 若 0<t≤1,则 ③ 若 t>1,则 由 x =4y 得, 得, ,过点 C 的切线的斜率为 ,

,即 ,即 ,即







故使不等式恒成立的 k 的取值范围是[1,+∞) .…(14 分) 【点评】 : 本题考查了导数和函数单调性的关系,以及导数的几何意义,以及不等式恒成立的问题,培养了学生的转化 能力,属于中档题

∴k=k1, 2 ∴直线 BC 与曲线 x =4y 过点 C 的切线重合, 即直线 BC 与曲线 E 相切. 【点评】 : 本题考查了曲线方程的求法,考查了圆与圆锥曲线的综合,考查了直线与圆的位置关系,对于(Ⅱ)的第二 种证明方法,运用了利用导数研究过曲线上某点的切线的斜率,体现了导数在解题中的广泛应用,该题属中高档题.


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