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2018届高三文科数学一轮复习 函数的奇偶性及周期性


第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性及周期性 淮北一中数学组 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 f(-x)=f(x),那么 关于____ y 轴 对称 一个x,都有___________ 函数f(x)就叫做偶函数 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任 图象特点 f(-x)=-f(x), 关于原点 奇函数 意一个x,都有_____________ ____对称 那么函数f(x)就叫做奇函数 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数f(x) 为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 , 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. [小题体验] 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( A.y= x C.y=ex B.y=cos x D.y=ln |x| ) 答案:D 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x) 1 =x +x,则f(-1)=________. 答案:-2 2 3.若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2, 则 f(8)-f(14)=________. 答案:-1 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均 有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x), 而不能说存在 x0 使 f(-x0) =-f(x0)或 f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. [小题纠偏] 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的 值是 1 A.- 3 1 C. 2 1 B. 3 1 D.- 2 ( ) 解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a- 1 1 1+2a=0,∴a= .又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b= . 3 3 答案:B 2.下列函数中,为奇函数的是 1 A.y=3 + x 3 x ( B.y=x,x∈{0,1} ) ?1,x<0, ? C.y=x· sin x D.y=?0,x=0, ?-1,x>0 ? 1 x 解析:由函数奇偶性定义易知函数 y=3 + x和 y=x· sin x 都是 3 偶函数,排除 A 和 C;函数 y=x,x∈{0,1}的定义域不关于坐 标原点对称,既不是奇函数又不是偶函数,排除 B;由奇函数 ?1,x<0, ? 的定义知 y=?0,x=0, ?-1,x>0 ? 是奇函数,故选 D. 答案:D 考点一 函数奇偶性的判断 [题组练透] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; 2 ? x ? -1≥0, 解:∵由? 2 ? 1 - x ≥0, ? 得 x=± 1, ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. -x x (3) f ( x ) = 3 - 3 ; (2)f(

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