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一题多解专题04:利用正(余)弦定理判断三角形形状


一题多解专题四:利用正(余)弦定理判断三角形形状
判定三角形形状通常有两种途径: 一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如: a ? 2 R sin A , a ? b ? c ? 2ab cosC
2 2 2

等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体 现的内角关系.如: sin A=sin B? A=B; sin(A-B)=0? A=B; sin 2A=sin 2B? A=B 或 A+B =

? 等; 2
二是利用正弦定理、余弦定理化角为边,如 sin A ?

a b2 ? c2 ? a2 , cos A ? 等,通过 2R 2bc

代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断. 例:在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sin C,试判断△ ABC 的形状. 思路一:根据条件,判断三角形三边的关系,此时需要化角为边;思路二:可以把角和 边巧妙地结合起来,同时考虑边之间的关系,角之间的关系. 方法一:由正弦定理得

sin C c ? ,∵ 2cos Asin B=sin C, sin B b

? cos A ?

sin C c b2 ? c 2 ? a 2 ? ,由余弦定理的推论得 cos A ? 2 sin B 2b 2bc



b2 ? c2 ? a 2 c 2 2 2 2 ? , 化简得 b ? c ? a ? c ,∴ a=b; 2bc 2b
2 2

又∵ (a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a ? b) ? c ? 3ab , 化简得 4b ? c ? 3b ,∴ b=c,∴ a=b=c,即△ ABC 是等边三角形.
2 2 2

方法二:∵ A+B+C=π,∴ sin C=sin(A+B),又 2cos Asin B=sin C, ∴ 2cos Asin B=sin(A+B), ∴ 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴ sin Acos B-cos Asin B=0,∴ sin(A-B)=0, ∵ A,B∈ (0,π),∴ A-B∈ (-π,π), ∴ A=B, 又∵ (a+b+c)(a+b-c)=3ab,
2 2 ∴(a ? b) ? c ? 3ab ,即 a ? b ? c ? ab ,
2 2 2

由余弦定理的推论得 cosC ? 又 C∈ (0,π),? C ?

a 2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2

?
3

,又 A=B,∴ △ ABC 是等边三角形.

规律总结:应用正弦定理进行判断或证明的方法: ①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系; ②利用正弦定理化边为角或化角为边,以实现边角的统一,便于寻找三边或三角具有的 关系; ③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形. 针对性练习: 1.在△ABC 中,若 a tan B=b tan A,试判断△ABC 的形状. 【解析】法一:由正弦定理及已知,得 sin A·
2 2 2

sin A sin B 2 =sin B· , cos A cos B ? . 2

即 sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π ,2A+2B<2π ;∴2A=2B 或 2A=π -2B.即 A=B 或 A+B= 所以,三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形. 法二:在得到 sin 2A=sin 2B 后,也可以化为 sin 2A-sin 2B=0, ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0,∴cos(A+B)=0 或 sin(A-B)=0. ∵0<A+B<π ,且-π <A-B<π ,∴A+B= 即 A+B=

? 或 A-B=0, 2

? 或 A=B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2

2.在△ ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 【解析】方法一:由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵ B=60° ,∴ A+C=120° ,即 A=120° -C, 代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C 展开,整理得: ∴ sin(C+30° )=1,∴ C+30° =90° , ∴ C=60° ,故 A=60° ,∴ △ ABC 为正三角形. 方法二:由余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , ∵ B=60° , b?
2

a?c a?c 2 ,( ) ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60 ? , 2 2

整理,得 (a ? c) ? 0 ,∴ a=c. 从而 a=b=c,∴ △ ABC 为正三角形.


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