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高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2_3 直线与平面垂直的判定和性质课件 新人教A版必修2

直线与平面 垂直的判定和性质 直线与平面垂直的判定和性质 1. 定义: 直线垂直平面内任何一 条直线, 叫做直线垂直平面. 2. 判定定理: 直线⊥交线, 则直线⊥平面. 3. 性质定理: 垂直于同一平面的两条直线平行. a ? m n a b ? 4. 结论: ①垂直同一个平面的两条直线平行 ②两条平行直线中的一条垂直一个平面, 则另一条也垂直这个平面 D' C' a b A' B' ? D C A B 如图: 在正方体A'B'C'D'–ABCD中: A'A⊥平面ABCD => A'A⊥BD AB⊥平面B'BCC' => AB⊥BC' 注意: 证明两条异面直线垂直, 通常证明 一条直线垂直另一条直线所在的一个平面. 例1. 判断或填空: ①过直线外一点与它垂直的平面有____ 1 个 ②过平面外一点与它垂直的直线有____ 1 条 ③一条直线与一个平面内的无数条直线垂 直, 则它与这个平面垂直. × 例2. 在P-ABC中, PA=PC, BA=BC, 求证: PB⊥AC 解: 设D为AC中点, 连PD, BD P PA=PC => AD=CD AC⊥PD · · · ① A D AB=BC B => AC⊥BD · · · ② AD=CD PD, BD在PBD内且相交 · · · ③ ①②③ => AC⊥平面PBD => PB在平面PBD内 AC⊥PB C 例3. ? ? =AB, PE⊥?于E, PF⊥? 于F. 求证: AB⊥EF ? P 解: PE⊥? F B => AB ? ? ? PE⊥AB · · · ① E A PF⊥? => PF⊥AB · · · ② ? AB ? PE, PF在平面PEF内且相交· · · ③ ①②③ => AB⊥平面PEF => EF在面PEF内 AB⊥EF 例4. 已知A'B'C'D'–ABCD是正方体 求证: A'C'⊥BD' D' C' 解: 连接BD, B'D' 则A'C'⊥B'D' · · · ① A' B' B'B⊥面A'C' D C => A'C'? 面A'C' B A'C'⊥B'B · · ·· · ·② A B'D', B'B ? 平面B'BDD'且相交 · · · ③ ①②③ => A'C'⊥平面B'BDD' BD'在面B'BDD'内 => A'C'⊥BD'

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